2x2-Matrix/Mindestens eine 0/Nicht unbedingt zwei 0/Aufgabe/Lösung

a) Es sei ${}v\in K^{2}$, ${}v\neq 0$. Wenn ${}v$ ein Eigenvektor zu ${}M$ zum Eigenwert ${}\lambda$ ist, so ergänzen wir ${}v$ durch einen Vektor ${}w\in K^{2}$ zu einer Basis. Bezüglich dieser Basis wird die durch ${}M$ gegebene lineare Abbildung durch eine zu ${}M$ ähnliche Matrix der Form

${\begin{pmatrix}\lambda &r\\0&s\end{pmatrix}}$

beschrieben, es gibt also darin mindestens eine ${}0$. Wenn hingegen ${}v$ kein Eigenvektor ist, so sind ${}v$ und ${}w:=\varphi (v)$ linear unabhängig und bilden eine Basis des ${}K^{2}$. Bezüglich dieser Basis wird die Abbildung durch eine Matrix der Form

${\begin{pmatrix}0&r\\1&s\end{pmatrix}}$

beschrieben.

b) Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\,$

über ${}\mathbb {Q}$ und behaupten, dass die dadurch gegebene lineare Abbildung die Eigenschaft hat, dass in jeder beschreibenden Matrix höchstens eine ${}0$ vorkommt. Es sei ${}N$ eine beschreibende Matrix. Jede beschreibende Matrix besitzt die gleiche Spur, die gleiche Determinante und das gleiche charakteristische Polynom wie ${}M$. Da die Determinante von ${}M$ gleich ${}1$ ist, können weder in einer Zeile noch in einer Spalte von ${}N$ zweimal eine ${}0$ stehen. In der Hauptdiagonalen können nicht zwei Nullen stehen, da dann die Spur ${}0$ sein müsste, diese ist aber ${}2$. Wenn in der Nebendiagonalen zwei Nullen stünden, so wäre ${}N$ eine Diagonalmatrix und ${}M$ wäre diagonalisierbar. Dies ist aber nach Beispiel

nicht der Fall.

Zur gelösten Aufgabe