Abbildungsfolge/Metrischer Raum/Einführung/Textabschnitt
Definition
Es sei eine Menge, ein metrischer Raum und
() eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge
Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch
eine sogenannte Grenzabbildung (oder Grenzfunktion) definiert. Selbst wenn sämtliche Funktionen stetig sind, muss diese Grenzabbildung nicht stetig sein. Dazu braucht man einen stärkeren Konvergenzbegriff.
Definition
Es sei eine Menge, ein metrischer Raum und
() eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Abbildung
derart gibt, dass es zu jedem ein gibt mit
Beispiel
Es sei und
![{\displaystyle {}T=[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3073e5cac2b4f1dc200557fb9bead9a52992886d)
![{\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbe383aefbd4a336cd853d9a81051c7529e9e7f)
Für jedes , , konvergiert die Folge nach Aufgabe gegen und für liegt die konstante Folge zum Wert vor. Die Grenzfunktion ist also
![{\displaystyle {}x\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39fd7f0a5f9deed4933674b4db9cde2ac38f198)
Diese Funktion ist nicht stetig, obwohl alle stetig sind.
Lemma
Es seien und
metrische Räume und es sei
eine Folge von stetigen Abbildungen, die gleichmäßig gegen die Abbildung konvergiert.
Dann ist stetig.
Beweis
Es sei und vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein mit für alle und alle . Wegen der Stetigkeit von in gibt es ein mit für alle mit . Für diese gilt somit
