Affine Varietäten/K-Spektrum/Punktierte affine Gerade als Hyperbel/Beispiel

Betrachten wir in Anschluss an Bemerkung die offene Menge

${{}} D(X)= \{P \in \mathbb A_K^1: \, P \neq 0 \} \subset {\mathbb A}_K^1 \, .$

Diese offene Menge nennt man die punktierte affine Gerade. Auf dieser offenen Menge ist ${{}} X$ invertierbar, d.h. die rationale Funktion ${{}} \frac{1}{X}$ ist darauf definiert. Diese Abbildung liefert zusammen mit der gegebenen (offenen) Inklusion ${{}} D(X) \subset \mathbb A^1_K$ die abgeschlossene Inklusion

${{}} D(X) \longrightarrow V(XY-1) \subset \mathbb A^2_K,\, x \longmapsto (x, \frac{1}{x} ) \, ,$

dessen Bild eine (in der affinen Ebene abgeschlossene) Hyperbel ist. Die punktierte affine Gerade und die Hyperbel sind also homöomorph (und die zugehörigen Ringe, nämlich ${{}} K[X]_{X} =K[X,X^{-1}]$ und ${{}} K[X,Y]/(XY-1)$, sind isomorph).