Affiner Raum/Endliche Punktfamilie/Affin unabhängig/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Von (1) nach (2). Es sei ${}i_{0}$ fixiert. Nehmen wir an, dass die Vektoren ${}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}$, ${}i\neq i_{0}$ linear abhängig sind. Dann gibt es ein

${}j\neq i_{0}\,$

derart, dass sich ${}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{j}}}$ als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Es gilt also

${}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{j}}}=\sum _{i\neq i_{0},j}c_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}P_{j}&=P_{i_{0}}+{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{j}}}\\&=P_{i_{0}}+\sum _{i\neq i_{0},j}c_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\\&=P_{i_{0}}+{\left(1-\sum _{i\neq i_{0},j}c_{i}\right)}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i_{0}}}}+\sum _{i\neq i_{0},j}c_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\\&=\sum _{i\neq j}c_{i}P_{i}\end{aligned}}$

mit

${}c_{i_{0}}=1-\sum _{i\neq i_{0},j}c_{i}\,.$

Somit liegen zwei verschiedene baryzentrische Kombinationen des gleichen Punktes vor im Widerspruch zur affinen Unabhängigkeit.

Von (2) nach (3) ist eine Abschwächung (wenn die Punktmenge leer ist, so sind alle vier Bedingungen wahr).

Von (3) nach (4). Die Familie

${\overrightarrow {P_{i}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{i-1}}},\,{\overrightarrow {P_{i}P_{i+1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{n}}}$

ist linear unabhängig, daher eine Basis des davon erzeugten Untervektorraums. Daher ist ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ nach Definition eine affine Basis des von (Ihnen erzeugten Unterraums.

Von (4) nach (1). Seien

${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}P_{i}\,$

zwei baryzentrische Kombinationen, also

${}P_{i_{0}}+\sum _{i\neq i_{0}}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}=P_{i_{0}}+\sum _{i\neq i_{0}}b_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\,$

und damit

${}\sum _{i\neq i_{0}}(a_{i}-b_{i}){\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}=0\,.$

Weil ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ eine affine Basis des von Ihnen erzeugten Raumes bilden, ist die Familie ${}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}},i\neq i_{0}$, linear unabhängig in ${}V$ und daher gilt ${}a_{i}=b_{i}$.

Zur bewiesenen Aussage