Dualraum/Einführung/Textabschnitt
Die Addition und die Skalarmultiplikation ist wie allgemein im Fall von Homomorphismenräumen definiert, also und . Bei endlichdimensionalem ist nach Fakt die Dimension des Dualraumes gleich der Dimension von .
Definition
Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer Basis . Dann nennt man die Linearformen
die durch
festgelegt sind, die Dualbasis zur gegebenen Basis.
Wegen Fakt ist durch die Vorschrift in der Tat jeweils eine Linearform festgelegt. Die Linearform ordnet einem beliebigen Vektor die -te Koordinate von bezüglich der gegebenen Basis zu. Zu ist ja
Es ist wichtig zu betonen, dass nicht nur von dem Vektor , sondern von der gesamten Basis abhängt. Es gibt keinen „dualen Vektor“ zu einem Vektor. Dies sieht beispielsweise anders aus, wenn auf ein Skalarprodukt gegeben ist.
Beispiel
Zur Standardbasis im besteht die Dualbasis aus den Projektionen auf eine Komponente, also gleich mit
Sie heißt die Standarddualbasis.
Lemma
Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer Basis .
Dann bildet die Dualbasis
eine Basis des Dualraums.
Beweis
Es sei
mit . Wenn wir diese Linearform auf anwenden, ergibt sich direkt
Die sind also linear unabhängig. Nach Fakt besitzt der Dualraum die Dimension , daher muss bereits eine Basis vorliegen.
Lemma
Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer Basis und der Dualbasis
Dann gilt für jeden Vektor die Gleichheit
D.h. die Linearformen ergeben die Skalare (Koordinaten) eines Vektors bezüglich einer Basis.
Beweis
Der Vektor hat eine eindeutige Darstellung
mit . Die rechte Seite der behaupteten Gleichheit ist somit
Lemma
Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und sei eine Basis von mit der Dualbasis . Es sei eine weitere Basis mit
Dann ist
wobei die Transponierte der inversen Matrix von ist.
Beweis
Es ist
Hier steht das „Produkt“ aus der -ten Spalte von und der -ten Spalte von , also das Produkt aus der -ten Zeile von und der -ten Spalte von . Bei ist dies und bei ist dies . Daher stimmt die angegebene Linearform mit überein.
Mit Basiswechselmatrizen kann man dies auch als
ausdrücken.