Dualraum/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Dann heißt der Homomorphismenraum

der Dualraum zu .

Die Addition und die Skalarmultiplikation ist wie allgemein im Fall von Homomorphismenräumen definiert, also und . Bei endlichdimensionalem ist nach Fakt die Dimension des Dualraumes gleich der Dimension von .


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer Basis . Dann nennt man die Linearformen

die durch

festgelegt sind, die Dualbasis zur gegebenen Basis.

Wegen Fakt ist durch die Vorschrift in der Tat jeweils eine Linearform festgelegt. Die Linearform ordnet einem beliebigen Vektor die -te Koordinate von bezüglich der gegebenen Basis zu. Zu ist ja

Es ist wichtig zu betonen, dass nicht nur von dem Vektor , sondern von der gesamten Basis abhängt. Es gibt keinen „dualen Vektor“ zu einem Vektor. Dies sieht beispielsweise anders aus, wenn auf ein Skalarprodukt gegeben ist.


Beispiel  

Zur Standardbasis im besteht die Dualbasis aus den Projektionen auf eine Komponente, also gleich mit

Sie heißt die Standarddualbasis.




Lemma  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer Basis .

Dann bildet die Dualbasis

eine Basis des Dualraums.

Beweis  

Es sei

mit . Wenn wir diese Linearform auf anwenden, ergibt sich direkt

Die sind also linear unabhängig. Nach Fakt besitzt der Dualraum die Dimension , daher muss bereits eine Basis vorliegen.



Lemma  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer Basis und der Dualbasis

Dann gilt für jeden Vektor die Gleichheit

D.h. die Linearformen ergeben die Skalare (Koordinaten) eines Vektors bezüglich einer Basis.

Beweis  

Der Vektor hat eine eindeutige Darstellung

mit . Die rechte Seite der behaupteten Gleichheit ist somit



Lemma  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und sei eine Basis von mit der Dualbasis . Es sei eine weitere Basis mit

Dann ist

wobei die Transponierte der inversen Matrix von ist.

Beweis  

Es ist

Hier steht das „Produkt“ aus der -ten Spalte von und der -ten Spalte von , also das Produkt aus der -ten Zeile von und der -ten Spalte von . Bei ist dies und bei ist dies . Daher stimmt die angegebene Linearform mit überein.

Mit Basiswechselmatrizen kann man dies auch als

ausdrücken.