Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 26

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Einheitswurzeln

Definition (Einheitswurzeln)

Es sei $K$ ein Körper und $n \in \N_+$ . Dann heißen die Nullstellen des Polynoms

$X^n-1 \,$

in

K

die

n

-ten Einheitswurzeln in

K

.

Die $1$ ist für jedes $n$ eine $n$ -te Einheitswurzel, und die $- 1$ ist für jedes gerade $n$ eine $n$ -te Einheitswurzel. Es gibt maximal $n$ $n$ -te Einheitswurzel, da das Polynom $X n - 1$ maximal $n$ Nullstellen besitzt. Die Einheitswurzeln bilden also insbesondere eine endliche Untergruppe (mit $x n = 1$ und $y n = 1$ ist auch $(x y) n = 1$ , usw.) der Einheitengruppe des Körpers. Nach Satz 19.7 ist diese Gruppe zyklisch mit einer Ordnung, die $n$ teilt.

Definition (Primitive Einheitswurzel)

Eine $n$ -te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung $n$ besitzt.

Man beachte, dass ein Erzeuger der Gruppe der Einheitswurzeln nur dann primitiv heißt, wenn es $n$ verschiedene Einheitswurzeln gibt. Wenn $ζ$ eine primitive $n$ -te Einheitswurzel ist, so sind genau die $ζ i$ mit $i < n$ und $i$ teilerfremd zu $n$ die primitiven Einheitswurzeln. Insbesondere gibt es, wenn es überhaupt primitive Einheitswurzeln gibt, genau ${\varphi (n)}$ primitive Einheitswurzeln, wobei ${\varphi (n)}$ die eulersche $\varphi$ -Funktion bezeichnet. Die komplexen Einheitswurzeln lassen sich einfach beschreiben.

Lemma

Sei $n \in \N_+$ .

Die Nullstellen des Polynoms $X n - 1$ über $\C$ sind

$e^{2 \pi i k / n} = \cos \frac{ 2 \pi k }{ n } + i \sin \frac{ 2 \pi k }{ n } , k=0,1 , \ldots , n-1 \, .$

In $\C[X]$ gilt die Faktorisierung

$X^n-1=(X-1)(X- e^{2 \pi i / n}) {\cdots }(X- e^{2 \pi i (n-1) /n}) \,$

Beweis

Der Beweis verwendet einige Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion. Es ist

$( e^{ 2 \pi i k /n})^n = e^{ 2 \pi i k } = ( e^{ 2 \pi i } )^k = 1^k = 1 \, .$

Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms

X n - 1

. Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus

$e^{2 \pi i k/n} = e^{2 \pi i \ell/n} \,$

mit $0 \leq k \leq \ell \leq n-1$ sofort durch betrachten des Quotienten $e^{2 \pi i ( \ell -k )/n} =1$ folgt, und daraus $\ell - k =0$ . Es gibt also

n

explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der eulerschen Formel.

$\Box$

Kreisteilungskörper

Definition (Kreisteilungskörper)

Der $n$ -te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

$X^n-1 \,$

über $\Q$ .

Offenbar ist $1$ eine Nullstelle von $X n - 1$ . Daher kann man $X n - 1$ durch $X - 1$ teilen und erhält, wie man schnell nachrechen kann,

$X^n-1=(X-1) (X^{n-1} +X^{n-2} + \ldots + X+1) \, .$

Wegen $1 \in \Q$ ist daher der

n

-te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von

$X^{n-1} +X^{n-2} + \ldots + X+1 \, .$

Es gibt auch Kreisteilungskörper über anderen Körpern, da es ja stets Zerfällungskörper gibt. Wir beschränken uns aber auf die Kreisteilungskörper über $\Q$ , die wir auch mit

K n

bezeichnen. Da

X n - 1

in der oben explizit beschriebenen Weise über $\C$ in Linearfaktoren zerfällt, kann man

K n

als Unterkörper von $\C$ realisieren, und zwar ist

K n

der von allen

n

-ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von $\C$ . Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt, wofür wir den folgenden Begriff einführen.

Definition (Einfache Körpererweiterung)

Eine Körpererweiterung $K \subseteq L$ heißt einfach, wenn es ein Element $x \in L$ gibt mit

$L=K(x) \, .$

Lemma

Sei $n \in \N_+$ . Dann wird der $n$ -te Kreisteilungskörper über $\Q$

von $e 2π i / n$ erzeugt.

Der $n$ -te Kreisteilungskörper ist also

$K_n=\Q( e^{2 \pi i /n} ) = \Q[e^{2 \pi i /n}] \, .$

Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine einfache Körpererweiterung von $\Q$ .

Beweis

Es sei $K n$ der $n$ -te Kreisteilungskörper über $\Q$ . Wegen $(e 2π i / n) n = 1$ ist $\Q[ e^{2 \pi i /n}] \subseteq K_n$ . Wegen $(e 2π i / n) k = e 2π i k / n$ gehören auch alle anderen Einheitswurzeln zu $\Q[ e^{2 \pi i /n}]$ , also ist $\Q[ e^{2 \pi i /n}] = K_n$ .

$\Box$

Statt $e^{ \frac{2 \pi i } { n } }$ kann man auch jede andere $n$ -te primitive Einheitswurzel als Erzeuger nehmen.

Beispiel

Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine $n$ . Bei $n = 1$ oder $2$ ist der Kreisteilungskörper gleich $\Q$ . Bei $n = 3$ ist

$X^3-1 =(X-1)(X^2+X+1) \,$

und der zweite Faktor zerfällt

$X^2+X+1 =(X + \frac{ 1 }{ 2 } - i \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } ) (X + \frac{ 1 }{ 2 } + i \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } ) \, .$

Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von $\sqrt{-3} = \sqrt{3} i$ erzeugte Körper, es ist also $K_3 = \Q[ \sqrt{-3}]$ eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen.

Bei $n = 4$ ist natürlich

$X^4-1 = (X^2-1)(X^2+1) = (X-1)(X+1) (X^2+1) = (X-1)(X+1) (X-i)(X+i) \, .$

Der vierte Kreisteilungskörper ist somit $\Q[i] \cong \Q[X]/(X^2+1)$ , also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von $\Q$ .

Lemma

Sei $p$ eine Primzahl.

Dann ist der $p$ -te Kreisteilungskörper gleich

$\Q[X]/(X^{ p-1 } + X^{ p - 2} + \ldots + X^1 +X) \,$

Insbesondere besitzt der $p$ -te Kreisteilungskörper den Grad $p - 1$ über $\Q$ .

Beweis

Der $p$ -te Kreisteilungskörper wird nach Lemma 26.6 von $e 2π i / p$ erzeugt, er ist also isomorph zu $\Q[X]/(P)$ , wobei $P$ das Minimalpolynom von $e 2π i / p$ bezeichnet. Als Einheitswurzel ist $e 2π i / p$ eine Nullstelle von $X p - 1$ und wegen $e^{2 \pi i/ p} \neq 1$ ist $e 2π i / p$ eine Nullstelle von $X^{ p-1 } + X^{ p - 2} + \ldots + X^1 +X$ . Das Polynom $X^{ p-1 } + X^{ p - 2} + \ldots + X^1 +X$ ist irreduzibel nach Aufgabe 22.12 und daher handelt es sich nach Lemma 21.13 um das Minimalpolynom von $e 2π i / p$ .

$\Box$

Weiter unten werden wir für jedes $n$ die Minimalpolynome der primitiven $n$ -ten Einheitswurzeln bestimmen.

Beispiel

Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl $e 2π i / 5$ erzeugt. Er hat aufgrund von Lemma 26.8 die Gestalt

$K_5 \cong \Q[X]/(X^4+X^3+X^2+X+1) \, ,$

wobei die Variable

X

als

e 2π i / 5

(oder eine andere primitive Einheitswurzel) zu interpretieren ist. Sei

x = e 2π i / 5

und setze

u = 2 x 4 + 2 x + 1

. Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist

$\begin{align} u^2 & = 4x^8+4x^2+1+8x^5+4x^4+4x \\ & = 4x^3+4x^2+1+8+4x^4+4x \\ & = 5+4(x^4+x^3+x^2+x+1) \\ & = 5 . \, \end{align}$

Es ist also $u= \sqrt{5}$ (die positive Wurzel) und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen

$\Q \subset \Q[\sqrt{5}] \subset K_5 \, .$

Dies zeigt aufgrund von Satz 25.3, dass die fünften Einheitswurzeln konstruierbare Zahlen sind.

Kreisteilungspolynome

Definition

Sei $n \in \N_+$ und seien $z_1 , \ldots , z_{\varphi (n)}$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom

$\Phi_{n} = \prod_{i=1}^{\varphi (n)} (X- z_i) \in \C[X] \,$

das

n

-te Kreisteilungspolynom.

Nach Konstruktion hat das $n$ -te Kreisteilungspolynom den Grad ${\varphi (n)}$ .

Lemma

Sei $n \in \N_+$ .

Dann gilt in $\C[X]$ die Gleichung

$X^n-1 = \prod_{ d {{|}} n} \Phi_{d} \, .$

Beweis

Jede der $n$ verschiedenen $n$ -ten Einheitswurzeln besitzt eine Ordnung $d$ , die ein Teiler von $n$ ist. Eine $n$ -te Einheitswurzel der Ordnung $d$ ist eine primitive $d$ -te Einheitswurzel. Die Aussage folgt daher aus

$\begin{align} X^n-1 & = \prod_{z \text{ ist } n-\text{te Einheitswurzel} } (X-z) \\ & = \prod_{d {{|}} n } \, ( \prod_{z \text{ ist primitive } d-\text{te Einheitswurzel} } (X-z)) \\ & = \prod_{d {{|}} n } \Phi_{d} . \, \end{align}$

$\Box$

Lemma

Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome

liegen in $\Z$ .

Beweis

Induktion über $n$ . Für $n = 1$ ist $\Phi_{1}=X-1 \in \Z[X]$ . Für beliebiges $n$ betrachten wir die in Lemma 26.11 beweisene Darstellung

$X^n-1= \prod_{ d{{|}}n} \Phi_{d} = (\prod_{ d{{|}}n, \, d \neq n} \Phi_{d} ) \cdot \Phi_{n} \, .$

Der linke Faktor ist ein normiertes Polynom und er besitzt nach der Induktionsvoraussetzung Koeffizienten in $\Z$ . Daraus folgt mit Aufgabe 26.4, dass auch

Φ n

Koeffizienten in $\Z$ besitzt.

$\Box$

Grundlegend ist die folgende Aussage.

Satz

Die Kreisteilungspolynome $Φ n$ sind irreduzibel.

Beweis

Nehmen wir an, dass $Φ n$ nicht irreduzibel ist. Dann gibt es nach Lemma 20.13 eine Zerlegung $Φ n = F G$ mit normierten Polynomen $F,G \in \Z[X]$ von kleinerem Grad. Wir fixieren eine primitive $n$ -te Einheitswurzel $ζ$ . Dann ist nach Definition der Kreisteilungspolynome $Φ n (ζ) = 0$ und daher ist (ohne Einschränkung) $F (ζ) = 0$ . Wir können annehmen, dass $F$ irreduzibel und normiert ist, also das Minimalpolynom von $ζ$ ist. Wir werden zeigen, dass jede primitive $n$ -te Einheitswurzel eine Nullstelle von $F$ ist. Dann folgt aus Gradgründen $\operatorname{grad} \, (F)= {\varphi (n)}=\operatorname{grad} \, (\Phi_{n})$ im Widerspruch zur Reduzibilität. Jede primitive Einheitswurzel kann man schreiben als $ζ k$ mit einer zu $n$ teilerfremden Zahl $k$ . Es genügt dabei, den Fall $ζ p$ mit einer zu $n$ teilerfremden Primzahl $p$ zu betrachten, da sich jedes $ζ k$ sukzessive als $p$ -Potenz erhalten lässt (wobei man $ζ$ sukzessive durch $ζ p$ ersetzt und $F (ζ p) = 0$ verwendet). Nehmen wir also an, dass $F(\zeta^p) \neq 0$ ist. Dann muss $G (ζ p) = 0$ sein. Daher ist $ζ$ eine Nullstelle des Polynoms $G (X p)$ und daher gilt $F H = G (X p)$ mit $H \in \Z[X]$ , da ja $F$ das Minimalpolynom von $ζ$ ist. Wir betrachten nun die Polynome $Φ n, F, G, H$ modulo $p$ , also als Polynome in $\Z/(p)[X]$ , wobei wir dafür $\overline { \Phi_{n} }, \overline{F}$ usw. schreiben. Aufgrund des Frobenius-Homomorphismus in Charakteristik $p$ und wegen dem kleinen Fermat (Satz 14.14) gilt

$\overline{G}(X^p) =( \overline{G}(X) )^p \, .$

Daher ist

$\overline{F}\overline{H} = \overline{G}(X^p) = (\overline{G}(X))^p \, .$

Sei nun $\Z/(p) \subseteq L$ der Zerfällungskörper von

X n - 1

über $\Z/(p)$ , so dass über

L

insbesondere auch $\overline{ \Phi_{n} }$ und damit auch $\overline{F}$ in Linearfaktoren zerfällt. Sei $u \in L$ eine Nullstelle von $\overline{F}$ . Dann ist

u

wegen der obigen Teilbarkeitsbeziehung auch eine Nullstelle von $\overline{G}$ . Wegen $\overline{ \Phi_{n} } = \overline{F} \overline{G}$ ist dann

u

eine mehrfache Nullstelle von $\overline{ \Phi_{n} }$ . Damit besitzt auch

X n - 1

eine mehrfache Nullstelle in

L

. Nach dem formalen Ableitungskriterium ist aber $(X^n-1)'=(n \mod p) (X^{n-1})$ und dieser Koeffizient ist nicht null. Also erzeugt das Polynom

X n - 1

und seine Ableitung das Einheitsideal, so dass es nach Aufgabe 23.14 keine mehrfache Nullstellen geben kann und wir einen Widerspruch erhalten.

$\Box$

Korollar

Der $n$ -te Kreisteilungskörper $K n$ über $\Q$ hat die Beschreibung

$K_n=\Q[X]/( \Phi_{n}) \, ,$

wobei

Φ n

das

n

-te Kreisteilungspolynom bezeichnet.

Der Grad des $n$ -ten Kreisteilungskörpers ist ${\varphi (n)}$ .

Beweis

Es ist $K_n=\Q[\zeta]$ , wobei $ζ$ eine primitive $n$ -te Einheitswurzel ist. Nach Definition des Kreisteilungspolynoms ist $Φ n (ζ) = 0$ und nach Satz 26.13 ist das Kreisteilungspolynom irreduzibel, so dass es sich um das Minimalpolynom von $ζ$ handeln muss. Also ist nach Satz 21.12 $K_n \cong \Q[X]/(\Phi_{n})$ .

$\Box$

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Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 26

Inhaltsverzeichnis

Definition (Einheitswurzeln)

Definition (Primitive Einheitswurzel)

Lemma

Beweis

Definition (Kreisteilungskörper)

Definition (Einfache Körpererweiterung)

Lemma

Beweis

Beispiel

Lemma

Beweis

Beispiel

Definition

Lemma

Beweis

Lemma

Beweis

Satz

Beweis

Korollar

Beweis

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