Endlich erzeugte kommutative Algebren/R noethersch/A über R endlich erzeugt/A endlich über B/B ist endlich erzeugt/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben ${}A=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ und ${}A=Ba_{1}+\cdots +Ba_{m}$ mit ${}a_{i}\in A$. Wir setzen ${}x_{i}=\sum _{j=1}^{m}b_{ij}a_{j}$ und ${}a_{i}a_{j}=\sum _{k=1}^{m}b_{ijk}a_{k}$ mit Koeffizienten ${}b_{ij},b_{ijk}\in B$. Wir betrachten die von diesen Koeffizienten erzeugte ${}R$-Unteralgebra ${}S$ von ${}B$ und den ${}S$-Untermodul ${}{\tilde {A}}=Sa_{1}+\cdots +Sa_{m}\subseteq A$. Die Produkte ${}a_{i}a_{j}$ gehören wieder zu diesem Modul, daher ist ${}{\tilde {A}}$ sogar eine ${}S$-Algebra. Weil die ${}x_{i}$ ebenfalls zu ${}{\tilde {A}}$ gehören, gilt sogar ${}A={\tilde {A}}$. Dies bedeutet, dass ${}A$ ein endlicher ${}S$-Modul ist. Nach Fakt ist ${}S$ ein noetherscher Ring und nach Fakt ist der ${}S$-Untermodul ${}B\subseteq A$ ebenfalls endlicher ${}S$-Modul. Die Kette ${}R\subseteq S\subseteq B$ zeigt schließlich, dass ${}B$ eine endlich erzeugte ${}R$-Algebra ist.

Zur bewiesenen Aussage