Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Addition/Fakt/Beweis

Beweis

Wir müssen zuerst die Wohldefiniertheit überprüfen, da die Verknüpfung unter Bezug auf Repräsentanten erklärt wird und daher nicht von vornherein klar ist, dass unterschiedliche Repräsentanten zum gleichen Ergebnis (zur gleichen Äquivalenzklasse) führen. Zu ${}(a,b)\sim (a',b')$ und ${}(c,d)\sim (c',d')$ muss man überprüfen, dass

${}(a+c,b+d)\sim (a'+c',b'+d')\,$

und damit ${}[(a+c,b+d)]=[(a'+c',b'+d')]$ gilt. Die beiden Voraussetzungen bedeuten ausgeschrieben ${}a+b'=a'+b$ und ${}c+d'=c'+d$. Damit ist durch Addition der beiden Gleichungen

${}a+b'+c+d'=a'+b+c'+d\,,$

was die Äquivalenz bedeutet. Die kanonische Abbildung

$q\colon \mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto [(a,b)],$

verträgt sich nach Konstruktion mit der Addition auf der Produktmenge und der soeben etablierten Addition auf ${}\mathbb {Z}$, es ist also

${}q(x+y)=q(x)+q(y)\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {N} ^{2}$. In einer solchen Situation übertragen sich wegen der Surjektivität der kanonischen Abbildung Rechengesetze von ${}\mathbb {N} ^{2}$ direkt auf die Quotientenmenge. Für das Assoziativgesetz beispielsweise betrachten wir Elemente ${}r,s,t\in \mathbb {Z}$. Es gibt ${}x,y,z\in \mathbb {N} ^{2}$ mit ${}q(x)=r$, ${}q(y)=s$, ${}q(z)=t$. Somit ist

${}{\begin{aligned}r+(s+t)&=q(x)+(q(y)+q(z))\\&=q(x)+q(y+z)\\&=q(x+(y+z))\\&=q((x+y)+z)\\&=q(x+y)+q(z)\\&=(q(x)+q(y))+q(z)\\&=(r+s)+t.\end{aligned}}$

Der Nachweis der Kommutativität und dass ${}[(0,0)]$ das neutrale Element der Verknüpfung ist, verläuft ähnlich einfach. Wegen

${}[(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=[(0,0)]=0\,$

ist in der Tat ${}[(b,a)]$ das inverse Element zu ${}[(a,b)]$.

Zur bewiesenen Aussage