Gruppentheorie/Homomorphiesatz/Textabschnitt

Satz

Es seien ${}G,Q$ und ${}H$ Gruppen, es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und ${}\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$

derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

${\begin{matrix}G&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&H&\\\!\!\!\!\!\psi \downarrow &\nearrow {\tilde {\varphi }}\!\!\!\!\!&\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

Beweis

Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element ${}u\in Q$ gibt es mindestens ein ${}g\in G$ mit ${}\psi (g)=u$. Wegen der Kommutativität des Diagramms muss

${}{\tilde {\varphi }}(u)=\varphi (g)\,$

gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein ${}{\tilde {\varphi }}$ geben kann.
Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also ${}g,g'\in G$ zwei Urbilder von ${}u$. Dann ist

${}\psi {\left(g'g^{-1}\right)}=uu^{-1}=e_{Q}\,$

und somit ist ${}g'g^{-1}\in \operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Daher ist ${}\varphi (g)=\varphi (g')$. Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien ${}u,v\in Q$ und seien ${}g,h\in G$ Urbilder davon. Dann ist ${}gh$ ein Urbild von ${}uv$ und daher ist

${}{\tilde {\varphi }}(uv)=\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)={\tilde {\varphi }}(u){\tilde {\varphi }}(v)\,.$

D.h. ${}{\tilde {\varphi }}$ ist ein Gruppenhomomorphismus.

$\Box$

Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung heißt induzierte Abbildung oder induzierter Homomorphismus und entsprechend heißt der Satz auch Satz vom induzierten Homomorphismus.

Korollar

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H.$

Beweis

Wir wenden Fakt auf ${}Q=G/\operatorname {kern} \varphi$ und die kanonische Projektion ${}q\colon G\rightarrow G/\operatorname {kern} \varphi$ an. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H$

mit ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q$, der surjektiv ist. Sei ${}[x]\in G/\operatorname {kern} \varphi$ und ${}[x]\in \operatorname {kern} {\tilde {\varphi }}$. Dann ist

${}{\tilde {\varphi }}([x])=\varphi (x)=e_{H}\,,$

also ${}x\in \operatorname {kern} \varphi$. Damit ist ${}[x]=e_{Q}$, d.h. der Kern von ${}{\tilde {\varphi }}$ ist trivial und nach Fakt ist ${}{\tilde {\varphi }}$ auch injektiv.

$\Box$

Satz

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$G{\stackrel {q}{\longrightarrow }}G/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}H,$

wobei ${}q$ die kanonische Projektion, ${}\theta$ ein Gruppenisomorphismus und ${}\iota$ die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewandt auf die Bildgruppe ${}U=\operatorname {bild} \varphi \subseteq H$.

$\Box$

Diese Aussage wird häufig kurz und prägnant so formuliert:

Bild ${}=$ Urbild modulo Kern.