- Aufwärmaufgaben
Berechne das
Integral
-
über dem Quader
.
Es sei ein
Maßraum und es sei
-
eine nichtnegative
messbare Funktion.
Zeige, dass die Zuordnung
-
ein
Maß
auf ist.
Welche
Dichte
besitzt das
Borel-Lebesgue-Maß
auf dem bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes?
Man gebe ein Beispiel für ein
Maß auf , das keine
Dichte bezüglich des
Borel-Lebesgue-Maßes besitzt.
Wir betrachten die Abbildung
-
Berechne das Minimum und das Maximum von
auf dem Quadrat
. Welche Abschätzung ergibt sich daraus für
?
a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus addiert?
b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus multiplizert?
c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus durch eine reelle Zahl aus
()
dividiert?
Berechne das Integral zur Funktion
-
über dem Einheitswürfel .
Wir betrachten die Funktion
-
a) Bestimme zu jedem Punkt das Volumen des Körpers
-
b) Zeige, dass das
(von abhängige)
Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt minimal ist
(dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).
- Aufgaben zum Abgeben
Berechne das
Integral zur Funktion über dem Rechteck .
Wir betrachten die Abbildung
-
Für welche Quadrate der Kantenlänge wird das
Integral
-
maximal? Welchen Wert besitzt es?
Wir betrachten die Abbildung
-
Berechne das Minimum und das Maximum von auf den beiden Quadraten
und .
Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für
und für ?
Es seien
und
-
endliche
Maßräume,
und es seien
-
und
-
messbare
nichtnegative
integrierbare Funktionen
mit den zu diesen
Dichten
gehörigen Maßen
und .
Zeige, dass auf das
Produktmaß
mit dem Maß zur Dichte
-
bezüglich übereinstimmt.
Wir betrachten das
Bildmaß
zur Abbildung
()
-
a) Zeige, dass ein
-
endliches Maß
auf ist.
b) Zeige, dass bezüglich die
Dichte
-
besitzt, wobei
das Volumen der
-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.