Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§1 Der Körper der reellen Zahlen

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Inhaltsverzeichnis

1 § Der Körper der Reellen Zahlen

[Bearbeiten] § Der Körper der Reellen Zahlen

Siehe auch: Körper (Algebra)

Auf $\mathbb R$ sind Addition + und Multiplikation $\cdot$ erklärt mit folgenden Eigenschaften:

Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition/Variante 3

Statt

$\!\, x+(-y)$ schreibe $\!\,x-y$

$x \cdot y^{-1}$ schreibe $\frac{x}{y}$ oder $\!\,x/y$

$x \cdot y$ schreibe $\!\,xy$

[Bearbeiten] Anordnungsaxiome

Es gibt eine Menge $P \subseteq \mathbb R$ mit: für alle $x \in \mathbb R$ gilt:

entweder $x \in P$

oder $-x \in P$

oder $\!\,x = o$

und

[Bearbeiten] (i)

$x,y \in P \Rightarrow x + y \in P$

[Bearbeiten] (ii)

$x,y \in P \Rightarrow xy \in P$

$\!\,x > 0$ (größer) für $x \in P$

$\!\,x < 0$ (kleiner) für $-x \in P$

[Bearbeiten] Exemplarischer Beweis: Warum ist 1 > 0?

Fallunterscheidung: Fall 1: $1 \in P$ Korrekt Fall 2: $(-1) \in P \Rightarrow 1 \in (-1) \cdot (-1) \in P$ Widerspruch

$x < y \Leftrightarrow y-x > 0$

[Bearbeiten] Regeln

Für das folgende gilt: $t,x,y,z \in \mathbb R$

(a) $\!\,x<y$ und $y < z \Rightarrow x < z$
(b) $x < y \Rightarrow x + z < y + z$
(c) $x < y \vee z < 0 \Rightarrow xz < yz$
(d) $x \not= 0 \Rightarrow x^2 > 0$
(e) $\!\,x < y$ und $0 < t < 1 \Rightarrow x < tx + (1-t) y < y$ insbesondere $\left(t = \frac{1}{2} \right) , x < \frac{x+y}{2} < y$
(f) $0 < x < y \Rightarrow \frac{1}{y} < \frac{1}{x}$

[Bearbeiten] Beweise

(a) $z-x = \underbrace {(z-y)}_{>0} + \underbrace{(y-x)}_{>0} >0$
(b) $\!\,(z+y)-(z+x)=y-x>0$
(c) $yz-xz= \underbrace {(y-x)}_{>0} z >0$

$xz-yz=(x-y)z=\underbrace{(y-x)}_{>0}(-z)>0$

(d) wie bei $\!\,x=1$
(e) $y-(tx+(1-t)y)=ty-tx=\underbrace{t}_{>0}\underbrace{(y-x)}_{>0}>0$
(f) $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}=\underbrace{(y-x)}_{>0}\underbrace{\frac{1}{xy}}_{>0}$

zz: $t>0 \Rightarrow \frac{1}{t}>0$

Annahme: $\frac{1}{t}<0 \Rightarrow \frac{-1}{t}>0$

$\Rightarrow \frac{-1}{t}t=-1<0$ Widerspruch!

[Bearbeiten] Absolutbetrag

$x \in \mathbb R$

$|x| = \begin{cases} x , x>0\\ 0 , x=0\\ -x, x<0 \end{cases}$

heißt Betragsfunktion.

$sign(x) = \begin{cases} 1 , x>0\\ 0 , x=0\\ -1, x<0 \end{cases}$

$x \cdot sign(x)=|x|$

$|x| \cdot sign(x)=x$

[Bearbeiten] Eigenschaften

(a) $\!\,|xy|=|x||y|$
(b) $|x|>0\ (x \not= 0),\ |0|=0$
(c) $x \leq |x|,\quad -x \leq |x|$
(d) $|x|< \epsilon \Leftrightarrow -\epsilon < x < \epsilon$

[Bearbeiten] Dreiecksungleichung

Für $x,y \in \mathbb R$ gilt: $|x+y| \leq |x|+|y|$ und $||x|-|y|| \leq |x-y|$

und "=" genau dann, wenn $xy \geq 0$

[Bearbeiten] Beweis

$\pm x \leq |x|$

$\pm y \leq |y|$

$\Rightarrow \pm (x+y) \leq |x|+|y| \Rightarrow |x+y| \leq |x|+|y|$

$|x|=|x-y+y| \leq |x-y|+|y|$

$\Leftrightarrow |x|-|y| \leq |x-y|$

$\pm (|x|+|y|) \leq |x-y| \Rightarrow ||x|-|y|| \leq |x-y|$

[Bearbeiten] Intervalle (a<b)

$[a,b] = \{x \in \mathbb R:a \leq x \leq b\}$

$[a,b) = \{x \in \mathbb R:a \leq x < b\}$

$(a,b) = \{x \in \mathbb R:a < x < b\}$

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.

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