Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§1 Grenzwert

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] 1.1 Grenzwert

[Bearbeiten] Definition:

f hat in x0 den Limes oder auch Grenzwert c \in \mathbb R , kurz \lim_{x \rightarrow x_0 } f(x) = c oder x \rightarrow x_0: \ f(x) \rightarrow c , wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit \vert f(x) -c \vert < \epsilon für alle x \in I mit 0 < \vert x - x_0 \vert < \delta

Geometrisch

(hier fehlt eine Zeichnung)

Achtung: selbst wenn f(x0) definiert ist, wird es nicht berücksichtigt.

[Bearbeiten] 1.2 Folgenkriterium

\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) existiert genau dann, wenn für jede Folge (X_n) \in I \backslash \{ x_0 \} mit x_n \rightarrow x_0 ( n \rightarrow \infty ) der Grenzwert \lim_{n \rightarrow \infty } f(x_n) existiert.

Dann sind alle Grenzwerte gleich.

Beweis
"\Rightarrow" Sei \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = c
Sei (xn) Folge wie oben
Sei ε > 0 , dazu existiert δ > 0 mit:
\vert f(x) - c \vert < \epsilon für x \in I , 0 < \vert x - x_0 \vert < \delta zu δ > 0 existiert n0 mit: \vert x_n - x_0 \vert \delta (n\ge n_0 ) also \vert f(x_n) - c \vert < \epsilon (n \ge n_0 )
\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty } f (x_n ) = c

"\Leftarrow" Sei x_n \rightarrow x_0 , f(x_n) \rightarrow c (n \rightarrow \infty )

Annahme:

\lim_{x \rightarrow x_0 } f(x) existiert nicht

Was heißt das? Es gibt ein ε > 0, so dass für jedes δ < 0 , z.B. \delta = \frac{1}{n} , es ein \xi_n \in I \backslash \{ x_0 \} mit \vert f(\xi_n ) - c \vert \ge \epsilon.

Mischfolge: (x1,ξ1,x2,ξ2,...) = (y1,y2,y3,y4,...) Folge in I \backslash \{ x_0 \}, konvergent gegen x0. Nach Voraussetzung existiert \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n)

\Rightarrow \lim_{k \rightarrow \infty } \underbrace{f(y_{2k}}_{f(\xi_k} = \lim_{k \rightarrow \infty } \underbrace{f(y_{2k-1})}_{f(\xi_k)} = c

\vert f(\xi_k) -c \vert \ge \epsilon

Widerspruch !
Beispiel
\lim_{x \rightarrow 2} x^2 = 4
\epsilon > 0: \vert x^2 - 4\vert < \epsilon für \vert x-2 \vert < \delta
\vert x^2 -4 \vert = \vert (x-2) (x+2) \vert = \vert x-2 \vert ( \vert x \vert + 2 )
Sei \vert x -2 \vert < 1 : \vert x \vert < 2+1 = 3
\vert x^2 - 4 \vert < 5\vert x -2 \vert für \vert x- 2 \vert < 1
\vert x^2 - 4 \vert < \epsilon für \vert x-2 \vert < \delta = \frac{3}{5}

[Bearbeiten] 1.3 Grenzwertregeln

Gegeben f,g,h : I \backslash \{ x_0 \} \rightarrow \mathbb R mit f(x) \rightarrow a , g(x) \rightarrow b (x \rightarrow x_0) sowie \lambda \in \mathbb R. Dann gelten

(a) f(x) + g(x) \rightarrow a+ b
(b) \lambda f(x) \rightarrow \lambda a
(c) f(x)g(x) \rightarrow ab
(d) \vert f(x) \vert \rightarrow \vert a\ \vert
(e) f(x) \le g(x) (x \in I \backslash \{ x_0 \} ) \Rightarrow a \le b
(f) b \not= 0 \Rightarrow g(x) \not= 0 I , 0 < \vert x - x_0 \vert < \sigma und \frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow \frac{a}{b} (x \rightarrow x_0)
(g) f(x) \le h(x) \le g(x) und a=b \Rightarrow \lim_{x \rightarrow x_0 } h(x) = a =b
Beweis
Folgenkriterium

Bemerkung zu (f): Sei z.B. b < 0

wähle ε = 0, dazu σ > 0 mit \vert g(x) - b \vert < b für 0 < \vert x - x_0 \vert < \sigma

g(x) = b+(g(x) -b) \ge b - \vert g(x) - b \vert > 0

Beispiele

(1) Polynome P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

= \sum_{\nu = 0}^n a_\nu x^\nu

\lim_{\nu = 0} P(x) = P(x_0)

Induktion

P(x) = a0
P(x) = x("δ = ε")
P(x) = a1x
P(x) = x2 = xx
\ddots
P(x) = (a0 + ... + an − 1xn − 1) + anxn
xn = xxn − 1

(2) Rationale Funktionen

R(x) = \frac{R(x) }{Q(x) } (\text{wo} Q(x) \not= 0 )
\lim_{x \rightarrow x_0} R(x) = R(x_0) ( falls \mathbb Q (x_0) \not= 0)

(3) f(x) = \sqrt{x} (I = [o,\infty ))

\sqrt{x} \rightarrow \sqrt{x_0} (x \rightarrow x_0 )

x_n \rightarrow x_0 , x_n \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x_n} \rightarrow \sqrt{x_0}

oder

\vert \sqrt{x} - \sqrt{x_0} \vert = \left| \frac{x - x_0}{\sqrt{x} + \sqrt{x_0}} \right| \le \frac{\vert x - x_0 \vert}{\sqrt{x_0}} < \epsilon (\vert x-x_0 \vert < \sqrt{x_0} \epsilon = \delta

hier fehlt noch einiges ....

[Bearbeiten] 1.6 Komposition von Funktionen

[Bearbeiten] 1.7 Einseitige Grenzwerte

[Bearbeiten] 1.8 Satz

[Bearbeiten] 1.9 Monotone Funktionen

[Bearbeiten] 1.10 Satz

[Bearbeiten] 1.11 Erweiterungen

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.

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