Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§4 Unendliche Reihen

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Inhaltsverzeichnis

1 4.1 Unendliche Reihen
2 4.2 Notwendige Bedingungen für die Konvergenz:
3 4.3 Teleskopreihen
4 4.4 Satz
5 4.5 Cauchykriterium (für Reihen)
6 4.6 Die harmonische Reihe
7 4.7 Leibnizkriterium (alternierende Reihen)
8 4.8 Beispiel - Die alternierende harmonische Reihe
9 4.9 Abel-Dirichletkriterium

[Bearbeiten] 4.1 Unendliche Reihen

Setze $S_n := \sum_{k=0}^n a_k$ . Wenn $\lim_{n \to \infty}s_n$ existiert, so sehen wir (*) $\sum_{k=0}^\infty a_k = \lim_{n \to \infty}S_n$ .

$\sum_{k=0}^\infty a_k$ heißt unendliche Reihe, $S n$ ihre n-te Partialsumme.

$\sum_{k=0}^\infty a_k$ heißt konvergent, wenn (*) existiert, sonst divergent.

[Bearbeiten] 4.2 Notwendige Bedingungen für die Konvergenz:

(i) $a_k \to 0 (k \to \infty)$

(ii) $r_n = \sum_{k=n+1}^\infty a_k \to 0 (n \to \infty)$ (Reihenrest)

Beweis: $S_n = \sum_{k=0}^n a_k \to s (n \to \infty)$ ;

$a_n=S_n - S_{n-1} \to S-S=0 (n \to \infty)$

$r_n = s-S_n \to s-s=0 (n \to \infty)$

[Bearbeiten] 4.3 Teleskopreihen

$(a k)$ sei Nullfolge. Dann konvergiert $\sum_{k=0}^\infty (a_k - a_{k+1})=a_0$

dann $\sum_{k=0}^\infty (a_k - a_{k+p}) =a_0+a_1+...+a_{p-1}$ .

Beweis: $n \geq p S_n = \sum_{k=0}^n (a_k-a_{k+p})=\sum_{k=0}^n a_k - \sum_{k=0}^n a_{k+p} =\sum_{k=0}^n a_k - \sum_{j=p}^{n+p} a_j$

...

Beispiel: $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2+4n+3}$

$n^2+4n+3=(n+1)(n+3) \Rightarrow \frac{1}{(n+1)(n+3)} = \frac{\frac{1}{2}}{(n+1)} - \frac{\frac{1}{2}}{(n+3)}$

$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2+4n+3} =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2}( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+3} ) = a_0 + a_1 = \frac{\frac{1}{2}}{0+1} + \frac{\frac{1}{2}}{1+3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$ .

Achtung! $\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{\frac{1}{2}}{(n+1)} - \frac{\frac{1}{2}}{(n+3)}\right) \neq \sum_{n=0}^\infty \frac{\frac{1}{2}}{(n+1)} - \sum_{n=0}^\infty \frac{\frac{1}{2}}{(n+3)}$ , da die einzelnen Summen divergent sind.

...

[Bearbeiten] 4.4 Satz

Wenn $\sum_{k=0}^\infty a_k$ und $\sum_{k=0}^\infty b_k$ konvergent, dann gilt

$\sum_{k=0}^\infty (a_k + b_k) = \sum_{k=0}^\infty a_k + \sum_{k=0}^\infty b_k$

und

$\sum_{k=0}^\infty ca_k = c \sum_{k=0}^\infty a_k (c \in \mathbb{R}$ )

Beweis, siehe Folgen.

[Bearbeiten] 4.5 Cauchykriterium (für Reihen)

Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty a_k$ ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $n 0$ gibt und $\left | \sum_{k=m+1}^n a_k \right | < \varepsilon$ für alle $n > m \geq n_0$ .

Beweis: ...

[Bearbeiten] 4.6 Die harmonische Reihe

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ ist divergent.

Beweis: ...

[Bearbeiten] 4.7 Leibnizkriterium (alternierende Reihen)

Sei $(a_k)_{k \ge 0}$ eine monoton fallende Nullfolge.

Dann konvergiert $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k$ mit

$S_{2n-1} \le s \le S_{2n} \ \ \ \ (S_n = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k )$

Beweis:

$S_{2n+2} - S_{2n} = a_{2n-2} - a_{2n+1} \le 0 \ \ \ S_{2n} \downarrow$

$S_{2n+3} - S_{2n+1} = -a_{2n+3} +a_{2n+2} \ge 0 \ \ \ S_{2n+1} \uparrow$

$S_{2n} - S_{2n-1} = a_{2n} \ge 0$

$S_1 \le S_3 \le ... \le S_{2n-1} \le s \le S_{2n} \le S_{2n-2} \le ... \le S_0$

$\lim_{n \to \infty}S_{2n-1} = \lim_{n \to \infty}S_{2n} = s$ da $a_{2n} \rightarrow 0 (n \rightarrow \infty)$

Siehe auch: Leibniz-Kriterium

[Bearbeiten] 4.8 Beispiel - Die alternierende harmonische Reihe

Die Reihe $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{1}{n} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k} \frac{1}{k+1}$ konvergiert, da $(a_k = \frac{1}{k+1} \downarrow nullfolge)$

Wert s: $\frac{1}{2} \leq s \leq 1$

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \leq s \leq 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$

[Bearbeiten] 4.9 Abel-Dirichletkriterium

Sei $(a k)$ eine monoton fallende Nullfolge und sei $(b k)$ eine Folge mit: $B_k = \sum_{k=0}^n b_k$ sei beschränkt. Dann konvergiert $\sum_{k=0}^\infty a_{k}b_k = \sum_{k = 0}^\infty B_k (a_{k+1} -a_k)$

Bemerkung:

$b_k = (-1)^k , \ \ B_k = \begin{cases} 1 \ \ \ k \ \text{gerade} \\ 0 \ \ \ k \ \text{ungerade} \end{cases}$

Beweis: "abelsche partielle Summation"

$\begin{matrix} \sum_{k=m-1}^n a_k b_k &=& \sum_{k=m+1}^n a_k (B_k - B_{k-1}) \\ &=& \sum_{k=m+1}^n a_kB_k - \sum_{j=m}^{n-1}a_{j+1} B_j & k-1=j \\ &=& a_nB_n - a_{m+1}B_m + \sum_{k = m+1}^{n-1}a_kB_k - \sum_{k=m+1}^{n-1}a_{k+1}B_k \\ &=& a_nB_n -a_{m+1}B_m+\sum_{k=m+1}^{n-1}(a_k-a_{k+1})B_k \end{matrix}$

Konvergenz:

$\left|B_k\right| \le B (k \in \mathbb{N}_0)$

$\left|\sum_{k= m+1}^na_kb_k \right| \le \underbrace{a_nB}_{\le 0} + \underbrace{a_{m+1}}_{\le 0} + \sum_{k=m+1}^{n-1}\underbrace{a_n-a_{n+1}}_{\ge 0}B=B(a_n+a_{m+1}+a_{m+a}-a_n) =2B_{am+1}$

zu $\epsilon > 0 \ \exists n_0 : a_{m+1} \le \epsilon/B (m \ge n_0 )$

d.h. $\left| \sum_{k=m+1}^na_kb_k\right| < \epsilon/B(n>m\ge n_0)$ d.h. CK erfüllt

Reihenwert

(m = - 1, B - 1 = 0)

$\sum_{k=0}^na_kb_k=a_nB_n-a_0B_{-1}+\sum_{k=0}^{n-1}(a_k-a_{k+1})B_k$

$n \rightarrow \infty: \sum_{k=0}^\infty a_kb_k=0-0+\sum_{k=0}^\infty(a_k-a_{k+1})B_k$

$\begin{matrix} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k\cdot1}}{k} &=& 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + ... - ... \\ &=& 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} - \frac{1}{7} - \frac{1}{14} - \frac{1}{16} + ... + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{4n-2} - \frac{1}{4n} + ... \end{matrix}$

$\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{4n-2} - \frac{1}{4n} = \frac{1}{4n-2} - \frac{1}{4n} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)$