Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§5 Absolut konvergente Reihen

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Inhaltsverzeichnis

ff Beispiel

\underbrace{\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}}_{=:Sn \uparrow} \le 2 - \frac{1}{n} \ \ \ (< 2) beschränkt
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} konvergent

[Bearbeiten] 5.1 Absolute Konvergenz

Die Reihe \sum_{k = 0}^\infty a_k heißt absolut konvergent, wenn \sum_{k=0}^\infty \left| a_k \right| konvergent. Absolut konvergente Reihen sind konvergent.

Beweis:

\left| \sum_{k=m+1}^na_k \right| \le \sum_{k=m+1}^n \left| a_k \right| < \epsilon (n > m \ge n_0 ) \ \ \ \ ck erfüllt zu :\epsilon < 0 \exists , n_0 mit

Beispiel:

\sum_{k=0}^\infty a_k b_k wie bei Abel-Dirichlet = \sum_{k=0}^\infty B_k (a_k -a_{k+1}) absolut konvergent
\left| B_k (a_k -A_{k+1}) \right| \le B\underbrace{(a_k - a_{k+1} )}_{\ge 0}
B \sum_{k=0}^\infty (a_k - a_{k+1}) = B_{a0}

[Bearbeiten] 5.2 Majorantenkriterium

Gilt \left| a_k \right| \le c_k \ \ ( k \in \mathbb{N}_0) und ist \sum_{k=0}^\infty c_k konvergent, dann ist \sum_{k=0}^\infty a_k absolut konvergent.

Beweis:

\left| \sum_{k=m+1}^n a_k \right| \le \sum_{k=m+1}^n \left|a_k \right| \le \sum_{k=m+1}^n c_k < \epsilon zu :\epsilon > 0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} : n > M \ge n_0

Beispiel:

\sum_{k =0 }^\infty \frac{n^4+n^2+n}{n^6-2}
n \ge 2
\frac{n^4+n^2+n}{n^6-2} \le \frac{n^4+n^4+n^4}{1/2n^6} = \frac{6}{n^2}

Anmerkung: Gilt die Ungleichung: n^6 \ge \frac{1}{2} n^6? Ja, da: n^6 \ge 4

[Bearbeiten] 5.3 Minorantenkrierium

Gilt a_k \ge c_k \ge 0 (k \in \mathbb{N}_0) und ist \sum_{k = 0}^\infty c_k divergent, dann ist auch \sum_{k=0}^\infty a_k divergent.

Beweis:

Wäre \sum_{k=0}^\infty a_k kovergent (beachte: ak > 0) so wäre auch \sum_{k=0}^\infty c_k konvergent, da \left| C_k \right| = c_k \le a_k

Bezeichnung:

\left| a_k \right| \le C_k und \sum _{k=0}^\infty a_k konvergent, dann heißt die Reihe konvergente Majorante.

[Bearbeiten] 5.4 Die geometrische Reihe

\sum_{k=0}^\infty q^k konvergent absolut für \left| q \right| < 1, und divergent sonst.

Beweis:

(q \not= 1) \ s_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \frac{1}{1-q} (\left| q \right| < 1)
q=-1 s_n = \frac{1-(-1)^{n+1}}{2} divergent
\left| q \right| > 1: \left| s_n \right| \ge \frac{\left| q \right|^{n+1}-1}{\left| q-1 \right|} \rightarrow \infty \ (n \rightarrow \infty)

[Bearbeiten] 5.5 Wurzelkriterium

Gilt \limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} < 1, dann ist \sum_{n=0}^\infty a_n absolut konvergent.

Beweis:

Wähle \limsup_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{a_n} < q <1
Dann \exists n_0 : \sqrt[n]{\left| a_n \right|} < q \ \ \ \ (\ge n_0 )
also \left| a_n \right| < q^n \ \ \ \ (n \ge n_0 )
Für n \le n_0 : C = \max \{ \frac{q^n}{\left| a_n \right| + 1} : n=0,1, ... ,N_0 \}
\left| a_n \right| < \left| a_n \right| +1 \le c \cdot q^n (n \le n_0)

Insgesamt: \left| a_n \right| \le \max \{ 1,c \} \cdot q^n = \tilde c q^n : \sum_{n=0}^\infty \tilde c q^n konvergente Majorante

Beispiel: \sum_{n=0}^\infty n^kq^n absolut konvergent, falls \left| q \right| < 1 \ (k \in \mathbb{N})

\sqrt[n]{n^k \left|q \right|^n} = \left| q \right| \underbrace{(\sqrt[n]{n})}_{\rightarrow 1}{}^k \rightarrow \left|q \right|
\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{n^k \left| q \right|^n} = \left| a \right| < 1

[Bearbeiten] 5.6 Quotientenkriterium

Gilt a_n \not= 0 (n \ge \bar n ) und \limsup_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1 , dann konvergiert \sum_{n=0}^\infty a_n absolut

Beweis
(*) \left| \frac{a_{k+1}}{a_n} \right| <q <1 (n \ge n_0 )

Multipliziere (*) für n = n0,n0 + 1,...N − 1

\left| \frac{a_{n0 +1}}{a_n0 } \cdot \frac{a_{n0 +2}}{a_{n0 +1}} \cdot ... \cdot \frac{a_{N-1}}{a_{N-2}} \cdot \frac{a_{N}}{a_{N-1}} \right| < q^{N-n_0}
\Rightarrow \left| a_N \right| < \underbrace{ (\left| a_{n0} \right| \cdot q^{-n_0})}_{= \text{constant}} \cdot q^N (n> n_0 )
\Rightarrow absolut konvergent
Beispiel
\sum_{n=0}^\infty \frac{q^n}{n!} absolut konvergent für alle q \in \mathbb{R}
q=0 \surd
q \not= 0: \left| \frac{ \frac{q^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{q^n}{n!}} \right| = \frac{\vert q \vert}{n+1} \xrightarrow[(n \rightarrow \infty)]{} 0 : \lim_{n \rightarrow \infty } \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 0

[Bearbeiten] 5.7 Verdichtungskriterium von Cauchy

[Bearbeiten] 5.8 d-adische Entwicklungen

\pi = 3,14159... = 3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100} + \frac{1}{1000} + \frac{5}{10000} + \frac{9}{100000} + ...

Dezimalentwicklung \pm a_0,a_1,a_2,a_3, ... = a_0 + \sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{10^k}

a_0 \in \mathbb{N}_0, a_k \in {0,1,...,q}

Anstelle 10 kann man d \in \mathbb{N} , d \ge 2

0,999... = 1 = \sum_{k=1}^\infty \frac{9}{10^k} = 9 \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = 1

Jede reelle Zahl a \in (0,1) hat eine eindeutig bestimmte d-adische Entwicklung

a = \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{d^k} mit a_1,a_2, ... \in \{ 0,1,2, ...,d-1\}

wenn man " ak = d − 1 für k \ge k_0 " verbietet

Beweis (Existenz)

a liegt in genau einem Intervall der Form \left[\frac{a_1}{d} , \frac{a_1+1}{d} \right) für ein a_1 \in \{0,1,2, ... , d-1 \}

\left[ \frac{a_1}{d} + \frac{a_2}{d^2} , \frac{a_1}{d} + \frac{a_2+1}{d^2} \right)

... \left[ \frac{a_1}{d} + \frac{a_2}{d^2} ... + \frac{a_n}{d^n} , \frac{a_1}{d} ... + \frac{a_n+1}{d^n} \right)

d.h. 0 \le a- \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{d^k} < \frac{1}{d^k} \Rightarrow a = \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{d^k}

(Eindeutigkeit)

Sei \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{d^k} = \sum_{k=1}^\infty \frac{b_k}{d^k}, (a_k) \not= (b_k) , d.h. (ak) = (bk) für k < m, aber a_m \not= b_m

z.B. am < bm:

0 = \sum_{k=1}^\infty \frac{b_k-a_k}{d^k} = \frac{b_m-a_m}{d^m} + \sum_{k=m+1}^\infty \frac{b_k - a_k}{d^k}

\sum_{k=m+1}^{\infty} \frac{a_k-b_k}{d^k} = \frac{b_ma_m}{d^m} \ge \frac{1}{d^m}

a_k-b_k \le d-1


links

\le \sum_{k=m+1}^\infty \frac{d-1}{d^k} = (d-1) \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{d^{m+1}} \cdot \frac{1}{d^j}

k = m + 1 + j

= \frac{d-1}{d^{n+1}} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{d}} = \frac{1}{d^m}

Es gilt "=" überall: bm = am + 1ak = d − 1,bk = 0(k > m)

[Bearbeiten] 5.9 \mathbb R ist überabzählbar (= nicht abzählbar)

M heißt abzählbar, wenn es eine Bijektion \Phi : \mathbb{N} \rightarrow M gibt

a_k = \Phi (k) : M= \{ \Phi (k) : k \in \mathbb(N) \} = \{a_1,a_2,a_3,a_4,...\}

Beweis

Es genügt: [0,1) nicht abzählbar!

Annahme, doch

[0,1) = {x1,x2,x3,...} xm = 0,x11,x12,x13,...,xnk{0,1,...,9} (Dezimalsystem) verboten 999

Setze a_k := \begin{cases} 2 & \text{wenn} \ x_{kk} \not= 2 \\ 3 & \text{wenn} \ x_{kk} = 2 \end{cases}

k = 1,2,...

a = 0,a1,a2,...,an,...
xm = 0,xm1,xm2,...,xmm,...

Insbesondere am = xmm Widerspruch! zur Definition von am

[Bearbeiten] 5.10 Komplexe Reihen

\sum_{n=0}^\infty c_n := \sum_{n=0}^\infty a_n + i \sum_{n=0}^\infty b_n

cn = an + ibn

\sum_{n=0}^\infty a_n heißt konvergent, wenn die reellen Reihen \sum_{n=0}^\infty a_n und \sum_{n=0}^\infty b_n konvergieren.

\sum_{n=0}^\infty c_n heißt absolut konvergent, wenn \sum_{n=0}^\infty \vert c_n \vert konvergiert.

Wurzel-, Quotienten- und Majorantenkriterium gelten weiterhin.

Bemerkung
\vert a_n \vert \le \vert c_n \vert \le \vert a_n \vert \le \vert b_n \vert
\vert b_n \vert \le \vert c_n \vert \le \vert a_n \vert \le \vert b_n \vert
\sum_{n=0}^\infty c_n absolut konvergent, wenn \sum_{n=0}^\infty a_n und \sum_{n=0}^\infty b_n
Abel-Dirichlet-Kriterium gilt weiter

a_k \downarrow 0 , \left( \sum_{n=0}^\infty b_k \right) sei beschränkt. Dann konvergiert \sum_{n=0}^\infty a_k b_k

Beispiel
a_k = \frac{1}{k} ( k \ge 1)
b_k = q^k q \in \mathbb{C}
\left| \sum_{k=1}^n q^k \right| = \left| q \sum_{k=1}^{n-1} q^k \right| = \left| q \frac{1-q^n}{1-q} \right|
q \not= 1
\le 1 \cdot \frac{1+1}{\vert 1 -q \vert} = \frac{2}{\vert 1 -q \vert }
q \not= 1 \vert q \vert \le 1
\sum_{k=1}^n \frac{q^k}{k} konvergent für \vert q \vert \le 1, q \not= 1


Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.

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