Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§6 Doppelreihen

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Inhaltsverzeichnis

1 6.1 Vorbemerkung
2 6.2 Umordnung einer Folge/ Reihe
3 6.3 Umordnungssatz von Riemann
4 6.4 Umordnungssatz
5 6.5 Multiplikation von Reihen
6 6.6 Doppelreihe
7 6.7 Doppelreihensatz

[Bearbeiten] 6.1 Vorbemerkung

Für $a \in \mathbb R$ setzt man

$a^+ = \begin{cases}a \ \ \text{falls } a > 0 \\ 0 \ \ \text{sonst} \end{cases} = max\{ a, 0 \}$

$a^- = \begin{cases}-a \ \ \text{falls } a < 0 \\ 0 \ \ \text{sonst} \end{cases} = max\{ -a, 0 \}$

$a^+ - a^- = a , \ \ \ \ a^+ + a^- = \vert a \vert$

$\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty a_k^+ - \sum_{k=0}^\infty a_k^-$ $\sum_{k=0}^\infty \vert a_k \vert = \sum_{k=0}^\infty a_k^+ - \sum_{k=0}^\infty a_k^-$

Falls die Reihe $\sum_{k=0}^\infty a_k$ absolut konvergiert

Bemerkung

$\sum_{k=0}^\infty a_k$ konvergiert genau dann absolut, wenn $\sum_{k=0}^\infty a_k^+$ und $\sum_{k=0}^\infty a_k^-$ konvergieren

Es ist zu beachten, dass: $(a_k^+ , a_k^- \ge 0)$

[Bearbeiten] 6.2 Umordnung einer Folge/ Reihe

Eine Umordnung einer Folge/ Reihe ist eine Bijektion $\Phi : \mathbb N \rightarrow \mathbb N$

(oder $\mathbb N_0 \rightarrow \mathbb N_0$ ):

Die umgeordnete Folge ist (Reihe):

(a Φ(k))

$\sum_{k=0}^\infty a_{\Phi (k)}$

Beispiel

1 2 3 4 5 6 7  8  9...
1 2 4 3 6 8 5 10 12 ...

$Φ(n) = ?$

Φ(3 n) = 4 n

Φ(3 n + 1) = 2 n + 1

Φ(3 n + 2) = 4 n + 2

Bijektion $\mathbb N \rightarrow \mathbb N$

$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{\Phi (k) -1}}{\Phi (k)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{\Phi (k) -1}}{k}$

[Bearbeiten] 6.3 Umordnungssatz von Riemann

Ist $\sum_{k=0}^\infty a_k$ konvergent, aber nicht absolut konvergent, und ist $s \in \mathbb R$ gegeben, dann existiert eine Umordnung $Φ$ mit $\sum_{k=0}^\infty k_{\Phi (k) } = s$

(ohne Beweis)

[Bearbeiten] 6.4 Umordnungssatz

Eine absolut konvergente Reihe kann beliebig umgeordnet werden, d.h. für jede Umordnung gilt

$\sum_{k=0}^\infty a_{\Phi (k) } = \sum_{k=0}^\infty a_k$

(absolute Konvergenz auch links)

Beweis

zuerst seien alle $a_k \ge 0$

$\sum_{k=0}^n \underbrace{a_\Phi (k)}_{\ge 0} \le \sum_{k=0}^\infty a_k$

$\Rightarrow$ absolute Konvergenz von $\sum_{k=0}^\infty a_{\Phi (k)}$ und $\sum_{k=0}^\infty a_{\Phi (k) } \le \sum_{k=0}^\infty a_k$

auch $k = \Phi^{-1} (\Phi (k)) \Rightarrow \sum_{k=0}^\infty a_k \le \sum_{k=0}^\infty a_{\Phi (k)}$

$a_k = a_k^+ - a_k^-$ $a_{\Phi (k) } = a_{\Phi (k)}^+ - a_{\Phi (k)}^-$

$\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty a_{\Phi(k)}$

$a_k \in \mathbb C : a_k = a_k' + ia_k'' (a_k' \ \text{und} \ a_k'' \in \mathbb R )$

$a Φ (k) = a Φ (k)' + i a Φ (k)''$

[Bearbeiten] 6.5 Multiplikation von Reihen

(*) $\sum_{k=0}^\infty a_k \cdot \sum_{k=0}^\infty b_k = \sum_{n=0}^\infty c_n$

mit $c_n = \sum_{j=0}^n a_jb_{n-j} = \sum_{k=0}^n a_{n-k}b_k$

Wenn $\sum_{k=0}^\infty a_k$ und $\sum_{k=0}^\infty b_k$ absolut konvergent, dann auch $\sum_{n=0}^\infty c_n$ und es gilt (*)

$\begin{matrix} a_0b_0 & a_0b_1 & a_0b_2 & a_0b_3 & ... \\ a_1b_0 & a_1b_1 & a_1b_2 & a_1b_3 & ... \\ a_2b_0 & a_2b_1 & a_2b_2 & a_2b_3 & ... \\ a_3b_0 & a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3 & ... \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matrix}$

Diagonalsummen
Spaltensummen
Zeilensummen
Quadratsummen

Cauchyprodukt
Beweis

Zuerst alle $a_k \ge 0 , b_k \ge 0$

$\sum_{n=0}^m c_n \le \sum_{j=0}^m \sum_{k=0}^m a_jb_k \le \sum_{n=0}^{2m} c_n$

alle $a_j, b_j \ge 0$

$\sum_{n=0}^m c_n \le \sum_{j=0} a_j \cdot \sum_{k=0} b_k \le \sum_{n=0}^{2m} c_n$

(1) $(\sum_{n=0}^m c_n )$ beschränkt, also $\sum_{n=0}^\infty c_n$ konvergent

(1) + (2) $m \rightarrow \infty \Rightarrow$ (*)

$a_j, b_k \in \mathbb R$ $a_j, b_k = ( a_j^+ - a_j^-)(b_k^+ - b_k^-)$ $= a_j^+b_k^+ - a_j^+b_k^ - a_j^-b_k^+ + a_j^- b_k^-$

vier Produkte wie im 1. Teil

$a_j , b_k \in \mathbb C$ :

$(a j' + i a j'')(b k' + i b k'')$

Beispiel: $\sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{k!} \sum_{k=0}^\infty \frac{b^k}{k!}$; $= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{a^k}{k!} \frac{b^{n-k}}{(n-k)!} \frac{n!}{n!}$; $= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \underbrace{}_{(a+b)^n}$

hier fehlt einiges .....

Beispiel

hier fehlt einiges .....

Beispiel

$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt[]{k}}$ konvergiert nach Leibniz, aber nicht absolut

$\left( \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt[]{k}} \right)^2 = \sum_{n=2}^\infty \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt[]{k}} \frac{(-1)^{n-k-1}}{\sqrt[]{n-k}} = \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \underbrace{\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt[]{n-k}}}_{=: d_n}$ die Reihe divergiert!

$\sqrt[]{k(n-k)} \le \frac{k+n-k}{2} = \frac{n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt[]{k(n-1)}} \ge \sum_{k=1}^{n-1} \frac{2}{n} = \frac{2(n-1)}{n} \ge 1 (n \ge 2)$

$\sum_{n=2}^\infty (-1)^{n} d_n , d_n \ge 1$ divergent

[Bearbeiten] 6.6 Doppelreihe

Sei $(c j k)$ ein doppelt indiziertes Schema $(j,k \in \mathbb N_0 )$

Dann heißt $\sum_{j,k =0}^\infty c_{jk}$ Doppelreihe.

Sie heißt absolut konvergent, wenn für eine Abzählung $Φ$ von $\mathbb N_0 \times \mathbb N_0$ die Reihe $\sum_{n=0}^\infty c_{\Phi (n)}$ absolut konvergiert.

Man sieht $\sum_{j,k = 0}^\infty c_{jk} = \sum_{n=0}^\infty c_{\Phi (n)}$

Dies ist unabhängig von $Φ$ .

Eine Abzählung von $\mathbb N_0 \times \mathbb N_0$ ist eine bijektive Abbildung $\mathbb N \rightarrow \mathbb N_0 \times \mathbb N_0$

$n \mapsto (j,k) = \Phi (n)$

Beispiel

$\Phi^{-1} : \mathbb N_0 \times \mathbb N_0 \rightarrow \mathbb N$

bijektiv: weil jedes $n \in \mathbb N$ hat eine eindeutige Darstellung der Form $2 j (2 k + 1)$

Beweis

Seien $Φ 1,Φ 2$

hier fehlt etwas ...

$\psi = \Phi_2^{-1} \circ \Phi_2$

Bijektion $\mathbb N \rightarrow \mathbb N$

$c_{\Phi_1 (n)} = c_{\Phi_2 \circ \Psi (n)}:$

$(c_{\Phi_1(n)})$ ist Umordnung von $(c_{\Phi_2(n)})$

Umordnungssatz

Beispiel: $\sum_{j,k = 0}^\infty \underbrace{2^{-j} 3^{-k}}_{=: c_{jk}} = \sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty 2^{-j} 3^{-k} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$

[Bearbeiten] 6.7 Doppelreihensatz

$\sum_{j,k=0}^\infty c_{jk}$

$= \sum_{j = 0}^\infty \sum_{k = 0}^\infty c_{jk}$ Zeilensummen

$= \sum_{k = 0}^\infty \sum_{j = 0}^\infty c_{jk}$ Spaltensummen

$= \sum_{n = 0}^\infty \sum_{\max = \{ j,k \} = n} c_{jk}$ Quadratsummen

$= \sum_{n = 0}^\infty \sum_{j+k = n}^\infty c_{jk}$ Diagonalsumme

falls die linksstehende Reihe oder eine der rechts stehenden Reihen mit $\vert c_{jk} \vert$ anstelle $c j k$ existiert.

Beweis: Für $c_{jk} \ge 0 (j,k \in \mathbb N_0 )$; dann $c_{jk} \in \mathbb R$ mit $c_{jk} = c_{jk}^+ - c_{jk}^-$; dann $c_{jk} \in \mathbb C$ mit $c j k = a j k + i b j k$; alle dann $c_{jk} \in \mathbb R$ mit $c_{jk} = c_{jk}^+ - c_{jk}^- \ge 0$ :; $\sum_{j=0}^m\sum_{k=0}^n c_{jk} = \sum_{k=0}^n\sum_{j=0}^m c_{jk}$