Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§1 Komplexe Exponentialfunktion und natürliche Logarithmusfunktion

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[Bearbeiten] Definition 1

Für $z \in \mathbb{C}$ definieren wir

(1) $\exp z := \sum^\infty_{k=0} \frac {z^k}{k!}$

und nennen $\exp z : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ die komplexe Exponentialfunktion.

[Bearbeiten] Satz 1

Die Exponentialfunktion ist in $\mathbb{C}$ holomorph und es gilt die Identität

$\frac{d}{dz} \exp z = \exp z, \quad z \in \mathbb{C}$ .

In Bsp. 2 aus §6 von Kapitel I haben wir die Konvergenz der Reihe (1) nachgewiesen. Nach Satz 15 aus Kapitel II, §3 ist die Funktion $f(x)= \exp z, z \in \mathbb{C}$ holomorph und die gliedweise Differentiation liefert

$\frac{d}{dz} \exp z = \sum^\infty_{k=1} \frac {kz^{k-1}}{k!} = \sum^\infty_{k=1} \frac {z^{k-1}}{(k-1)!} = \sum^\infty_{k=0} \frac {z^k}{k!} = \exp z, \quad z \in \mathbb{C}$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Funktionalgleichung der Exponentialfunktion)

Es gilt für alle $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$ die Funktionalgleichung

(2) $\exp(z_1+z_2) = (\exp z_1) \cdot (\exp z_2)$ .

[Bearbeiten] Beweis

Da die Exponentialreihe in $\mathbb{C}$ nach Satz 14 aus §6 in Kapitel I absolut konvergiert, können wir mit dem Multiplikationssatz für Reihen (vgl. Satz 3 aus §7 in Kapitel I) für alle $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$ wie folgt multiplizieren:

(3) $\exp z_1 \cdot \exp z_2 = \left( \sum^\infty_{k=0} \frac{z_1^k}{k!} \right) \cdot \left( \sum^\infty_{l=0} \frac {z_2^l}{l!} \right) = \sum^\infty_{k=0} \left( \sum^k_{l=0} \frac {z_1^l \cdot z_2^{k-l}}{l! \cdot (k-l)!} \right)$

$= \sum^\infty_{k=0} \frac{1}{k!} \left( \sum^k_{l=0} \begin{pmatrix} k \\ l \end{pmatrix} z_1^l \cdot z_2^{k-l} \right) = \sum^\infty_{k=0} \frac{(z_1+z_2)^k}{k!} = \exp(z_1+z_2)$ .

Hierbei haben wir den Binomialsatz aus §1 in Kapitel I verwendet.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3

In jeder kompakten Kreisscheibe $\overline{K_R}:=\{z \in \mathbb{C}:|z| \le R\}$ mit dem festen Radius $R \in (0, \infty)$ konvergiert die Funktionenfolge

$f_n(z) := \left( 1+\frac{z}{n}\right)^n, z \in \mathbb{C}, n = 1, 2, \ldots$

gleichmäßig gegen die Funktion $f(z)=\exp z, z \in \mathbb{C}$ .

[Bearbeiten] Beweis

Nach dem Binomialsatz gilt für festes $n \in \mathbb{N}$ und $z \in \mathbb{C}$ die Identität

$f_n(z) := \left( 1+ \frac{z}{n} \right)^n= \sum^n_{k=0} {n\choose k} \cdot \left( \frac{z}{n} \right)^k= 1+\sum^\infty_{k=1} \varphi_k(z,n)$ mit $\varphi_k(z,n):= \begin{cases}\displaystyle {n\choose k} \cdot \frac{1}{n^k} \cdot z^k & \text{falls } n \ge k \in \mathbb{N} \\ 0 & \text{falls } n < k \in \mathbb{N} \end{cases}$ mit $\varphi_0(z,n) = 1$ .

Für $k = 1, 2, \ldots, n$ erhalten wir

$\varphi_k(z,n)={n\choose k} \cdot \left( \frac{z}{n} \right)^k=\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k! \cdot n^k} \cdot z^k$

$=1 \cdot \left( 1-\frac{1}{n} \right) \cdot \left( 1-\frac{2}{n} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1-\frac{k-1}{n} \right) \cdot \frac{z^k}{k!}$ .

und damit

$\lim_{n \to \infty} \varphi_k(z,n)= \frac{z^k}{k!}$ .

Weiter gilt

$|\varphi_k(z,n)| \le \frac {R^k}{k!}$ für alle $z \in \overline{K_R}$ und alle $n \in \mathbb{N}_0$ .

Die Zahlenreihe

$\sum^\infty_{k=0} \frac {R^k}{k!}= \exp R < + \infty$

stellt also eine konvergente Majorante für die Funktionenreihe $\sum^\infty_{k=0} \varphi_k(z,n)$ dar. Nach dem Weierstraßschen Majorantentest aus Kapitel II, §2 konvergiert die Reihe

$\sum^\infty_{k=0} \varphi_k(z,n)$

gleichmäßig in $\overline{K_R}$ gegen die Reihe

$\sum^\infty_{k=0} \frac {z^k}{k!}= \exp z$ .

Somit folgt die gleichmäßige Konvergenz

(4) $\lim_{n \to \infty} f_n(z) = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n = \exp z, z \in \mathbb{C}$ mit $|z| \le R$ .

[Bearbeiten] Definition 2

Wir definieren die Eulersche Zahl $e$ durch die Gleichung

(5) $e:=\exp 1 = \sum^\infty_{k=0} \frac{1}{k!}=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n$ .

[Bearbeiten] Satz 4

Die Gesamtheit der komplexen Stammfunktionen für die Exponentialfunktion wird gegeben durch

$\int \exp z\,dz = \exp z + c$ , mit einer Konstante $c \in \mathbb{C}$ .

[Bearbeiten] Satz 5

Die Funktion $\exp:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , vermöge $\mathbb{R}\ni x\mapsto\exp z$ als Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die reelle Achse definiert, nennen wir die reelle Exponentialfunktion. Diese stellt eine positive, streng monoton wachsende, konvexe Funktion mit dem folgenden asymptotischen Verhalten dar:

(6) $\exp 0 = 1, \lim_{x\to +\infty} \exp x = + \infty$ und $\lim_{x\to -\infty} \exp x = 0$ .

[Bearbeiten] Beweis

1. Da die Exponentialreihe reelle Koeffizienten besitzt, folgt $\exp:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ für die Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die reelle Achse. Genauer gilt die Abschätzung

(7) $\exp x = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \ldots \ge 1 + x \ge 1 > 0$ für alle $x \in [0, +\infty)$ .

Wir beachten $exp0 = 1$ und ermitteln

$\exp x = \frac{1}{\exp(-x)}>0$ für alle $x \in (-\infty,0]$ .

2. Mit Hilfe von Satz 1 differenzieren wir auch unsere reelle Funktion

$\frac{d}{dx} \exp x = \exp x$ für alle $x \in \mathbb{R}$ .

Also ist die reelle Exponentialfunktion nach dem Mittelwertsatz streng monoton wachsend. Weiter liefert die Ungleichung

$\frac{d^2}{dx^2} \exp x = \exp x, \quad x \in \mathbb{R}$

die Konvexität der Funktion.

3. Mit Hilfe von (7) ersehen wir

$\lim_{x\to +\infty} \exp x \ge \lim_{x\to +\infty}(1 + x) = + \infty$

Schließlich berechnen wir

$\lim_{x\to -\infty} \exp x = \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{\exp(-x)} = \lim_{y\to \infty} \frac{1}{\exp(y)}=0$

[Bearbeiten] Satz 6

Für alle rationalen Exponenten $x:=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ mit $p \in \mathbb{Z}$ und $q \in \mathbb{N}$ gilt

(8) $\exp \left( \frac{p}{q} \right) = \exp x = e^x = \left( \sqrt[q]{e} \right) ^p$ .

[Bearbeiten] Beweis

Für ein festes $n \in \mathbb{N}$ berechnen wir mit der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion

$e=\exp 1 = \exp \left( \sum^n_{k=1} \frac{1}{n} \right) = \prod^n_{k=1} \exp \left( \frac{1}{n} \right)$ und folglich $(*) \quad \exp \left( \frac{1}{n} \right) = \sqrt[n]{e}$ .

Für $p = 0$ und somit $x = 0$ erhalten wir $\exp 0 = e^0 = \left( \sqrt[q]{e} \right)^0 = 1$ . Für $p > 0$ berechnet man

$\exp x = \exp \left( \frac{p}{q} \right) = \exp \left( \sum^p_{k=1} \frac{1}{q} \right) = \prod^p_{k=1} \exp \left( \frac{1}{q} \right) \stackrel{(*)}{=} \left( \sqrt[q]{e} \right)^p = e^{\frac{p}{q}} = e^x$ .

Im Fall $p < 0$ erhalten wir aus dem vorhergehenden:

$\exp x = \exp \left( \frac{p}{q} \right) = \frac{1}{\exp \left( \frac{-p}{q} \right)} = \frac{1}{e^{\left( \frac{-p}{q} \right)}} = e^{\left( \frac{p}{q} \right)} = e^x$ .

[Bearbeiten] Hilfssatz 1

Für beliebige $n \in \mathbb{N}$ gilt

$\lim_{t \to +\infty}\frac{t^n}{\exp t} =0$ .

[Bearbeiten] Beweis

Für beliebige $n \in \mathbb{N}$ gilt

$\exp t = \sum^\infty_{k=0} \frac{t^k}{k!} \ge \frac{t^{n+1}}{(n+1)!}$ bzw. $0 < \frac{t^n}{\exp t} \le \frac{(n+1)!}{t}$ für alle

t > 0

.

Hieraus folgt wegen

$\lim_{t \to +\infty} \frac{t^n}{\exp t} \le \lim_{t \to +\infty} \frac{(n+1)!}{t}=0$

sofort die Behauptung.

[Bearbeiten] Hilfssatz 2

Für alle $k \in \mathbb{N}_0$ gibt es ein Polynom $G k$ vom Grad $\deg G_k \le 2k$ , so dass folgende Darstellung gilt:

$\Phi^{(k)}(x) = G_k \left( \frac{1}{x} \right) \cdot \exp \left(- \frac{1}{x} \right)$ für alle $x > 0$ .

[Bearbeiten] Beweis durch vollständige Induktion über $k$

Für den Induktionsanfang $k = 0$ haben wir

$\Phi^{(0)}(x) = \Phi(x) = \exp \left(- \frac{1}{x} \right), \quad x > 0$

mit dem Polynom $G_0 \left( \frac{1}{x} \right) \equiv 1$ vom Grad $deg G 0 = 0$ . Die obige Darstellung sei nun für ein $k \in \mathbb{N}_0$ bereits gültig. Dann berechnen wir mit der Kettenregel

(11) $\Phi^{(k+1)}(x)= \frac{d}{dx} \Phi^{(k)}(x) = \frac{d}{dx} \left[ G_k \left( \frac{1}{x} \right) \cdot \exp \left(- \frac{1}{x} \right) \right]$

$= \exp \left(- \frac{1}{x} \right) \cdot \frac{d}{dx} G_k \left( \frac{1}{x} \right) + G_k \left( \frac{1}{x} \right) \cdot \exp \left(- \frac{1}{x} \right) \cdot \frac{1}{x^2}$

$= \exp \left(- \frac{1}{x} \right) \left[ \left( \frac{1}{x} \right)^2 \cdot G_k \left( \frac{1}{x} \right) - \left( \frac{1}{x} \right)^2 \cdot G_k' \left( \frac{1}{x} \right) \right]$

$= G_{k+1} \left( \frac{1}{x} \right) \cdot \exp \left(- \frac{1}{x} \right)$ .

Für den Grad des entstehenden Polynoms $G k + 1$ ermitteln wir

$\deg G_{k+1} \le 2 + \deg G_k \le 2 + 2k = 2 (k+1)$

und damit haben wir die Behauptung vollständig gezeigt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 7 (Glättungsfunktion)

Es sei $-\infty < a < b < +\infty$ . Dann existiert eine Funktion $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mit $f \in C^\infty(\mathbb{R})$ und $f\left(x\right) = 0$ für alle $x \in \mathbb{R} \setminus (a,b)$ und $f\left(x\right) > 0$ für alle $x \in (a, b)$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wir wählen die Funktion

$f(x):=\Phi (x-a) \cdot \Phi (b-x)$ für $x \in \mathbb{R}$ ,

welche das Gewünschte leistet.

[Bearbeiten] Definition 3

Die natürliche Logarithmusfunktion $\ln:I\to \mathbb{R}$ definieren wir auf dem Intervall $I:=(0,+\infty)$

(12) $x=\ln u \Leftrightarrow u = \exp x$ mit $u \in I$ und $x \in \mathbb{R}$

als Umkehrfunktion von $\exp:\mathbb{R}\to I$ .

[Bearbeiten] Satz 8 (Natürliche Logarithmusfunktion)

Die Funktion $\ln:I\to \mathbb{R}$ ist stetig differenzierbar in $I$ mit der Ableitung

(13) $\frac{d}{du} \ln u = \ln' u = \frac{1}{u} , \quad u \in I$ .

Sie ist in $I$ streng monoton steigend und besitzt die asymptotischen Eigenschaften

(14) $\lim_{u \to -\infty} \ln u = -\infty, \quad \ln 1 = 0, \quad \lim_{u \to +\infty} \ln u = +\infty$ .

Schließlich genügt sie der Funktionalgleichung

(15) $\ln u_1 + \ln u_2 = \ln(u_1 \cdot u_2)$ für alle $u_1, u_2 \in I$ .

[Bearbeiten] Beweis

1. Nach entsprechenden Sätzen aus §1 und §3 in Kapitel II ist die Funktion $\ln:I\to \mathbb{R}$ stetig bzw. differenzierbar und ihre Ableitung ermitteln wir wie folgt:

(16) $\ln' u = \frac{1}{\exp' x} \vert_{x = \ln u} = \frac{1}{\exp \circ \ln u} = \frac{1}{u}, \quad u \in I$ .

Also ist die Ableitungsfunktion stetig auf $I$ und positiv, woraus sich die strikte Monotonie von $\ln:I\to \mathbb{R}$ ergibt.

2. Wegen $exp0 = 1$ folgt zunächst $ln1 = 0$ . Sei nun $x_n := \exp(u_n), \ n = 1,2,\ldots$ eine Folge in $I$ mit der Eigenschaft $x_n \to 0\ (n \to \infty)$ . Dann erhalten wir $u_n = \ln(x_n) \to - \infty\ (n \to \infty)$ . Damit haben wir die erste asymptotische Eigenschaft in (14) bewiesen – und die zweite folgt genauso.