Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§4 Die Arcusfunktionen

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

Die Umkehrfunktion von y = \sin x : \left[ - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \to \mathbb{R} heißt Arcus-Sinusfunktion x=\arcsin y : [-1,1] \to \mathbb{R}. Die Umkehrfunktion von y = \cos x : [0, \pi] \to \mathbb{R} heißt Arcus-Cosinusfunktion x=\arccos y : [-1,1] \to \mathbb{R}.

[Bearbeiten] Satz 1

Für alle y \in \mathbb{R} mit |y| \le 1 gilt
(1) \arccos y + \arcsin y = \frac{\pi}{2}.

[Bearbeiten] Beweis

Nach Satz 5 in §2 gilt

[-1,+1] \ni y = \sin x = \cos \left( \frac{\pi}{2} -x \right) für alle x \in \left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].

Unter Anwendung von arccos auf die Identität y = \cos \left( \frac{\pi}{2} -x \right) und von arcsin auf y = sinx erhalten wir

(2) \arccos y = \left( \frac{\pi}{2} -x \right) = \left( \frac{\pi}{2} - \arcsin y \right)

für alle y \in [-1,+1]. Somit folgt die o. a. Behauptung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2

Die in Definition 1 erklärten Funktionen sind im Intervall \left( -1,1 \right) stetig differenzierbar und es gilt
(3) \frac{d}{dy}\arcsin y = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} und \frac{d}{dy}\arccos y = \frac{-1}{\sqrt{1 - y^2}}
für alle y\in\mathbb{R} mit \left|y\right|< 1.

[Bearbeiten] Beweis

Sei y\in(-1,1) und x: = arcsiny, wobei y = sinx mit x \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] gilt. Nach den Überlegungen in §2 ist \frac{d}{dx}\sin x = \cos x >0 für alle |x|< \frac{\pi}{2} erfüllt. Wir wenden jetzt Satz 7 aus §3 in Kapitel II auf die Funktion f\left(x\right)=\sin x und erhalten

\frac{d}{dy}\arcsin y = \frac{1}{\cos(\arcsin y)} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(\arcsin y)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}.

Aus Satz 1 folgt für alle \left|y\right|<1 unmittelbar

\frac{d}{dy}\arccos y = \frac{d}{dy} \left( \frac{\pi}{2} -\arcsin y \right) = -\frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}.

[Bearbeiten] Satz 3

Für alle y \in (-1,+1) gilt die Reihenentwicklung
(4) \arcsin y = \sum^\infty_{k=0} \frac{1}{2^{2k}} \begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{y^{2k+1}}{2k+1} = y+\frac{1}{6}y^3+\frac{3}{40}y^5 +\ldots.

[Bearbeiten] Beweis

Nach dem Satz 4 über die Binomialreihe, welchen wir in §7 zeigen werden, konvergiert für alle t \in (-1,+1) die folgende Reihe:

(5) \frac{d}{dt} \arcsin t = \frac{1}{sqrt{1-t^2}} = (1 - t^2)^{-\frac{1}{2}} = \sum^\infty_{k=0} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ k \end{pmatrix} \cdot (-1)^k \cdot t^{2k}.

Hierbei verwenden wir die – in §7 eingeführten – verallgemeinerten Binomialkoeffizienten

(6) \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ k \end{pmatrix} \cdot (-1)^k = (-1)^k \cdot \frac{\left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \left( -\frac{1}{2}-1 \right) \cdot \left( -\frac{1}{2}-2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( -\frac{1}{2}-k+1 \right)}{k!}
= \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot(2k-1)}{2^k\cdot k!}.

Wenn wir mit \prod^k_{i=1}(2i)=2^k\cdot k! erweitern, erhalten wir schließlich

(7) \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ k \end{pmatrix} \cdot (-1)^k = \frac{(2k)!}{2^{2k}\cdot (k!)^2} = \begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2^{2k}}.

Zusammen mit (5) folgt die Identität

(8) \frac{d}{dt} \arcsin t = \sum^\infty_{k=0} \frac{1}{2^{2k}} \begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix} \cdot t^{2k}, \quad t \in (-1,+1).

Mit Hilfe von Satz 9 aus §2 in Kapitel II integrieren wir diese Potenzreihe gliedweise und wir erhalten für alle y \in (-1,+1)

(9) \arcsin y = \int^y_0 \left[ \frac{d}{dt} \arcsin t \right]\,dt = \left[ \sum^\infty_{k=0} \frac{1}{2^{2k}} \begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{t^{2k+1}}{2k+1} \right]^y_0
= \sum^\infty_{k=0} \frac{1}{2^{2k}} \begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{y^{2k+1}}{2k+ 1}

Damit ist die o. a. Reihe hergeleitet.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 4

Es gilt für alle y \in \mathbb{R} mit \left|y\right| < 1 die Aussage
(10) \int \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \,dy = \arcsin y + c_1 = -\arccos y + c_2
mit den reellen Integrationskonstanten c_1,c_2 \in \mathbb{R}

[Bearbeiten] Definition 2

Die Umkehrfunktion von y = \tan x : \left[ - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \to \mathbb{R} heißt Arcus-Tangensfunktion x=\arctan y : \mathbb{R} \to \left[ - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]. Die Umkehrfunktion von y = \cot x : [0, \pi] \to \mathbb{R} heißt Arcus-Cotangensfunktion x=\arccot y : \mathbb{R} \to [0,\pi].

[Bearbeiten] Satz 5

Für alle y \in \mathbb{R} gilt
(11) \arccot y + \arctan y = \frac{\pi}{2}

[Bearbeiten] Beweis

Diese Identität entnehmen wir dem Satz 11 aus §2, wie wir im Beweis zu Satz 1 vorgestellt haben.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 6

Die in Definition 2 erklärten Funktionen sind in \mathbb{R} stetig differenzierbar und es gilt dort
(12) \frac{d}{dy}\arctan y = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} sowie \frac{d}{dy}\arccot y = \frac{-1}{\sqrt{1 + y^2}}.

[Bearbeiten] Beweis

Sei y\in\mathbb{R} und x: = arctany, wobei y = tanx mit |x|<\frac{\pi}{2} gilt. Nach Satz 9 aus §2 ist

\frac{d}{dx} \tan x = 1+\tan^2 x >0 für alle |x|< \frac{\pi}{2} erfüllt.

Wir wenden den Satz über die Differentiation von Umkehrfunktionen auf f\left(x\right) = \tan x und erhalten

(13) \frac{d}{dy}\arctan y = \frac{1}{1 + \tan^2(\arctan y)} = \frac{1}{1 + y^2}.

Dann liefert Satz 4 für alle y \in \mathbb{R} die Identität

\frac{d}{dy}\arccot y = \frac{d}{dy} \left( \frac{\pi}{2} -\arctan y \right) = -\frac{1}{1 + y^2}.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 7

Für alle y \in (-1,1) gilt die Reihenentwicklung
(14) \arctan y = \sum^\infty_{k=0} (-1)^k \cdot \frac{y^{2k+1}}{2k+1} = y - \frac{1}{3}y^3 + \frac{1}{5}y^5 -\ldots+\ldots.

[Bearbeiten] Beweis

Wir entwickeln die Ableitung dieser Funktion in eine konvergente geometrische Reihe:

(15) \frac{d}{dy} \arctan t = \frac{1}{1+t^2} = \frac{1}{1-(-t^2)} = \sum^\infty_{k=0} (-1)^k \cdot t^{2k}, \quad t \in (-1,+1).

Mit Hilfe von Satz 9 in §5 von Kapitel II integrieren wir die Potenzreihe gliedweise und erhalten

(16) \arctan y = \int^y_0 \frac{d}{dy} \arctan t\, dt = \left[ \sum^\infty_{k=0} (-1)^k \cdot \frac{t^{2k+1}}{2k+1} \right]^y_0
= \sum^\infty_{k=0} (-1)^k \cdot \frac{y^{2k+1}}{2k+1}, \quad y \in (-1,+1)

über den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 8

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 9

Die Gesamtheit der reellen stammfunktionen von der gebrochen rationalen funktion (1+y^2)^{-1}, y \in \mathbb{R} besteht aus
(19) \int \frac{1}{1+y^2} \, dy = \arctan y + c_1 = -\arccot y + c_2, \quad y\in\mathbb{R} mit c_1,c_2 \in \mathbb{R}

[Bearbeiten] Beweis

Dieser Beweis folgt sofort aus Satz 6.

q.e.d.

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