Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§5 Polarkoordinaten und Überlagerungsflächen

Aus Wikiversity

Wechseln zu: Navigation, Suche

[Bearbeiten] Satz 1 (Polarkoordinaten)

Jede komplexe Zahl w=u+iv\in\mathbb{C}\setminus \{0\} lässt sich durch
(1) w=re^{i\varphi} = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) \wedge r \in (0, +\infty) \wedge \varphi \in (-\pi, \pi]
eindeutig darstellen.

[Bearbeiten] Beweis

1. Wir zeigen zunächst die Existenz einer solchen Darstellung: Die komplexe Zahl liege im 1. Quadranten der Gaußebene:

w = u + iv, \quad u \ge 0 \quad \wedge \quad v \ge 0. Wir setzen dann: r := |w| = \sqrt{u^2 + v^2} > 0, \quad \xi := \frac{u}{|w|}, \quad \eta := \frac{v}{|w|}.

Dann ist w = |w| \left( \frac{u}{|w|} + i \frac{v}{|w|} \right) = r (\xi + i\eta) mit \xi \ge 0 sowie \eta \ge 0 und \xi^2 + \eta^2 = \frac{u^2 + v^2}{|w|^2} = 1, woraus \eta \in [0, 1] = \left[\sin 0, \sin \left( \frac{\pi}{2} \right)\right] folgt. Nach Satz 1 aus §2 existiert genau ein \varphi \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] mit \sin \varphi = \eta. Weiter gilt \cos \varphi = \sqrt{1 - \sin^2 \varphi} = \sqrt{1 - \eta^2} = \xi. Damit erhalten wir die geforderte Darstellung

(2) w = r (\xi + i\eta) = r (\cos \varphi + i\sin \varphi) = re^{i \varphi} mit r > 0 und 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}.

2. Nun wollen wir (1) für alle w \in \mathbb{C} \setminus \{0\} gewinnen. In Polarkoordinaten w = r \cdot e^{i \varphi} wird die Spiegelung am Nullpunkt durch

-w = - re^{i \varphi} = e^{i \pi} \cdot re^{i \varphi} = re^{i (\varphi + \pi)}

und die Spiegelung an der reellen Achse durch

\overline{w} = \overline{r (\cos \varphi + i\sin \varphi)} = r (\cos \varphi - i\sin \varphi) = r [\cos(- \varphi) + i\sin(- \varphi)] = re^{-i \varphi}

beschrieben. Für eine beliebige komplexe Zahl w \in \mathbb{C} \setminus \{0\} wenden wir eine Spiegelung am Nullpunkt oder eine Spiegelung an der reellen Achse an und wir können sie so in den 1. Quadranten überführen. Die Rücktransformation liefert w = re^{i \varphi} mit r > 0 und \varphi \in \mathbb{R} für alle w \in \mathbb{C} \setminus \{0\}. Wir bestimmen noch ein k \in \mathbb{Z}, so dass - \pi < \varphi + 2k\pi \le \pi gilt und setzen \psi := \varphi + 2k\pi. Wegen e2kπi = 1 ist dann die Darstellung w = reiψ mit r > 0 und -\pi < \psi \le \pi für alle w \in \mathbb{C} \setminus \{0\} gefunden.
3. Wir weisen jetzt die Eindeutigkeit der Darstellung für w \neq 0 nach. Angenommen es gäbe die beiden Darstellungen w = re^{i \varphi}\ (r > 0, -\pi < \varphi \le \pi) und w = \rho e^{i \omega}\ (\rho > 0, -\pi < \omega \le \pi). Für den Betrag ermitteln wir r = | w | = ρ > 0 und dann folgt e^{i \varphi} = e^{i \omega} bzw. e^{i (\varphi - \omega)} = 1. Wegen |\varphi - \omega| < 2\pi liefert Hilfssatz 4 aus §2 die Identität \varphi = \omega.

q.e.d.

Wir wollen jetzt eine Fläche \mathbb{U} \subset \mathbb{R}^3 so konstruieren, dass man ihren Punkten in eindeutiger Weise universelle Polarkoordinaten

0 < R < + \infty, \quad - \infty < \Phi < + \infty

zuordnen kann. Hierzu betrachten wir die Punktmenge

\mathbb{U} := \{\mathbf{w} = (w, k) \in \mathbb{R}^3: w \in \mathbb{C} \setminus \{0\}, k \in \mathbb{Z}\}.

Sie besteht aus den Blättern

\mathbb{U}_k := \Bigl \{\mathbf{w} = \Bigl (r \cdot \exp(i \varphi), k \Bigr) \in \mathbb{U}: - \pi < \varphi \le + \pi, 0 < r < + \infty \Bigr\}

mit dem Schlitz

Parser-Fehler (Unbekannte Funktion \i): \mathbb{S}_k := \{\mathbf{w} = (- r, k) \i [[Kategorie:Fachbereich Mathematik|Analysis I]] [[Kategorie:Kurs:Analysis I|!]]
Von „http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Analysis_I/Kapitel_III:_Die_elementaren_Funktionen/%C2%A75_Polarkoordinaten_und_%C3%9Cberlagerungsfl%C3%A4chen“
Persönliche Werkzeuge