Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§7 Die allgemeinen Potenzfunktionen

Definition 1

Zur Potenz $\gamma =\alpha +i\beta \in \mathbb {C}$ betrachten wir die universelle Potenzfunktion $F_{\gamma }:\mathbb {U} \to \mathbb {U}$ vermöge

(1) $F_{\gamma }(\mathbf {w} ):=Exp(\gamma \cdot Log\mathbf {w} ),\quad \mathbf {w} =(w,k)\in \mathbb {U}$.

Satz 1 (Universelles Potenzgesetz)

Für je zwei potenzen $\gamma _{j}=\alpha _{j}+i\beta _{j}$ mit $j=1,2$ erfüllen die Potenzfunktionen $F_{\gamma _{j}}$ die identität

$F_{\gamma _{1}}(\mathbf {w} )*F_{\gamma _{2}}(\mathbf {w} )=F_{\gamma _{1}+\gamma _{2}}(\mathbf {w} ),\quad \mathbf {w} \in \mathbb {U}$.

Beweis

Wir berechnen

$F_{\gamma _{1}+\gamma _{2}}(\mathbf {w} )=Exp((\gamma _{1}+\gamma _{2})\cdot Log\mathbf {w} )$

$=Exp(\gamma _{1}\cdot Log\mathbf {w} )*Exp(\gamma _{2}\cdot Log\mathbf {w} )=F_{\gamma _{1}}(\mathbf {w} )*F_{\gamma _{2}}(\mathbf {w} ),\quad \mathbf {w} \in \mathbb {U}$.

q.e.d.

Definition 2

Zur Potenz $\gamma =\alpha +i\beta \in \mathbb {C}$ betrachten wir die allgemeine Potenzfunktion $f_{\gamma }:\mathbb {U} \to \mathbb {C} \setminus \{0\}$ vermöge

(3) $f_{\gamma }(\mathbf {w} ):=\exp(\gamma \cdot Log\mathbf {w} )=:\mathbf {w} ^{\gamma },\quad \mathbf {w} =(w,k)\in \mathbb {U}$.

Zur Differentiation dieser Funktion verwenden wir Satz 2 aus §6 mit den dortigen Bezeichnungen: In einem beliebigen Punkt $\mathbf {w} _{0}=(w_{0},k_{0})\in \mathbb {U}$ betrachten wir die Liftung

$\tau _{\mathbf {w} _{0}}:K(w_{0})\to \mathbb {K} (\mathbf {w} _{0})$

auf die maximale Kreisscheibe in der Überlagerungsfläche. Die assoziierte Funktion

(4) $f(w):=\exp(\gamma \cdot Log\circ \tau _{\mathbf {w} _{0}}(w)),\quad w\in K_{w_{0}}$

ist holomorph und ihre komplexe ableitung lautet:

(5) $f'(w):=\exp(\gamma \cdot Log\circ \tau _{\mathbf {w} _{0}}(w))\cdot \gamma \cdot {\Bigl (}Log\circ \tau _{\mathbf {w} _{0}}{\Bigr )}'(w)$

$=\gamma \cdot \exp(\gamma \cdot Log\circ \tau _{\mathbf {w} _{0}}(w))\cdot {\frac {1}{w}}$

$=\gamma \cdot \exp(\gamma \cdot Log\circ \tau _{\mathbf {w} _{0}}(w))\cdot (-Log\circ \tau _{\mathbf {w} _{0}}(w))$

$=\gamma \cdot \exp((\gamma -1)\cdot Log\circ \tau _{\mathbf {w} _{0}}(w))$

$=\gamma \cdot \mathbf {w} ^{\gamma -1}{\Bigl |}_{\mathbf {w} =\tau _{\mathbf {w} _{0}}(w)},\quad w\in K(w_{0})$

Satz 2

Für alle $\gamma \in \mathbb {C}$ ist die allgemeine Potenzfunktion $f_{\gamma }:\mathbb {U} \to \mathbb {C} \setminus \{0\}$ auf der universellen Überlagerungsfläche holomorph. Im oben präzisierten Sinne – siehe (4) und (5) – gilt die Differentiationsregel

${\frac {d}{d\mathbf {w} }}\mathbf {w} ^{\gamma }=\gamma \cdot \mathbf {w} ^{\gamma -1},\quad \mathbf {w} \in \mathbb {U}$.

Satz 3

Sei die komplexe Zahl $w_{0}\in \mathbb {C}$ und die natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ gegeben. Die gesamtheit der komplexen stammfunktionen der folgenden gebrochen rationalen funktion lautet

(6) $\int {\frac {1}{(w-w_{0})^{n+1}}}\,dw={\frac {1}{-n\cdot (w-w_{0})^{n}}}+c$ für alle $w\in \mathbb {C} \setminus \{w_{0}\}$

mit der komplexen Integrationskonstante $c\in \mathbb {C}$.

Definition 3

Zur Potenz $\gamma =\alpha +i\beta \in \mathbb {C}$ betrachten wir die allgemeine komplexe Potenzfunktion

$f_{\gamma }:\mathbb {C} '\to \mathbb {C} \setminus \{0\}$

vermöge

(7) $f_{\gamma }(w):=\exp(\gamma \cdot \log w)=:w^{\gamma },\quad w\in \mathbb {C} '$.

Satz 4 (Binomialreihe)

Mit dem Exponenten $\gamma =\alpha +i\beta \in \mathbb {C}$ gilt für die Funktion

$f(w):=(1+w)^{\gamma },\quad w\in B$

auf der Einheitskreisscheibe $B:=\{w\in \mathbb {C} :|w|<1\}$ die folgende Darstellung

(8) $f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }{\begin{pmatrix}\gamma \\k\end{pmatrix}}w^{k},\quad w\in B$

durch die konvergente Binomialreihe. Dabei haben wir die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten wie folgt erklärt:

(9) ${\begin{pmatrix}\gamma \\k\end{pmatrix}}:={\frac {\gamma \cdot (\gamma -1)\cdot \ldots \cdot (\gamma -k+1)}{k!}}$ für $k\in \mathbb {N}$ und ${\begin{pmatrix}\gamma \\0\end{pmatrix}}:=1$.

Beweis

1. Zunächst genügt die Funktion $f$ dem folgenden Anfangswertproblem:

(10) $f=f(w):B\to \mathbb {C} \setminus \{0\}$ holomorph, $f'(w)={\frac {\gamma }{1+w}}\cdot f(w),\quad w\in B$ und $f\left(0\right)=1$.

Haben wir nun zwei Lösungen $f_{j}$ von (10) mit $j=1,2$ gegeben, so erfüllt deren Quotient

$F(w):={\frac {f_{1}(w)}{f_{2}(w)}},\quad w\in B$

das folgende Anfangswertproblem:

(11) $F'(w)={\frac {f_{1}'(w)\cdot f_{2}(w)-f_{1}(w)\cdot f_{2}'(w)}{(f_{2}(w))^{2}}}$

$=\gamma \cdot {\frac {f_{1}'(w)\cdot f_{2}(w)-f_{1}(w)\cdot f_{2}'(w)}{(1+w)\cdot (f_{2}(w))^{2}}}=0$ für alle $w\in B$ und $F\left(0\right)=1$.

Somit ist $F(w)\equiv 1,w\in B$ bzw. $f_{1}(w)\equiv f_{2}(w),w\in B$ richtig. Folglich ist das Anfangswertproblem (10) eindeutig bestimmt.

2. Wir zeigen nun, dass die Binomialreihe in $B$ konvergiert:

(12) ${\frac {\left|{\begin{pmatrix}\gamma \\k+1\end{pmatrix}}w^{k+1}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}\gamma \\k\end{pmatrix}}w^{k}\right|}}={\frac {|w|\cdot |\gamma |\cdot |\gamma -1|\cdot \ldots \cdot |\gamma -k|\cdot k!}{|\gamma |\cdot |\gamma -1|\cdot \ldots \cdot |\gamma -k+1|\cdot (k+1)!}}$

$={\frac {|w|\cdot |\gamma -k|}{|k+1|}}={\frac {|w|\cdot \left|1-{\frac {\gamma }{k}}\right|}{\left|1+{\frac {1}{k}}\right|}}$ für $k=1,2,\ldots$.

Wir sehen

$\lim _{k\to \infty }{\frac {\left|{\begin{pmatrix}\gamma \\k+1\end{pmatrix}}w^{k+1}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}\gamma \\k\end{pmatrix}}w^{k}\right|}}=|w|\in [0,+1)$

für alle $w\in B$ ein. Das Quotientenkriterium liefert sofort die Konvergenz der Binomialreihe in $B$.

3. Schließlich genügt

$g(w)=\sum _{k=0}^{\infty }{\begin{pmatrix}\gamma \\k\end{pmatrix}}w^{k},\quad w\in B$

dem anfangswertproblem (10): Offenbar ist $g\left(0\right)=1$ erfüllt. Dann differenzieren wir gemäß Satz 15 aus §3 in Kapitel II gliedweise die binomialreihe und erhalten

(13) $(1+w)\cdot g'(w)=(1+w)\cdot \sum _{k=1}^{\infty }k\cdot {\begin{pmatrix}\gamma \\k\end{pmatrix}}w^{k-1}$

$=\gamma \cdot \left[\sum _{k=1}^{\infty }{\begin{pmatrix}\gamma -1\\k-1\end{pmatrix}}w^{k-1}+\sum _{k=1}^{\infty }{\begin{pmatrix}\gamma -1\\k-1\end{pmatrix}}w^{k}\right]$

$=\gamma \cdot \left[\sum _{l=0}^{\infty }{\begin{pmatrix}\gamma -1\\l\end{pmatrix}}w^{l}+\sum _{l=1}^{\infty }{\begin{pmatrix}\gamma -1\\l-1\end{pmatrix}}w^{l}\right]$

$=\gamma \cdot \left[1+\sum _{l=1}^{\infty }{\Bigl (}{\begin{pmatrix}\gamma -1\\l\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\gamma -1\\l-1\end{pmatrix}}{\Bigr )}w^{l}\right]$

$=\gamma \cdot \left[1+\sum _{l=1}^{\infty }{\begin{pmatrix}\gamma \\l\end{pmatrix}}w^{l}\right]=\gamma \cdot \left[\sum _{l=0}^{\infty }{\begin{pmatrix}\gamma \\l\end{pmatrix}}w^{l}\right]=\gamma \cdot g(w),\quad w\in B$

Hierbei haben wir das vom Binomialsatz bekannte Additionstheorem für die Binomialkoeffizienten

${\begin{pmatrix}\gamma -1\\l\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\gamma -1\\l-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma \\l\end{pmatrix}}$

verwandt, welches auch für die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten gilt. Da das Anfangswertproblem (10) eindeutig lösbar ist, stimmt die funktion $f\left(w\right)=(1+w)^{\gamma }$ in $B$ mit der Binomialreihe überein.

q.e.d.

Satz 5

Sei die komplexe Zahl $w_{0}=u_{0}+iv_{0}\in \mathbb {C}$ mit $v_{0}>0$ in der oberen Halbebene und die natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ gegeben sowie $\gamma =\alpha +i\beta \in \mathbb {C}$. Die Gesamtheit der reellen Stammfunktionen folgender echt gebrochen rationaler Funktionen lautet:

(15) $\int {\frac {Re{\Bigl (}(\alpha +i\beta )\cdot ((u-u_{0})+iv_{0})^{n+1}{\Bigr )}}{(u^{2}-2u_{0}\cdot u+|w_{0}|^{2})^{n+1}}}\,du=Re\int {\frac {\gamma }{(u-w_{0})^{n+1}}}\,du$

$=Re\left({\frac {\gamma }{-n\cdot (u-w_{0})^{n}}}\right)+c={\frac {Re{\Bigl (}(\alpha +i\beta )\cdot ((u-u_{0})+iv_{0})^{n}{\Bigr )}}{-n\cdot (u^{2}-2u_{0}\cdot u+|w_{0}|^{2})^{n}}}+c$

für alle $u\in \mathbb {R}$, mit der reellen Integrationskonstante $c\in \mathbb {R}$.

Während im Zähler reelle Polynome vom Grad höchstens $n+1$ und $n$ auf der linken bzw. rechten Seite auftreten, finden wir im Nenner Potenzen eines quadratischen Polynoms, welches keine Nullstellen in $\mathbb {R}$ besitzt.

Beweis

Wir berechnen

$\int {\frac {Re{\Bigl (}(\alpha +i\beta )\cdot ((u-u_{0})+iv_{0})^{n+1}{\Bigr )}}{(u^{2}-2u_{0}\cdot u+|w_{0}|^{2})^{n+1}}}\,du$

$=Re\int {\frac {\gamma \cdot (u-{\overline {w_{0}}})^{n+1}}{(u-w_{0})^{n+1}\cdot (u-{\overline {w_{0}}})^{n+1}}}\,du$

$=Re\int {\frac {\gamma }{(u-w_{0})^{n+1}}}\,du=Re\left({\frac {\gamma }{-n\cdot (u-w_{0})^{n}}}\right)+c$

$=\ldots ={\frac {Re{\Bigl (}(\alpha +i\beta )\cdot ((u-u_{0})+iv_{0})^{n}{\Bigr )}}{-n\cdot (u^{2}-2u_{0}\cdot u+|w_{0}|^{2})^{n}}}+c$

mit der reellen Integrationskonstante $c\in \mathbb {R}$.

Bemerkungen

Den Fall $n=0$ haben wir bereits in Satz 7 und der anschließenden Bemerkung aus §6 gesondert behandelt. Speziell im Fall $n=1$ erhalten wir aus obigem Satz die Integrationsregel

(17) $\int {\frac {\alpha (u-u_{0})^{2}-\alpha v_{0}^{2}-2\beta (u-u_{0})v_{0}}{(u^{2}-2u_{0}\cdot u+|w_{0}|^{2})^{2}}}\,du={\frac {-\alpha (u-u_{0})+\beta v_{0}}{(u^{2}-2u_{0}\cdot u+|w_{0}|^{2})}}+c$.

Es ist mühsam, solche gebrochen rationale Funktionen im Reellen zu integrieren.

Definition 4

Zur Potenz $\alpha \in \mathbb {R}$ betrachten wir die allgemeine reelle Potenzfunktion

$f_{\alpha }:\mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R}$

vermöge

(18) $f_{\alpha }(u):=\exp(\alpha \cdot \ln |u|)=:u^{\alpha },\quad u\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$.

Satz 6

Sei die komplexe Zahl $u_{0}\in \mathbb {R}$ und die natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ gegeben. Die Gesamtheit der reellen Stammfunktionen der folgenden echt gebrochen rationalen Funktionen lautet:

(19) $\int {\frac {1}{(u-u_{0})^{n+1}}}\,du={\frac {1}{-n\cdot (u-u_{0})^{n}}}+c$ für alle $u\in \mathbb {R} \setminus \{u_{0}\}$

mit der reellen integrationskonstante $c\in \mathbb {R}$.

Satz 7

Für alle $x_{1},\ldots ,x_{n}\geq 0$ und $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\geq 0$ mit $\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}=1\ (n=2,3,\ldots )$ gilt

(20) $\prod _{k=1}^{n}x_{k}^{\lambda _{k}}\leq \sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}x_{k}$.

Beweis

Gemäß §6 in Kapitel II ist eine konkave Funktion ein Element der Menge

$K^{-}(a,b):={\Bigl \{}f:(a,b)\to \mathbb {R} {\Bigr |}f\in C^{2}(a,b)\ und\ f''(x)\leq 0\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } x\in (a,b){\Bigr \}}$.

Analog zu Satz 3 aus §6 in Kapitel II gilt für konkave Funktionen unter obigen Voraussetzungen die Jensensche Ungleichung

$f\left(\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}x_{k}\right)\geq \sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}\cdot f(x_{k})$.

Betrachten wir nun die konkave Funktion $f(x)=\ln x:(0,+\infty )\to \mathbb {R}$ mit der zweiten Ableitung

$f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}<0$ für alle $x\in (0,+\infty )$,

so erhalten wir die Ungleichung

$\ln \left(\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}x_{k}\right)\geq \sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}\cdot \ln x_{k}$.

Bilden wir nun die Potenz zur Basis $e$, so erhalten wir wegen der Monotonie der reellen Exponentialfunktion die Ungleichung (20), nämlich

$\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}x_{k}\geq \exp \left(\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}\ln x_{k}\right)=\exp \left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{\lambda _{k}}\right)$

$=\exp \left(\ln \left(\prod _{k=1}^{n}x_{k}^{\lambda _{k}}\right)\right)=\prod _{k=1}^{n}x_{k}^{\lambda _{k}}$,

wobei $x_{1},\ldots ,x_{n}>0$ und $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}>0$ erfüllt ist. Aus Stetigkeitsgründen bleibt (20) auch für alle $x_{1},\ldots ,x_{n}\geq 0$ und $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\geq 0$ richtig.

q.e.d.

Folgerung 1

Für $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq 2$ erklären wir die Koeffizienten $\lambda _{k}:={\frac {1}{n}}$ mit $1\leq k\leq n$ und wir erhalten die Ungleichung

$\prod _{k=1}^{n}x_{k}^{\frac {1}{n}}\leq \sum _{k=1}^{n}{\frac {x_{k}}{n}}$

bzw.

(21) $m_{G}:={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}\leq {\frac {1}{n}}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})=:m_{A}$

für alle rellen Zahlen $x_{k}\geq 0$ mit $1\leq k\leq n$. Dieses besagt, dass das geometrische Mittel $m_{G}$ kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel $m_{A}$ ist.

Folgerung 2

Wir setzen nun $x_{k}:=a_{k}^{p_{k}}$ und $\lambda _{k}:=p_{k}^{-1}$ für $k=1,2,\ldots ,n$ in Satz 7 ein, wobei $a_{k}\geq 0$ und $p_{k}>1$ sowie $\sum _{k=1}^{n}p_{k}^{-1}=1$ gelten. Wegen $x_{k}^{\lambda _{k}}=a_{k}$ erhalten wir die Ungleichung

$\prod _{k=1}^{n}a_{k}\leq \sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}^{p_{k}}}{p_{k}}}$.

Folgerung 3

Im Falle $n=2$ mit $a_{1}:=a\geq 0$, $a_{2}:=b\geq 0$ und $p_{1}:=p>1$, $p_{2}:=q>1$ sowie ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ ergibt sich die Youngsche Ungleichung

(22) $a\cdot b\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}$.

Satz 8 (Höldersche Ungleichung im $\mathbb {R} ^{n}$)

Es seien $a_{k},b_{k}\in \mathbb {C}$ – für $k=1,2,\ldots ,n$ – gegeben. Wenn die Exponenten $p,q\in (1,+\infty )$ die Bedingung ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ erfüllen, dann folgt

(23) $\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot {\overline {b_{k}}}\right|\leq \sum _{k=1}^{n}|a_{k}|\cdot |b_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}$.

Beweis

Wir brauchen nur die rechte Ungleichung in (23) zu beweisen. Wenn $\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}=0$ erfüllt ist, so muss $a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=0$ gelten und in (23) tritt Gleichheit ein. Also können wir ohne Einschränkung $\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}>0$ und $\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}>0$ annehmen. Dann betrachten wir die normierten Größen

$\alpha _{k}:={\frac {|a_{k}|}{\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}}$ und $\beta _{k}:={\frac {|b_{k}|}{\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}}}$,

welche offenbar die Bedingung

$\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}^{p}=1=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}^{q}$

erfüllen. Nach der Youngschen Ungleichung (22) gilt

$\alpha _{k}\cdot \beta _{k}\leq {\frac {\alpha _{k}^{p}}{p}}+{\frac {\beta _{k}^{q}}{q}}$ für $k=1,2,\ldots ,n$.

Summation über $k$ liefert die ungleichung

(24) $\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\cdot \beta _{k}\leq {\frac {1}{p}}\cdot \sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}^{p}+{\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=1}^{n}\beta _{k}^{q}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$

wegen der Normierungsbedingungen. Diese Ungleichung (24) impliziert offenbar die rechte ungleichung in (23).

q.e.d.