Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§7 Die allgemeinen Potenzfunktionen

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

Zur Potenz \gamma = \alpha + i\beta \in \mathbb{C} betrachten wir die universelle Potenzfunktion F_\gamma: \mathbb{U} \to \mathbb{U} vermöge
(1) F_\gamma(\mathbf{w}):= Exp(\gamma \cdot Log \mathbf{w}), \quad \mathbf{w} = (w,k) \in \mathbb{U}.

[Bearbeiten] Satz 1 (Universelles Potenzgesetz)

Für je zwei potenzen γj = αj + iβj mit j = 1,2 erfüllen die Potenzfunktionen F_{\gamma_j} die identität
F_{\gamma_1}(\mathbf{w})*F_{\gamma_2} (\mathbf{w})= F_{\gamma_1+\gamma_2}(\mathbf{w}), \quad \mathbf{w} \in \mathbb{U}.

[Bearbeiten] Beweis

Wir berechnen

F_{\gamma_1+\gamma_2}(\mathbf{w})= Exp((\gamma_1+ \gamma_2) \cdot Log \mathbf{w})
=Exp(\gamma_1 \cdot Log \mathbf{w})* Exp(\gamma_2 \cdot Log \mathbf{w})=F_{\gamma_1}(\mathbf{w})* F_{\gamma_2}(\mathbf{w}), \quad \mathbf{w} \in \mathbb{U}.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 2

Zur Potenz \gamma = \alpha + i\beta \in \mathbb{C} betrachten wir die allgemeine Potenzfunktion f_\gamma: \mathbb{U} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} vermöge
(3) f_\gamma(\mathbf{w}):= \exp(\gamma \cdot Log \mathbf{w})=: \mathbf{w}^\gamma, \quad \mathbf{w} = (w,k) \in \mathbb{U}.

Zur Differentiation dieser Funktion verwenden wir Satz 2 aus §6 mit den dortigen Bezeichnungen: In einem beliebigen Punkt \mathbf{w}_0 = (w_0,k_0) \in \mathbb{U} betrachten wir die Liftung

\tau_{\mathbf{w}_0}:K(w_0) \to \mathbb{K}(\mathbf{w}_0)

auf die maximale Kreisscheibe in der Überlagerungsfläche. Die assoziierte Funktion

(4) f(w):=\exp(\gamma \cdot Log \circ \tau_{\mathbf{w}_0} (w)), \quad w \in K_{w_0}

ist holomorph und ihre komplexe ableitung lautet:

(5) f'(w):=\exp(\gamma \cdot Log \circ \tau_{\mathbf{w}_0} (w)) \cdot \gamma \cdot \Bigl( Log \circ \tau_{\mathbf{w}_0} \Bigr)' (w)
=\gamma \cdot \exp(\gamma \cdot Log \circ \tau_{\mathbf{w}_0} (w)) \cdot \frac{1}{w}
=\gamma \cdot \exp(\gamma \cdot Log \circ \tau_{\mathbf{w}_0} (w)) \cdot (-Log \circ \tau_{\mathbf{w}_0}(w))
=\gamma \cdot \exp((\gamma-1) \cdot Log \circ \tau_{\mathbf{w}_0}(w))
=\gamma \cdot \mathbf{w}^{\gamma-1} \Bigl|_{\mathbf{w} = \tau_{\mathbf{w}_0}(w)}, \quad w \in K(w_0)

[Bearbeiten] Satz 2

Für alle \gamma \in \mathbb{C} ist die allgemeine Potenzfunktion f_\gamma: \mathbb{U} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} auf der universellen Überlagerungsfläche holomorph. Im oben präzisierten Sinne – siehe (4) und (5) – gilt die Differentiationsregel
\frac{d}{d \mathbf{w}} \mathbf{w}^\gamma = \gamma \cdot \mathbf{w}^{\gamma-1}, \quad \mathbf{w} \in \mathbb{U}.

[Bearbeiten] Satz 3

Sei die komplexe Zahl w_0 \in \mathbb{C} und die natürliche Zahl n \in \mathbb{N} gegeben. Die gesamtheit der komplexen stammfunktionen der folgenden gebrochen rationalen funktion lautet
(6) \int \frac{1}{(w-w_0)^{n+1}}\, dw = \frac{1}{-n\cdot(w-w_0)^n}+c für alle w \in \mathbb{C}\setminus\{w_0\}
mit der komplexen Integrationskonstante c \in \mathbb{C}.

[Bearbeiten] Definition 3

Zur Potenz \gamma = \alpha + i\beta \in \mathbb{C} betrachten wir die allgemeine komplexe Potenzfunktion
f_\gamma: \mathbb{C}' \to \mathbb{C} \setminus \{0\}
vermöge
(7) f_\gamma(w):= \exp(\gamma \cdot \log w)=: w^\gamma, \quad w \in \mathbb{C}'.

[Bearbeiten] Satz 4 (Binomialreihe)

Mit dem Exponenten \gamma = \alpha + i\beta \in \mathbb{C} gilt für die Funktion
f(w):=(1+w)^\gamma, \quad w \in B
auf der Einheitskreisscheibe B:=\{w \in \mathbb{C}: |w| < 1\} die folgende Darstellung
(8) f(w)=\sum^\infty_{k=0} \begin{pmatrix} \gamma \\ k \end{pmatrix} w^k, \quad w \in B
durch die konvergente Binomialreihe. Dabei haben wir die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten wie folgt erklärt:
(9) \begin{pmatrix} \gamma \\ k \end{pmatrix} := \frac {\gamma \cdot (\gamma - 1) \cdot \ldots \cdot (\gamma - k + 1)}{k!} für k \in \mathbb{N} und \begin{pmatrix} \gamma \\ 0 \end{pmatrix}:= 1.

[Bearbeiten] Beweis

1. Zunächst genügt die Funktion f dem folgenden Anfangswertproblem:

(10) f=f(w):B\to \mathbb{C}\setminus \{0\} holomorph, f'(w)=\frac{\gamma}{1+w} \cdot f(w), \quad w \in B und f\left(0\right)= 1.

Haben wir nun zwei Lösungen fj von (10) mit j = 1,2 gegeben, so erfüllt deren Quotient

F(w):= \frac{f_1(w)}{f_2(w)}, \quad w \in B

das folgende Anfangswertproblem:

(11) F'(w)=\frac{f_1'(w) \cdot f_2(w)-f_1(w) \cdot f_2'(w)}{(f_2(w))^2}
=\gamma \cdot \frac{f_1'(w) \cdot f_2(w)-f_1(w) \cdot f_2'(w)}{(1+w) \cdot (f_2(w))^2}=0 für alle w \in B und F\left(0 \right)=1.

Somit ist F(w) \equiv 1, w \in B bzw. f_1(w) \equiv f_2(w), w \in B richtig. Folglich ist das Anfangswertproblem (10) eindeutig bestimmt.

2. Wir zeigen nun, dass die Binomialreihe in B konvergiert:

(12) \frac{\left| \begin{pmatrix} \gamma \\ k+1 \end{pmatrix} w^{k+1} \right|}{\left| \begin{pmatrix} \gamma \\ k \end{pmatrix} w^k \right|}= \frac{|w| \cdot |\gamma| \cdot |\gamma-1| \cdot \ldots \cdot |\gamma - k| \cdot k!}{|\gamma| \cdot |\gamma-1| \cdot \ldots \cdot |\gamma - k+1| \cdot (k+1)!}
=\frac{|w| \cdot |\gamma - k|}{|k+1|}= \frac{|w| \cdot \left|1-\frac{\gamma}{k}\right|}{\left|1+ \frac{1}{k} \right|} für k=1,2,\ldots.

Wir sehen

\lim_{k\to\infty} \frac{\left| \begin{pmatrix} \gamma \\ k+1 \end{pmatrix} w^{k+1} \right|}{\left| \begin{pmatrix} \gamma \\ k \end{pmatrix} w^k \right|}=|w| \in [0, +1)

für alle w \in B ein. Das Quotientenkriterium liefert sofort die Konvergenz der Binomialreihe in B.

3. Schließlich genügt

g(w)=\sum^\infty_{k=0} \begin{pmatrix} \gamma \\ k \end{pmatrix} w^k, \quad w \in B

dem anfangswertproblem (10): Offenbar ist g\left(0\right)=1 erfüllt. Dann differenzieren wir gemäß Satz 15 aus §3 in Kapitel II gliedweise die binomialreihe und erhalten

(13) (1+w) \cdot g'(w) = (1+w) \cdot \sum^\infty_{k=1} k \cdot \begin{pmatrix} \gamma \\ k \end{pmatrix} w^{k-1}
= \gamma \cdot \left[\sum^\infty_{k=1} \begin{pmatrix} \gamma-1 \\ k-1 \end{pmatrix} w^{k-1} + \sum^\infty_{k=1} \begin{pmatrix} \gamma-1 \\ k-1 \end{pmatrix} w^k \right]
= \gamma \cdot \left[\sum^\infty_{l=0} \begin{pmatrix} \gamma-1 \\ l \end{pmatrix} w^l + \sum^\infty_{l=1} \begin{pmatrix} \gamma-1 \\ l-1 \end{pmatrix} w^l \right]
= \gamma \cdot \left[1+ \sum^\infty_{l=1} \Bigl( \begin{pmatrix} \gamma-1 \\ l \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \gamma-1 \\ l-1 \end{pmatrix} \Bigr) w^l \right]
= \gamma \cdot \left[1+ \sum^\infty_{l= 1} \begin{pmatrix} \gamma \\ l \end{pmatrix} w^l \right] = \gamma \cdot \left[\sum^\infty_{l=0} \begin{pmatrix} \gamma \\ l \end{pmatrix} w^l \right]= \gamma \cdot g(w), \quad w\in B

Hierbei haben wir das vom Binomialsatz bekannte Additionstheorem für die Binomialkoeffizienten

\begin{pmatrix} \gamma-1 \\ l \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \gamma-1 \\ l-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma \\ l \end{pmatrix}

verwandt, welches auch für die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten gilt. Da das Anfangswertproblem (10) eindeutig lösbar ist, stimmt die funktion f\left(w\right) = (1+w)^\gamma in B mit der Binomialreihe überein.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 5

Sei die komplexe Zahl w_0 = u_0 + iv_0 \in \mathbb{C} mit v0 > 0 in der oberen Halbebene und die natürliche Zahl n \in \mathbb{N} gegeben sowie \gamma = \alpha + i\beta \in \mathbb{C}. Die Gesamtheit der reellen Stammfunktionen folgender echt gebrochen rationaler Funktionen lautet:
(15) \int \frac{Re \Bigl( (\alpha + i\beta) \cdot ((u - u_0) + iv_0)^{n+1} \Bigr)}{(u^2 -2u_0\cdot u + |w_0|^2)^{n+1}} \, du = Re \int \frac{\gamma}{(u-w_0)^{n+1}} \, du
=Re \left(\frac{\gamma}{-n\cdot (u-w_0)^n} \right) + c = \frac{Re \Bigl( (\alpha + i\beta) \cdot ((u - u_0) + iv_0)^n \Bigr)}{-n \cdot (u^2 -2u_0\cdot u + |w_0|^2)^n}+ c
für alle u \in \mathbb{R}, mit der reellen Integrationskonstante c \in \mathbb{R}.
Während im Zähler reelle Polynome vom Grad höchstens n + 1 und n auf der linken bzw. rechten Seite auftreten, finden wir im Nenner Potenzen eines quadratischen Polynoms, welches keine Nullstellen in \mathbb{R} besitzt.

[Bearbeiten] Beweis

Wir berechnen

\int \frac{Re \Bigl( (\alpha + i\beta) \cdot ((u - u_0) + iv_0)^{n+1} \Bigr)}{(u^2 -2u_0\cdot u + |w_0|^2)^{n+1}} \, du
= Re \int \frac{\gamma \cdot (u- \overline{w_0})^{n+1}}{(u-w_0)^{n+1}\cdot (u- \overline{w_0})^{n+1}} \, du
= Re \int \frac{\gamma}{(u-w_0)^{n+1}} \, du= Re \left( \frac{\gamma}{-n\cdot (u-w_0)^n} \right) + c
= \ldots = \frac{Re \Bigl( (\alpha + i\beta) \cdot ((u - u_0) + iv_0)^n \Bigr)}{-n \cdot(u^2 -2u_0\cdot u + |w_0|^2)^n}+c

mit der reellen Integrationskonstante c \in \mathbb{R}.

[Bearbeiten] Bemerkungen

Den Fall n = 0 haben wir bereits in Satz 7 und der anschließenden Bemerkung aus §6 gesondert behandelt. Speziell im Fall n = 1 erhalten wir aus obigem Satz die Integrationsregel

(17) \int \frac{\alpha (u-u_0)^2- \alpha v_0^2 - 2\beta(u-u_0) v_0}{(u^2 -2u_0\cdot u + |w_0|^2)^2} \, du = \frac{-\alpha (u-u_0) + \beta v_0}{(u^2 -2u_0\cdot u + |w_0|^2)}+c.

Es ist mühsam, solche gebrochen rationale Funktionen im Reellen zu integrieren.

[Bearbeiten] Definition 4

Zur Potenz \alpha \in \mathbb{R} betrachten wir die allgemeine reelle Potenzfunktion
f_\alpha: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}
vermöge
(18) f_\alpha(u):= \exp(\alpha \cdot \ln|u|)=: u^\alpha, \quad u \in \mathbb{R} \setminus \{0\}.

[Bearbeiten] Satz 6

Sei die komplexe Zahl u_0 \in \mathbb{R} und die natürliche Zahl n \in \mathbb{N} gegeben. Die Gesamtheit der reellen Stammfunktionen der folgenden echt gebrochen rationalen Funktionen lautet:
(19) \int \frac{1}{(u-u_0)^{n+1}} \, du = \frac{1}{-n \cdot (u-u_0)^n}+c für alle u \in \mathbb{R} \setminus \{u_0\}
mit der reellen integrationskonstante c \in \mathbb{R}.

[Bearbeiten] Satz 7

Für alle x_1, \ldots, x_n \ge 0 und \lambda_1, \ldots, \lambda_n \ge 0 mit \sum^n_{k = 1} \lambda_k = 1 \ (n = 2,3, \ldots) gilt
(20) \prod^n_{k = 1} x_k^{\lambda_k} \le \sum^n_{k = 1} \lambda_k x_k.

[Bearbeiten] Beweis

Gemäß §6 in Kapitel II ist eine konkave Funktion ein Element der Menge

K^-(a,b):= \Bigl\{ f:(a,b)\to \mathbb{R} \Bigr| f \in C^2 (a,b)\ und\ f''(x) \le 0 \mathrm{\ f\ddot ur\ alle\ } x \in (a,b) \Bigr\}.

Analog zu Satz 3 aus §6 in Kapitel II gilt für konkave Funktionen unter obigen Voraussetzungen die Jensensche Ungleichung

f \left( \sum^n_{k=1} \lambda_k x_k \right) \ge \sum^n_{k=1} \lambda_k \cdot f(x_k).

Betrachten wir nun die konkave Funktion f(x)=\ln x :(0,+ \infty) \to \mathbb{R} mit der zweiten Ableitung

f''(x)= -\frac{1}{x^2}<0 für alle x \in (0,+ \infty),

so erhalten wir die Ungleichung

\ln \left( \sum^n_{k=1} \lambda_k x_k \right) \ge \sum^n_{k=1} \lambda_k \cdot \ln x_k.

Bilden wir nun die Potenz zur Basis e, so erhalten wir wegen der Monotonie der reellen Exponentialfunktion die Ungleichung (20), nämlich

\sum^n_{k=1} \lambda_k x_k \ge \exp \left( \sum^n_{k=1} \lambda_k \ln x_k \right) = \exp \left( \sum^n_{k=1} x_k^{\lambda_k} \right)
= \exp \left( \ln \left( \prod^n_{k=1} x_k^{\lambda_k} \right) \right) = \prod^n_{k=1} x_k^{\lambda_k},

wobei x_1,\ldots,x_n>0 und \lambda_1, \ldots, \lambda_n>0 erfüllt ist. Aus Stetigkeitsgründen bleibt (20) auch für alle x_1,\ldots,x_n\ge 0 und \lambda_1, \ldots, \lambda_n \ge 0 richtig.

q.e.d.

[Bearbeiten] Folgerung 1

Für n \in \mathbb{N} mit n \ge 2 erklären wir die Koeffizienten \lambda_k := \frac{1}{n} mit 1 \le k \le n und wir erhalten die Ungleichung

\prod^n_{k=1}x_k^{\frac{1}{n}} \le \sum^n_{k=1} \frac{x_k}{n}

bzw.

(21) m_G := \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} \le \frac{1}{n} (x_1 + x_2 + \ldots + x_n) =: m_A

für alle rellen Zahlen x_k \ge 0 mit 1 \le k \le n. Dieses besagt, dass das geometrische Mittel mG kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel mA ist.

[Bearbeiten] Folgerung 2

Wir setzen nun x_k:=a_k^{p_k} und \lambda_k := p_k^{-1} für k=1,2,\ldots,n in Satz 7 ein, wobei a_k \ge 0 und pk > 1 sowie \sum ^n_{k=1} p_k^{-1} = 1 gelten. Wegen x_k^{\lambda_k} = a_k erhalten wir die Ungleichung

\prod^n_{k=1} a_k \le \sum^n_{k=1} \frac{a_k^{p_k}}{p_k}.

[Bearbeiten] Folgerung 3

Im Falle n = 2 mit a_1:=a\ge 0, a_2 := b\ge 0 und p1: = p > 1, p2: = q > 1 sowie \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 ergibt sich die Youngsche Ungleichung

(22) a \cdot b \le \frac{a^p}{p}+ \frac{b^q}{q}.

[Bearbeiten] Satz 8 (Höldersche Ungleichung im \mathbb{R}^n)

Es seien a_k, b_k \in \mathbb{C} – für k = 1, 2, \ldots, n – gegeben. Wenn die Exponenten p,q \in (1,+\infty) die Bedingung \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 erfüllen, dann folgt
(23) \left| \sum^n_{k=1} a_k \cdot \overline{b_k} \right| \le \sum^n_{k=1} |a_k| \cdot |b_k| \le \left( \sum^n_{k=1} |a_k|^p \right)^\frac{1}{p} \cdot \left( \sum^n_{k=1} |b_k|^q \right)^\frac{1}{q}.

[Bearbeiten] Beweis

Wir brauchen nur die rechte Ungleichung in (23) zu beweisen. Wenn \sum^n_{k=1}|a_k|^p = 0 erfüllt ist, so muss a_1 = a_2 = \ldots = a_n = 0 gelten und in (23) tritt Gleichheit ein. Also können wir ohne Einschränkung \sum^n_{k=1}|a_k|^p > 0 und \sum^n_{k=1}|b_k|^q > 0 annehmen. Dann betrachten wir die normierten Größen

\alpha_k := \frac{|a_k|}{\left( \sum^n_{i=1}|a_i|^p \right)^\frac{1}{p}} und \beta_k:=\frac{|b_k|}{\left( \sum^n_{i=1}|b_i|^q \right)^\frac{1}{q}},

welche offenbar die Bedingung

\sum^n_{k=1} \alpha_k^p = 1 = \sum^n_{k =1} \beta_k^q

erfüllen. Nach der Youngschen Ungleichung (22) gilt

\alpha_k \cdot \beta_k \le \frac{\alpha_k^p}{p} + \frac {\beta_k^q}{q} für k=1,2,\ldots,n.

Summation über k liefert die ungleichung

(24) \sum^n_{k=1} \alpha_k \cdot \beta_k \le \frac{1}{p} \cdot \sum^n_{k=1} \alpha_k^p + \frac {1}{q} \cdot \sum^n_{k=1} \beta_k^q = \frac{1}{p} + \frac {1}{q}=1

wegen der Normierungsbedingungen. Diese Ungleichung (24) impliziert offenbar die rechte ungleichung in (23).

q.e.d.

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