Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§8 Der Fundamentalsatz der Algebra

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Inhaltsverzeichnis

1 Definition 1
2 Hilfssatz 1
- 2.1 Beweis
3 Definition 2
4 Hilfssatz 2
- 4.1 Beweis
5 Hilfssatz 3
- 5.1 Beweis
6 Satz 1 (Fundamentalsatz der Algebra)
- 6.1 Beweis
7 Satz 2 (Linearfaktorzerlegung)
- 7.1 Beweis
8 Hilfssatz 4
- 8.1 Beweis
9 Satz 3 (Reelle Linearfaktorzerlegung)

[Bearbeiten] Definition 1

Die Funktion

(1) $f(z)= \sum^n_{k=0} a_kz^k = a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} +... + a_1z + a_0, \quad z \in \mathbb{C}$

heißt ein Polynom in $z \in \mathbb{C}$ vom Grad $n \in \mathbb{N}_0$ – in Zeichen $Grad \, f = n$ – mit den komplexen Koeffizienten $a_k \in \mathbb{C}$ für $k = 0,1,2,..., n$ und $a_n \neq 0$ . Wenn alle Koeffizienten gemäß $a_k \in \mathbb{R}$ für $k = 0,1,2,..., n$ reell sind, so sprechen wir von einem reellen Polynom.

[Bearbeiten] Hilfssatz 1

Sei $f$ ein Polynom (1) mit $Grad \, f > 0$ . Dann gibt es zu jedem $z_0 \in \mathbb{C}$ komplexe Koeffizienten $b_0 =f\left(z_0\right), b_1, ..., b_{n-1},b_n= a_n$ derart, dass folgende Darstellung gültig ist:

(2) $f(z_0 + \xi) = a_n\xi^n + b_{n-1}\xi^{n-1} +... + b_1\xi + f(z_0), \quad \xi \in \mathbb{C}$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wir setzen $z = z 0 + ξ$ und erhalten mittels (1) die Identität

$f(z)= f(z_0+\xi)= \sum^n_{k=0} a_k(z_0+ \xi)^k$ .

Die Terme $\left(z_0+\xi\right)^k$ werden über den Binomischen Lehrsatz berechnet und die Summe wird nach Potenzen von $ξ$ umgeordnet. Für $k = 0,1,..., n$ finden wir dann neue Koeffizienten $b_k = b_k\left(a_0, a_1, ..., a_n, z_0\right)$ mit $a_n = b_n \neq 0$ und $b_0= f\left(z_0\right)$ . Damit ist die Darstellung (2) gezeigt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 2

Sei $\mathcal{O} \subset \mathbb{C}$ eine offene Menge. Eine funktion $\Phi:\mathcal{O} \to \mathbb{R}$ besitzt im Punkt $z_0\in\mathcal{O}$ ein schwaches relatives Minimum, falls es ein $\varepsilon > 0$ gibt mit der folgenden eigenschaft:

$\Phi(z) \ge \Phi(z_0)$ für alle $z \in \mathcal{O}$ mit $|z-z_0|< \varepsilon$ .

[Bearbeiten] Hilfssatz 2

Sei $f$ ein Polynom (1) mit $Grad \, f > 0$ und $f(z_0) \neq 0$ für ein $z_0 \in \mathbb{C}$ . Dann gibt es zu jedem $R > 0$ ein $z_* \in \mathbb{C}$ mit $|z_*-z_0| \le R$ und $\left|f(z_*)|<|f(z_0)\right|$ .

[Bearbeiten] Beweis

1. Durch Übergang von $f$ zum Polynom $g(z):= \frac {1}{f(z_0)} \cdot f(z), z \in \mathbb{C}$ können wir ohne Einschränkung $g\left(z_0\right)=1$ annehmen. Gemäß (2) entwickeln wir

$g\left(z_0+\xi\right)=1+b_k\xi^k + b_{k+1}\xi^{k+1} + ... + b_n\xi^n$

mit $b_k \neq 0$ zu geeignetem $1\le k\le n$ . Mittels Satz 1 aus §5 ergibt sich die eindeutige Darstellung in Polarkoordinaten

$b_k = |b_k| \exp(i \vartheta)$ mit $\vartheta \in (-\pi,\pi]$ .

Ferner sei die Darstellung $\xi = r \exp(i \varphi)$ bzw.

$\xi^k = r^k \exp(ik \varphi)$ mit

r > 0

und $\varphi \in (-\pi,\pi]$

gewählt. Dann erhalten wir

$g(z_0+\xi)=1+|b_k| \cdot r^k \exp(i(\vartheta+ k \varphi)) + r^k \cdot h(\xi)$ .

Dabei erfüllt die Funktion

$h(\xi) := \exp(ik\varphi) \cdot (b_{k+1}\xi + ... + b_n \xi^{n-k}):\mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}$

die Bedingung $\lim_{\xi \to 0, \xi \neq 0} h(\xi)=0$ .

2. Unser Ziel ist es nun, den zweiten Summanden negativ zu machen. Wir wählen $\varphi$ derart, dass $\vartheta + k \varphi = \pi$ gilt. Anschaulich bewegt sich $ξ$ mit variablem $r > 0$ und festgelegtem $\varphi=\frac{\pi-\vartheta}{k}$ auf dem Strahl $r \exp(i \varphi)$ . Wegen $\exp\left(i\pi \right) = - 1$ und nach Wahl eines geeigneten $\varepsilon >0$ mit $|b_k| \varepsilon^k \le 1$ und $2 |h(\xi)|\le |b_k|$ für alle $|\xi|< \varepsilon$ gilt die abschätzung

$|g(z_0+\xi)| \le 1 + |b_k|\exp(i\pi)r^k + |h(\xi)|r^k = 1 - |b_k|r^k + |h(\xi)|r^k$

$= 1 - (|b_k|- |h(\xi)|)r^k \le 1 - \frac{1}{2} |b_k|r^k <1$

für alle $r \in (0, \varepsilon]$ . Zu gegebenem $R > 0$ wählen wir $\xi = r \exp(i \varphi)$ mit $r=\min\{\varepsilon, R\}$ und erhalten so einen Punkt $z * = z 0 + ξ$ in der Gauß-Ebene, welcher die geforderte eigenschaft

$|g(z_*)|=|g(z_0+\xi)|<1 \stackrel{n.V.}{=} |g(z_0)|$

mit $|z_*-z_0|=|\xi| \le R$ erfüllt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Hilfssatz 3

Wenn $f$ ein Polynom (1) mit $Grad \, f > 0$ darstellt, dann folgt das asymptotische Verhalten

(3) $\lim_{R\to + \infty} \inf \{|f(z)|: z \in \mathbb{C},|z| = R\}=+\infty$ .

[Bearbeiten] Beweis

Für $z \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$ finden wir die Abschätzung

$|f(z)| = \left| a_nz^n \cdot \left( 1 + \sum^{n-1}_{k=0} \frac{a_k}{a_n} \cdot \frac{1}{z^{n-k}} \right) \right| \ge |a_n| |z|^n \cdot \left( 1 - \sum^{n-1}_{k=0} \left| \frac{a_k}{a_n} \right| \cdot \frac{1}{|z|^{n-k}} \right)$ .

Nun wählen wir $R > 0$ so, dass

$\sum^{n-1}_{k=0} \left| \frac{a_k}{a_n} \right| \cdot \frac{1}{|z|^{n-k}}= \left| \frac{a_{n-1}}{a_n} \right| \cdot \frac{1}{|z|}+...+\left| \frac{a_0}{a_n} \right| \cdot \frac{1}{|z|^n} \le \frac{1}{2}$ für alle $|z| \ge R$

ausfällt. Dann ist die Abschätzung

$|f(z)| \ge \frac{1}{2}|a_n|R^n$ für alle $|z| \ge R$

und somit das asymptotische Verhalten (3) erfüllt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 1 (Fundamentalsatz der Algebra)

Jedes nicht konstante Polynom $f$ hat wenigstens eine komplexe Nullstelle, d. h. es gibt ein $z_0 \in \mathbb{C}$ mit $f\left(z_0\right)=0$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wir betrachten die Hilfsfunktion $\Phi(z) = |f(z)|:\mathbb{C} \to \mathbb{R}$ . Wegen (3) können wir $R > 0$ so groß wählen, dass

$\inf \{\Phi(z):z \in \mathbb{C}, |z|=R\}>\Phi(0)$

gilt. Auf der kompakten Menge $K:=\{z \in \mathbb{C}: |z| \le R\}$ ist die Funktion $Φ$ stetig und folglich gibt es ein $z_0 \in K$ mit

$\Phi(z_0)=\{\Phi(z): z \in \mathbb{C}, |z| \le R\}$

Wegen $\Phi(z_0) \le \Phi(0) < \inf \{\Phi(z):z \in \mathbb{C}, |z|=R\}$ muss $z_0\in \stackrel{\circ} {K}$ richtig sein. Wir werden $z_0\in \mathbb{C}$ als Nullstelle erkennen: Angenommen es wäre $\Phi(z_0) \neq 0$ bzw. $f(z_0) \neq 0$ erfüllt. Nach Hilfssatz 2 gibt es dann ein $z_* \in \mathbb{C}$ mit $\left|z_*\right|<R$ und $\Phi\left(z_*\right)< \Phi(z_0)$ . Dieses liefert einen Widerspruch zur Minimaleigenschaft (4). Also folgt $f\left(z_0\right)=0$ und eine Nullstelle ist gefunden.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Linearfaktorzerlegung)

Jedes Polynom (1) besitzt eine Linearfaktorzerlegung der Form

$f(z)=a_n \cdot \prod^m_{j=1} (z-z_j)^{k_j}$ .

Dabei sind $z_1,z_2,..., z_m \in \mathbb{C}$ seine paarweise verschiedenen komplexen Nullstellen. Die Zahlen $k_j \in \mathbb{N}$ geben die Vielfachheiten bzw. Ordnungen der Nullstellen $z j$ für $j = 1,2,..., m$ an. Schließlich ist die Identität $\sum^m_{j=1} k_j=n$ für die Vielfachheiten erfüllt.

[Bearbeiten] Beweis

Wegen Satz 1 besitzt $f$ eine Nullstelle $z_0 \in \mathbb{C}$ . Nach Hilfssatz 1 entwickeln wir $f$ an der Stelle $z 0$ , indem wir $ξ: = z - z 0$ setzen:

$f\left(z\right)=f(z_0+\xi) \stackrel{(2)}{=} f(z_0) + b_k \xi^k+...+a_n \xi^n$ .

Dabei ist $b_k \neq 0$ für ein $1 \le k \le n$ und $a_n \neq 0$ erfüllt. Schließlich ergibt sich die Darstellung

$f(z) =b_k \xi^k+b_{k+1} \xi^{k+1}+...+a_n \xi^n= \xi^k (b_k +b_{k+1} \xi+...+a_n \xi^{n-k})=(z-z_0)^k \cdot \tilde{f} (z)$ .

Hierbei besitzt das Polynom $\tilde{f}(z) = \sum^m_{j=1} c_j z^k$ den Grad $m = n-k \in \mathbb{N}_0$ und die Koeffizienten $c_j \in \mathbb{C}$ für $j = 1,..., m$ sowie $c_m = a_n \neq 0$ . Das durch Ordnen nach Potenzen von $z$ entstehende Polynom $\tilde{f}$ erfüllt $Grad \, \tilde{f}< Grad \, f$ und $f(z_0) \neq 0$ . Wiederholte Anwendung von Satz 1 liefert die Behauptung.

[Bearbeiten] Hilfssatz 4

Sei $f$ ein reelles Polynom (1) mit der komplexen Nullstelle $z_0 \in \mathbb{C}$ der Vielfachheit $k_0 \in \mathbb{N}$ . Dann ist auch $\overline{z_0}$ eine Nullstelle von $f$ der Vielfachheit $k 0$ .

[Bearbeiten] Beweis

1. Zunächst sehen wir folgendes leicht ein: Ein Polynom $f$ besitzt in $z_0 \in \mathbb{C}$ genau dann eine Nullstelle der Vielfachheit $k_0 \in \mathbb{N}$ , wenn die abgeleiteten Polynome $f^{\left( k \right)}$ der Ordnungen $k = 0,..., k 0 - 1$ dort verschwinden.

2. Ist nun $z_0 \in \mathbb{C}$ eine Nullstelle eines reellen Polynoms, so folgt

$0=\overline{f(z_0)} = \overline{\sum^n_{k=0} a_k z_0^k} = \sum^n_{k=0} a_k \overline{z_0}^k = f(\overline{z_0})$ .

Also ist dann auch $\overline{z_0}$ eine Nullstelle von $f$ .

3. Ist nun $z_0 \in \mathbb{C}$ eine Nullstelle des reellen Polynoms $f$ der Vielfachheit $k 0$ , so verschwinden dort die abgeleiteten Polynome $f^{\left( k \right)}$ der Ordnungen $k = 0,..., k 0 - 1$ . Da letztere reell sind, so verschwinden sie auch im Punkt $\overline{z_0}$ . Folglich ist $\overline{z_0}$ eine Nullstelle der Vielfachheit $k 0$ von $f$ .

[Bearbeiten] Satz 3 (Reelle Linearfaktorzerlegung)

Jedes reelle Polynom $f$ aus (1) vom Grad $n$ besitzt eine Linearfaktorzerlegung der folgenden Form

(6) $f(x) = a_n \cdot \prod^m_{j=1} (x-x_j)^{k_j} \cdot \prod^{m+\mu}_{j=m+1} \Bigl[ (x-z_j) \cdot (x-\overline{z_j}) \Bigr]^{k_j}$

$= a_n \cdot \prod^m_{j=1} (x-x_j)^{k_j} \cdot \prod^{m+\mu}_{j=m+1}\Bigl[x^2-2x_j \cdot x+ |z_j|^2 \Bigr]^{k_j}, \quad x \in \mathbb{R}$

Dabei sind $x_1,..., x_m \in \mathbb{R}$ – mit $m \in \mathbb{N}_0$ – seine paarweise verschiedenen reellen Nullstellen der Vielfachheiten $k_j \in \mathbb{N}$ für $j = 1,..., m$ . Weiter sind $z_j = x_j + iy_j \in \mathbb{C}$ mit $y j > 0$ für $j = m + 1,..., m + μ$ – mit $\mu \in \mathbb{N}_0$ – seine paarweise verschiedenen Nullstellen in der oberen komplexen Halbebene der Vielfachheiten $k_j \in \mathbb{N}$ . Schließlich gilt die Identität

(7) $\sum^m_{j=1} k_j +2\cdot \sum^{m+\mu}_{j=m+1} k_j = n$

für ihre Vielfachheiten.

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[Bearbeiten] Beweis

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[Bearbeiten] Hilfssatz 3

[Bearbeiten] Beweis

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[Bearbeiten] Beweis

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