Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§9 Partialbruchzerlegung gebrochen rationaler Funktionen

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

Sei die gebrochen rationale Funktion
h(z):=\frac{g(z)}{f(z)} für z \in \mathbb{C}^* := \{\zeta \in \mathbb{C}: f(\zeta) \neq 0\}
gegeben: Hierbei tritt im Nenner das nicht konstante Polynom
f(z):=\sum^n_{k=0}a_k z^k, \quad z \in \mathbb{C}
wie in §8 mit den komplexen Koeffizienten a_k \in \mathbb{C} für k=0,1,\ldots,n sowie a_n\neq 0 vom Grad \, f = n \in \mathbb{N} auf. Im Zähler erscheint das Polynom
g(z):=\sum^N_{j=0}b_j z^j, \quad z \in \mathbb{C}
mit den komplexen Koeffizienten b_j \in \mathbb{C} für j=0,1,\ldots,N. Falls b_N\neq 0 für N > 0 gilt, erhalten wir den Grad \, g = N \in \mathbb{N}. Falls g(z)\equiv b_0\in \mathbb{C} gilt, setzen wir Grad \, g = 0. Wir sprechen von einer echt gebrochen rationalen Funktion h, falls Grad \, g < Grad \, f erfüllt ist.

Wir fixieren nun das Nennerpolynom f und zerlegen es gemäß Satz 2 aus §8 in Linearfaktoren im Komplexen. Nehmen wir dessen Nullstellen aus \mathbb{C} heraus, so erhalten wir die eventuell mehrfach punktierte komplexe Ebene \mathbb{C}^*:=\mathbb{C} \setminus \{z_1,\ldots,z_m\}. Nun betrachten wir die echt gebrochen rationalen Funktionen

h_k(z):=\frac{z^k}{f(z)},\quad z \in \mathbb{C}^* für k=0,1,\ldots, n-1.

[Bearbeiten] Definition 2

Die Funktionen h_0=h_0(E), \ldots, h_{n-1}=h_{n-1}(z): \mathbb{C}^* \to \mathbb{C} heißen linear unabhängig, wenn für alle c_0, \ldots, c_{n-1} \in \mathbb{C} aus der Identität
c_0 \cdot h_0(z) + \ldots + c_{n-1} \cdot h_{n-1}(z) = 0 für alle z \in \mathbb{C}^*
die Beziehung c_0 = \ldots = c_{n-1} = 0 folgt. Dabei ist n \in \mathbb{N} beliebig gewählt worden.

Nun spannen die Funktionen h_0, \ldots, h_{n-1} den n-dimensionalen Vektorraum

(2) \mathbb{V}[f]:= \left\{ h(z) = \sum^{n-1}_{k=0} c_k \cdot h_k(z) = \frac{\sum^{n-1}_{k=0} c_k \cdot z^k}{f(z)}, z \in \mathbb{C}^* \Bigl| c_0,\ldots,c_{n-1} \in \mathbb{C} \right\}

auf. Zum festen Nennerpolynom f enthält die Menge \mathbb{V}[f] gerade alle echt gebrochen rationalen Funktionen gemäß Definition 1.

[Bearbeiten] Satz 1 (Partialbruchzerlegung)

Die echt gebrochen rationale Funktion h aus Definition 1, dessen Nennerpolynom f gemäß Satz 2 aus §8 in Linearfaktoren zerlegt sei, lässt sich in der Form
(3) h(z) = \sum^{k_1}_{l_1 = 1} \frac{c_1^{(l_1)}}{(z - z_1)^{l_1}}+ \ldots + \sum^{k_m}_{l_m = 1} \frac{c_m^{(l_m)}}{(z - z_m)^{l_m}}, \quad z \in \mathbb{C}^*
darstellen – mit den komplexen Koeffizienten c_j^{(l_j)} \in \mathbb{C} für l_j \in \{1,2,\ldots,k_j\} und 1 \le j \le m. Die Koeffizienten c_j^{\left(l_j\right)} sind durch h eindeutig bestimmt.

[Bearbeiten] Beweis

Wir betrachten die k_1+\ldots+k_m=n echt gebrochen rationalen Funktionen

(4) h_j^{(l_j)}(z):= \frac{1}{(z-z_j)^{(l_j)}}, \quad z \in \mathbb{C}^* für l_j \in \{1,2,\ldots,k_j\} und 1 \le j \le m.

Die sind im Sinne von Definition 2 linear unabhängig: Seien nämlich die Zahlen c_j^{(l_j)} \in \mathbb{C} für l_j \in \{1,2,\ldots,k_j\} und 1 \le j \le m mit der Identität

(5) 0 = \sum^{k_1}_{l_1 = 1} \frac{c_1^{(l_1)}}{(z - z_1)^{l_1}}+ \ldots + \sum^{k_m}_{l_m = 1} \frac{c_m^{(l_m)}}{(z - z_m)^{l_m}}, \quad z \in \mathbb{C}^*

gegeben. Dann multiplizieren wir diese Identität mit dem Faktor \left( z-z_j \right)^{k_j}, setzen nun z = zj in diese Gleichung ein und wir erhalten

(6) 0 = c_j^{\left(k_j\right)} für j =1, \ldots, m.

Insofern kj > 0 richtig ist, verfahren wir entsprechend mit dem nächst niedrigeren Koeffizienten und erhalten c_j^{\left(k_j-1\right)}=0. Nach endlich vielen Schritten ergibt sich

(7) c_j^{\left(l_j\right)} für l_j \in \{1,2,\ldots,k_j\} und 1 \le j \le m.

Somit ist das Funktionensystem (4) linear unabhängig. Durch Erweitern mit den komplementären Linearfaktoren des Nennerpolynoms sehen wir ferner die Inklusion

(8) h_j^{(l_j)}(z) \in \mathbb{V}[f] für l_j \in \{1,2,\ldots,k_j\} und 1 \le j \le m

ein. Folglich liefern diese Funktionen eine Basis des n-dimensionalen Vektorraums \mathbb{V}[f] und die Aussage des Satzes ist gezeigt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Reelle Partialbruchzerlegung)

Die reelle echt gebrochen rationale Funktion h aus Definition 1, dessen Nennerpolynom f gemäß Satz 3 aus §8 in Linearfaktoren zerlegt sei, lässt sich für alle x \in \mathbb{R} \setminus \{x_1, \ldots, x_m\} in folgender Form darstellen:
(9) h(z) = \sum^{k_1}_{l_1 = 1} \frac{a_1^{(l_1)}}{(x - x_1)^{l_1}}+ \ldots + \sum^{k_m}_{l_m = 1} \frac{a_m^{(l_m)}}{(x - x_m)^{l_m}}
+\, 2 \sum^{k_{m+1}}_{l_{m+1} = 1} \frac{c_{m+1}^{(l_{m+ 1})}} {(x - z_{m+1})^{l_{m+1}}}+ \ldots + 2 \sum^{k_{m+\mu}}_{l_{m+ \mu} = 1} \frac{c_{m+\mu}^{(l_{m+\mu})}} {(x - z_{m+\mu})^{l_{m+ \mu}}}.
Dabei sind sowohl die reellen koeffizienten
a_j^{(l_j)} \in \mathbb{R} für l_j \in \{1,2,\ldots,k_j\} und 1 \le j \le m
als auch die komplexen koeffizienten
c_j^{(l_j)} \in \mathbb{C} für l_j \in \{1,2,\ldots,k_j\} und m+1 \le j \le m+\mu
durch h eindeutig bestimmt.

[Bearbeiten] Beweis

Das Nennerpolynom f besitzt gemäß Satz 3 aus §8 die paarweise verschiedenen Nullstellen x_1,\ldots, x_m; z_{m + 1}, \ldots, z_{m + \mu}; \overline{z_{m + 1}}, \ldots, \overline{z_{m + \mu}} der Vielfachheiten \begin{matrix}k_1,\ldots, k_m; k_{m + 1}, \ldots, k_{m + \mu}; k_{m + 1}, \ldots, k_{m + \mu}\end{matrix}. Stellen wir nun die reelle echt gebrochen rationale Funktion h mit Hilfe von Satz 1 dar, so erhalten wir zunächst Terme der Form

\frac{c}{(x-x_j)^{l_j}}

zu den reellen Nullstellen. Die Konstante c \in \mathbb{C} muss dabei reell sein, da die Funktion h reell ist. Jedem Term

\frac{c_+}{(x-z_j)^{l_j}}

zur Nullstelle in der oberen komplexen Halbebene korrespondiert ein Term

\frac{c_-}{(x- \overline{z_j})^{l_j}}

zur Nullstelle in der unteren komplexen Halbebene. Damit die Summe beider Terme reell wird, müssen die komplexen Konstanten c_- ,c_+ \in \mathbb{C} die Bedingung c_- = \overline{c_+} erfüllen. Somit erhalten wir die im Satz angegebenen Summanden.

q.e.d.

[Bearbeiten] Bemerkung

Für eine beliebige gebrochen rationale Funktion H – mit den Polynomen G,F – ist es zweckmäßig, sie zunächst gemäß

(10) H(z)=\frac{G(z)}{F(z)}= h(z) + \frac{g(z)}{f(z)} mit Grad \, g < Grad \, f

und den polynomen f,g,h zu verlegen. Nach Ausführung dieses Euklidischen Algorithmus wenden wir das o. a. Verfahren auf die echt gebrochen rationale Funktion \frac{g}{f} an. Dann können wir alle beteiligten Summanden integrieren.

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