Kurs:Analysis II/Kapitel IV: Partielle Differentiation für Funktionen mehrerer Veränderlicher/Fundamentalsatz über die inverse Abbildung (§4)

Definition 1

Unter einer Umgebung $A$ eines Punktes $a\in \mathbb {R} ^{n}$ verstehen wir eine offene Menge $A\subset \mathbb {R} ^{n}$, welche diesen Punkt gemäß $a\in A$ enthält.

Auf einer offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ sei eine einmal stetig partiell differenzierbare Abbildung $f\in C^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ gegeben. Nun untersuchen wir die lokale Umkehrbarkeit der Funktion

(1) $y=f(x):\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ im Punkt $a\in \Omega$ mit dem Bildpunkt $b:=f(a)\in \mathbb {R} ^{n}$.

Genauer beantworten wir positiv die folgenden Fragen:

1. Gibt es eine Umgebung $B$ des Bildpunktes $b$, die das bijektive Bild einer Umgebung $A$ des Punktes $a$ bezüglich der Abbildung (1) ist?
2. Übertragen sich die Differenzierbarkeitseigenschaften von $f$ auf die Umkehrabbildung $g$ – auch die höhere Differenzierbarkeit?

Bemerkung

Die Lösung des Problems ist offenbar äquivalent zur lokalen Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems der Form

(2) $\left.{\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=y_{1}\\\vdots \\f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=y_{n}\end{matrix}}\right\}x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A,y=(y_{1},\ldots ,y_{n})\in B$.

Beispiel 1

Eine lineare Abbildung

$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ vermöge $x\mapsto y=f(x)=A\circ x$

mit den Komponenten

$f_{i}(x)=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j},\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{*}$ für $i=1,\ldots ,n$

und der assoziierten reellen Matrix $A=(a_{ij})_{i,j=1,\ldots ,n}$ sei gegeben. Dann zeigt man in der Linearen Algebra die fundamentale Äquivalenz

(3) $f$ ist bijektiv $\Leftrightarrow \det A\neq 0$.

Die vektorwertige Funktion $f(x)=(f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x))^{*}$ besitzt die Funktionalmatrix

(4) $\partial f(x):=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}(x)\right)_{i,k=1,\ldots ,n}=(a_{ik})_{i,k=1,\ldots ,n}$.

Mit dem Kroneckersymbol ermitteln wir für $i,k=1,\ldots ,n$ nämlich

${\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}(x)={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{l=1}^{n}a_{il}x_{l}\right)=\sum _{l=1}^{n}a_{il}\delta _{lk}=a_{ik}$.

Somit erscheint die Äquivalenz (3) in der Form

(5) $f$ ist bijektiv $\Leftrightarrow \det \left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}(x)\right)_{i,k=1,\ldots ,n}\neq 0$.

Also ist die Invertierbarkeit der Funktionalmatrix im Punkt $a\in \Omega$ für unsere Fragestellung entscheidend! Nach Formel (17) von Satz 9 aus §1 gilt für die Abbildung (1) die linear-approximative Darstellung

(6) $f(x)=f(a)+\partial f(a)\circ (x-a)^{*}+F(x,a)\circ (x-a)^{*}$ mit $\lim _{x\to a,x\neq a}F(x,a)=0$.

Definition 2

Auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ sei die folgende Abbildung $f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}\in C^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ gegeben. Dann nennen wir

$J_{f}(x):=\det \left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x)\right)_{i,j=1,\ldots ,n}$

die Funktionaldeterminante oder auch Jacobische (Determinante) der Abbildung $f$ im Punkt $x\in \Omega$.

Beispiel 2

Für $n=2$ betrachten wir die Koordinatentransformation zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten. Auf der offenen Menge

$\Omega :=\{(r,\varphi ):0<r<R,0<\varphi <2\pi \}$ mit $R\in (0,+\infty )$

definieren wir die Abbildung

(7) $f:\Omega \to \mathbb {R} ^{2}$ vermöge $x:={\begin{pmatrix}r\\\varphi \end{pmatrix}}\mapsto y:=f(x)={\begin{pmatrix}r\cdot \cos \varphi \\r\cdot \sin \varphi \end{pmatrix}}$.

Wir berechnen ihre Funktionalmatrix

(8) $\partial f(r,\varphi )={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial r}},&{\frac {\partial f_{1}}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial r}},&{\frac {\partial f_{2}}{\partial \varphi }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{pmatrix}}$

sowie ihre Funktionaldeterminante

(9) $J_{f}(r,\varphi )=\det \partial f(r,\varphi )=r>0$ in $\Omega$.

Der Fundamentalsatz über die inverse Abbildung wird in den nachfolgenden Hilfssätzen erarbeitet.

Hilfssatz 1

Sei die offene Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$, die Abbildung $f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}\in C^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ und der reguläre Punkt $a\in \Omega$ mit $J_{f}(a)\neq 0$ gegeben. Dann gibt es eine Zahl $\rho >0$, so dass die Abbildung $f$ eingeschränkt auf die Menge $K_{\rho }(a):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x-a|\leq \rho \}$ injektiv ist. Weiter ist mit einer Konstanten $M>0$ die Ungleichung

(10) $|f(x')-f(x'')|\geq M\cdot |x'-x''|$ für alle $x',x''\in K_{\rho }(a)$

erfüllt. Schließlich gilt $J_{f}(x)\neq 0$ für alle Punkte $x\in K_{\rho }(a)$.

Beweis

1. Wegen $J_{f}(a)\neq 0$ und der Stetigkeit der Funktionen ${\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}$ gibt es ein $\rho >0$, so dass für alle $\eta =(z^{(1)},\ldots ,z^{(n)})\in K_{\rho }(a)\times \ldots \times K_{\rho }(a)$ die folgende Matrix invertierbar ist:

$\partial f(\eta ):={\begin{pmatrix}f_{1,x_{1}}\left(z^{(1)}\right)&\ldots &f_{1,x_{n}}\left(z^{(1)}\right)\\\vdots &\ddots &\vdots \\f_{n,x_{1}}\left(z^{(n)}\right)&\ldots &f_{n,x_{n}}\left(z^{(n)}\right)\end{pmatrix}}$.

Mit $S:=\{\xi \in \mathbb {R} ^{n}:|\xi |=1\}$ und $D:=K_{\rho }(a)\times \ldots \times K_{\rho }(a)\times S\subset \mathbb {R} ^{n\cdot n+n}$ betrachten wir die Hilfsfunktion

(11) ${\begin{matrix}\Phi :D\to \mathbb {R} \ \mathrm {verm{\ddot {o}}ge} \ \Phi (z^{(1)},\ldots ,z^{(n)};\xi ):=|\partial f(\eta )\circ \xi ^{*}|\\\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ \eta =(z^{(1)},\ldots ,z^{(n)})\in K_{\rho }(a)\times \ldots \times K_{\rho }(a),\quad \xi \in S.\end{matrix}}$

Unter Beachtung der Cramerschen Regel sehen wir die Aussage

$\Phi (\eta ;\xi )>0$ für alle $(\eta ,\xi )\in D$

ein. Da die Funktion $\Phi$ stetig auf ihrem kompakten Definitionsbereich $D$ ist, nimmt sie ihr Minimum $M>0$ dort an – und ein Homogenitätsargument liefert die Abschätzung

(12) ${\begin{matrix}\Phi (z^{(1)},\ldots ,z^{(n)};\xi )\geq M|\xi |\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ z^{(i)}\in K_{\rho }(a)\\{\text{mit }}i=1,\ldots ,n{\text{ und }}\xi \in \mathbb {R} ^{n}.\end{matrix}}$

2. Seien $x',x''\in K_{\rho }(a)$ beliebig gewählte Punkte. Nun wenden wir den Mittelwertsatz auf jede Komponentenfunktion $f_{i}:K_{\rho }(a)\to \mathbb {R}$ wie folgt an:

(13) $f_{i}(x'')-f_{i}(x')=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\left(z^{(i)}\right)\left(x_{j}''-x_{j}'\right)$

mit $z^{(i)}\in {\stackrel {\circ }{\sigma }}(x',x'')\subset K_{\rho }(a)$ für $i=1,\ldots ,n$. Wir fassen nun die Gleichung (13) zusammen:

$f(x'')-f(x')=\partial f(\eta )\circ (x''-x')^{*}={\begin{pmatrix}f_{1,x_{1}}\left(z^{(1)}\right)&\ldots &f_{1,x_{n}}\left(z^{(1)}\right)\\\vdots &\ddots &\vdots \\f_{n,x_{1}}\left(z^{(n)}\right)&\ldots &f_{n,x_{n}}\left(z^{(n)}\right)\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x_{1}''-x_{1}'\\\vdots \\x_{n}''-x_{n}'\end{pmatrix}}$.

Schließlich erhält man mittels (12) und $\xi :=x''-x'$ die Ungleichung

$|f(x'')-f(x')|=|\partial f(\eta )\circ (x''-x')^{*}|\geq M|x''-x'|$ für alle $x',x''\in K_{\rho }(a)$.

q.e.d.

Hilfssatz 2

Auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ sei $f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}\in C^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ eine Abbildung und $a\in \Omega$ ein regulärer Punkt mit $J_{f}(x)\neq 0$. Neben der Größe $\rho >0$ aus Hilfssatz 1 existiert dann eine Zahl $\sigma >0$ mit folgender Eigenschaft:

Wir setzen $b:=f(a)$ sowie $K_{\sigma }(b):=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:|y-b|\leq \sigma \}$ und finden zu jedem $y'\in K_{\sigma }(b)$ ein $x'\in K_{\rho }(a)$ mit $f(x')=y'$.

Beweis

Wir betrachten die Funktion

$h:K_{\rho }(a)\to \mathbb {R}$ vermöge $x\mapsto h(x):=|f(x)-y'|^{2}=\sum _{i=1}^{n}(f_{i}(x)-y'_{i})^{2}$.

Mit $\tau :=M\cdot \rho >0$ erhält man aus Hilfssatz 1 zunächst die Ungleichung

$|f(x)-b|\geq M\cdot |x-a|=\tau$ für alle $x\in \partial K_{\rho }(a)$.

Jetzt sei $y'$ ein beliebiger Punkt aus $K_{\sigma }(b)$, wobei $\sigma$ mit $0<\sigma <{\frac {1}{2}}\tau$ gewählt wurde. Wir werden die Existenz eines Urbildes $x'\in K_{\rho }(a)$ mit $y'=f(x')$ zeigen: Wir beginnen mit

(14) $|f(x)-y'|=|f(x)-b+b-y'|\geq |f(x)-b|-|b-y'|\geq \tau -\sigma >{\frac {1}{2}}\tau$ für alle $x\in \partial K_{\rho }(a)$

und erhalten die Abschätzung

(15) $h(x)>{\frac {1}{4}}\tau ^{2}$ für alle $x\in \partial K_{\rho }(a)$.

Ferner gilt die Beziehung

(16) $|f(a)-y'|=|b-y'|\leq \sigma <{\frac {1}{2}}\tau$ bzw. $h(a)=|f(a)-y'|^{2}<{\frac {1}{4}}\tau ^{2}$.

Auf der kompakten Menge $K_{\rho }(a)$ nimmt die stetige Funktion $h$ wegen (15) und (16) ihr Minimum in einem inneren Punkt

$x'\in {\stackrel {\circ }{K}}_{\rho }(a):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x-a|<\rho \}$

an. Nach Satz 2 aus §3 erhält man die Gleichungen

(17) $0={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}h(x')={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i=1}^{n}(f_{i}(x)-y_{i}')^{2}\right){\biggl |}_{x=x'}=2\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}(x')}{\partial x_{k}}}\cdot (f_{i}(x)-y_{i}')$

für $k=1,2,\ldots ,n$. Wegen

$J_{f}(x')=\det \left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}(x')\right)_{i,k=1,\ldots ,n}\neq 0$

hat das Gleichungssystem (17) nach der Cramerschen Regel nur die triviale Lösung

$f_{i}(x')-y'=0$ für $i=1,2,\ldots ,n$.

Damit folgt $f_{i}(x')=y'$.

q.e.d.

Definition 3

Mit den Größen $\rho >0$ aus Hilfssatz 1 und $\sigma >0$ aus Hilfssatz 2 nennen wir die Funktion

(18) $g:K_{\sigma }(b)\to K_{\rho }(a)$ vermöge $y\mapsto x=:g(y)$, falls $x\in K_{\rho }(a)$ und $f(x)=y$ gilt,

die zu $f$ inverse Abbildung oder auch die Umkehrfunktion von $f$ auf $K_{\sigma }(b)$. Diese erfüllt die Identität

$f(g(y))=y$ für alle $y\in K_{\sigma }(b)$.

Hilfssatz 3

Die Abbildung $g$ ist in $K_{\sigma }(b)$ stetig.

Beweis

Wegen der Stetigkeit der Abbildung $f:K_{\rho }(a)\to \mathbb {R} ^{n}$ ist die Menge $D:=\{x\in K_{\rho }(a):f(x)\in K_{\sigma }(b)\}$ kompakt. Nun wenden wir Satz 6 in §1 aus Kapitel II auf die stetige, umkehrbare Funktion $f:D\to K_{\sigma }(b)$ an und wir erhalten die Stetigkeit der Abbildung $g:K_{\sigma }(b)\to D$.

q.e.d.

Hilfssatz 4

Die Abbildung $g$ aus Definition 3 gehört zur Klasse

$C^{1}\left({\stackrel {\circ }{K}}_{\sigma }(b),\mathbb {R} ^{n}\right)$

und besitzt die Funktionalmatrix

$\partial g(y):=\left({\frac {\partial g_{i}}{\partial y_{j}}}(y)\right)_{i,j=1,\ldots ,n}=\{\partial f(g(y))\}^{-1}={\frac {1}{J_{f}(g(y))}}\cdot \left(\det F_{ij}(g(y))\right)_{i,j=1,\ldots ,n}$.

Dabei entsteht die Matrix $F_{ij}(x)$ aus der Funktionalmatrix $\partial f(x)$ durch Ersetzen der $i$-ten Spalte durch den $j$-ten Einheitsvektor

$\mathbf {e} _{j}:=(\delta _{1j},\ldots ,\delta _{jj},\ldots ,\delta _{nj})^{*}$.

Beweis

1. Nach Hilfssatz 1 gilt $J_{f}(x)\neq 0$ für alle $x\in K_{\rho }(a)$ und die Inverse der Funktionalmatrix

$\{\partial f(x)\}^{-1}=:(a_{ij}(x))_{i,j=1,\ldots ,n}$

existiert. Wir erhalten die Koeffizienten $a_{ij}(x)$ als Lösung des linearen Gleichungssystems

$\partial f(x)\circ {\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{nj}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\delta _{1j}\\\delta _{2j}\\\vdots \\\delta _{nj}\end{pmatrix}}$ für $j=1,\ldots ,n$.

Die Cramersche Regel liefert

$a_{ij}(x)={\frac {\det F_{ij}(x)}{J_{f}(x)}}$ für $i,j=1,\ldots ,n$.

Damit ist die Funktion $\{\partial f(x)\}^{-1},x\in K_{\rho }(a)$ stetig.

2. Da $f\in C^{1}(K_{\rho }(a),\mathbb {R} ^{n}$ erfüllt ist, gilt für festes $x\in {\stackrel {\circ }{K}}_{\rho }(a)$ und beliebiges $x'\in {\stackrel {\circ }{K}}_{\rho }(a)$ nach Satz 9 aus §1 die linear approximative Darstellung

$f(x')-f(x)=\partial f(x)\circ (x'-x)^{*}+F(x',x)\circ (x'-x)^{*},\lim _{x'\to x,x'\neq x}F(x,x')=0$.

Die Multiplikation mit $\partial f(x)^{-1}$ liefert die Identität

$\partial f(x)^{-1}\circ (f(x')-f(x))=(x'-x)^{*}+\partial f(x)^{-1}\circ F(x',x)\circ (x'-x)^{*}$.

Wir setzen nun $y=f(x),y'=f(x')$ bzw. $x=g(y),x'=g(y')$ und erhalten

(19) ${\begin{matrix}g(y')-g(y)=\partial f(g(y))^{-1}\circ (y'-y)^{*}-\partial f(g(y))^{-1}\circ F(g(y'),g(y))\circ (g(y')-g(y))\\=\partial f(g(y))^{-1}\circ (y'-y)^{*}+G(y',y).\end{matrix}}$

3. Die oben verwendete Restgliedfunktion

$G(y',y):=-\partial f(g(y))^{-1}\circ F(g(y'),g(y))\circ (g(y')-g(y))$

ist superlinear gemäß

$\lim _{y'\to y,y'\neq y}{\frac {1}{|y'-y|}}G(y',y)=0$.

Da nämlich $\lim _{x'\to x,x'\neq x}F(x,x')=0$ erfüllt ist und $g$ sowie $\{\partial f\}^{-1}$ stetige Funktionen darstellen, bleibt nur die Beschränktheit des Quotienten

${\frac {|g(y')-g(y)|}{|y'-y|}},y'\to y,y'\neq y$

zu zeigen: Nach Hilfssatz 1 existiert eine Konstante $M>0$, so dass die Abschätzung

$|y'-y|=|f(g(y'))-f(g(y))|\geq M\cdot |g(y')-g(y)|$ für alle $y',y\in K_{\sigma }(b)$ mit $y'\neq y$

bzw.

${\frac {|g(y')-g(y)|}{|y'-y|}}\leq {\frac {1}{M}}$ für alle $y',y\in K_{\sigma }(b)$ mit $y'\neq y$

erfüllt ist.

4. Mit $h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ setzen wir $y'=(y_{1},\ldots ,y_{j}+h,\ldots ,y_{n})^{*}$ in (19) ein. Multiplikation mit dem Vektor $h^{-1}(\delta _{i1},\ldots ,\delta _{in})$ von links liefert beim Grenzübergang $h\to 0$ die Identität

(20) ${\frac {\partial }{\partial y_{j}}}g_{i}(y)={\frac {\det F_{ij}(g(y))}{J_{f}(g(y))}}$ für $i,j=1,2,\ldots ,n$,

wobei wir die Superlinearität des Restglieds verwenden. Da die rechte Seite von (20) stetig auf der Menge ${\stackrel {\circ }{K}}_{\sigma }(b)$ ist, folgt die Aussage

$g\in C^{1}\left({\stackrel {\circ }{K}}_{\sigma }(b),\mathbb {R} ^{n}\right)$.

q.e.d.

Hilfssatz 5

Zu $p\in \mathbb {N}$ sei $f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ eine Abbildung der Klasse $C^{p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ mit $J_{f}(a)\neq 0$ in $a\in \Omega$. Dann gehört die inverse Abbildung $g:K_{\sigma }(b)\to K_{\rho }(a)$ aus Definition 3 zur folgenden Regularitätsklasse:

$g\in C^{p}\left({\stackrel {\circ }{K}}_{\sigma }(b),\mathbb {R} ^{n}\right)$.

Beweis

Für $p=1$ wurde die Aussage in Hilfssatz 4 hergeleitet. In den Fällen $p\geq 2$ ist der Beweis mittels vollständiger Induktion zu führen: Sei also $f\in C^{p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ und nach Induktionsvoraussetzung sei $g\in C^{p-1}\left({\stackrel {\circ }{K}}_{\sigma }(b),\mathbb {R} ^{n}\right)$ richtig. Dann liefert Hilfssatz 4

${\frac {\partial g_{i}}{\partial y_{j}}}={\frac {\det F_{ij}(g(y))}{J_{f}(g(y))}}\in C^{p-1}\left({\stackrel {\circ }{K}}_{\sigma }(b),\mathbb {R} ^{n}\right)$ für $i,j=1,\ldots ,n$,

denn es sind bereits die Regularitätsaussagen $g,F_{ij},J_{f}\in C^{p-1}$ erfüllt. Somit folgt

$g\in C^{p}\left({\stackrel {\circ }{K}}_{\sigma }(b),\mathbb {R} ^{n}\right)$.

Satz 1 (Fundamentalsatz über die inverse Abbildung)

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge, $p$ eine natürliche Zahl und die Abbildung $f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ gehöre zur Klasse $C^{p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$. Weiter sei für einen Punkt $a\in \Omega$ die Bedingung $J_{f}(a)\neq 0$ erfüllt und wir setzen $b:=f(a)$.

Dann gibt es zwei offene Mengen $A$ und $B$ im $\mathbb {R} ^{n}$, die folgende Eigenschaften haben:

(i) Es gilt $a\in A$ und $b\in B$.

(ii) Die Funktion $f$ bildet $A$ topologisch auf $B$ ab, d. h. $f:A\to B$ besitzt eine Umkehrfunktion $g:B\to A$ und beide Funktionen sind auf ihren Definitionsbereichen stetig.

(iii) Die Umkehrabbildung $g$ gehört zur Klasse $C^{p}(B,\mathbb {R} ^{n})$ und es gelten die beiden Identitäten

$f(g(y))=y$ für alle $y\in B$ sowie $g(f(x))=x$ für alle $x\in A$.

Beweis

Wir wählen die Definitionsbereiche

$B:={\stackrel {\circ }{K}}_{\sigma }(b)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:|y-b|<\sigma \}$ und $A:=g\left({\stackrel {\circ }{K}}_{\sigma }(b)\right)$.

Nun kann man zeigen, dass $A$ wegen der Stetigkeit von $f$ eine offene Menge im $\mathbb {R} ^{n}$ ist. Wenn $x'$ ein beliebiger Punkt aus $A$ ist, so liegt $y'=f(x')$ in ${\stackrel {\circ }{K}}_{\sigma }(b)$. Nun ist ${\stackrel {\circ }{K}}_{\sigma }(b)$ offen und es gibt ein $\varepsilon >0$ mit der Eigenschaft

${\stackrel {\circ }{K}}_{\varepsilon }(y'):=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:|y-y'|<\varepsilon \}\subset {\stackrel {\circ }{K}}_{\sigma }(b)$.

Wegen der Stetigkeit von $f$ existiert zu diesem $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$, so dass $K_{\delta }(x')$ in $\Omega$ liegt und

$|f(x)-f(x')|<\varepsilon$ für alle $x\in K_{\delta }(x')$

gilt. Somit wird $K_{\delta }(x')$ durch $f$ in ${\stackrel {\circ }{K}}_{\varepsilon }(y')\subset {\stackrel {\circ }{K}}_{\sigma }(b)$ abgebildet. Also ist $K_{\delta }(x')\subset A$ erfüllt und $x'$ ist innerer Punkt von $A$. Damit ist $A$ offen. Nun folgt Satz 1 aus den Hilfssätzen 1 bis 5.

q.e.d.