Kurs:Analysis II/Kapitel IV: Partielle Differentiation für Funktionen mehrerer Veränderlicher/Impliziert definierte Funktionen und restringierte Extremwertaufgaben (§5)

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Inhaltsverzeichnis

1 Beispiel 1
2 Beispiel 2
3 Beispiel 3
4 Satz 1 (Implizierte Funktionen)
- 4.1 Beweis
- 4.2 Bemerkung
5 Satz 2 (Extrema mit Nebenbedingungen)
- 5.1 Beweis
- 5.2 Bemerkungen

[Bearbeiten] Beispiel 1

Auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ sei die Funktion

$f(x, y): \Omega \to \mathbb{R} \in C^1(\Omega)$

gegeben. Wir betrachten nun die Nullstellenmenge dieser Funktion

$\{(x, y) \in \Omega: f(x, y) = 0\}$ .

Uns interessiert die Frage, ob es eine Funktion $x = g(y): I \to \mathbb{R} \in C^1(I)$ auf einem Intervall $I := (y_1, y_2) \subset \mathbb{R}$ so gibt, dass folgendes gilt:

(1)

f (g (y), y) = 0

für alle $y \in I$ .

Im Falle der Existenz von $g$ erhält man durch Differentiation aus (1)

f x (g (y), y) g'(y) + f y (g (y), y) = 0

in

I

und somit

(2) $g'(y) = - \frac{f_y(g(y), y)}{f_x(g(y), y)}$ für alle $y \in I$ .

Die Auflösbarkeit der impliziten Gleichung $f (x, y) = 0$ in die explizite Funktion $x = g (y)$ erfordert also $f_x(x, y) \neq 0$ für alle $(x, y) \in \Omega$ als Bedingung.

[Bearbeiten] Beispiel 2

Auf der offenen Menge

$\Omega \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} = \{(x_1, \ldots, x_n, y) \Bigl| x_i \in \mathbb{R}\ \mathrm{f\ddot ur}\ i = 1, \ldots, n \text{ und } y \in \mathbb{R}\}$

seien die Komponentenfunktionen von $f = (f_1, \ldots, f_n)$ gegeben durch

$f_i(x, y) = f_i(x_1, \ldots, x_n, y): \Omega \to \mathbb{R} \in C^1(\Omega)$ für $i = 1, \ldots, n$ .

Dann stellt die Menge

$\Gamma := \{(x, y) \in \Omega: f_i(x, y) = 0\ \mathrm{f\ddot ur}\ i = 1, \ldots, n\}$

eine Kurve im $\mathbb{R}^{n + 1}$ dar. Sie entsteht als Durchschnitt der Flächen

$F_i := \{(x, y) \in \Omega: f_i(x, y) = 0\}$ für $i = 1, 2, \ldots, n$

mit den Normalenvektoren $\nabla f_i(x, y) = (f_{i, x_1}, f_{i, x_2}, \ldots, f_{i, x_n}, f_{i, y})$ , die senkrecht auf den Flächen $F i$ stehen. Der Tangentialvektor an die Kurve $G a m m a$ ist orthogonal zu allen Flächennormalen. Somit hat die Tangente $\mathbf{t}$ die Richtung des Kreuzproduktvektors im $\mathbb{R}^{n + 1}$ , nämlich $\nabla f_1(x, y) \wedge \ldots \wedge \nabla f_n(x, y)$ . Wollen wir nun die Kurve $Γ$ in der Form

$x = g(y) = (g_1(y), g_2(y), \ldots, g_n(y)), y \in I \subset \mathbb{R}$

darstellen, so darf die Komponente von $\mathbf{t}$ in $y$ -Richtung nicht verschwinden. Es muss also die Bedingung

(3) $(0, \ldots, 0, 1) \cdot \nabla f_1 \wedge \ldots \wedge \nabla f_n = \det \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right)_{i, j = 1, \ldots, n} \neq 0$

gelten, wobei wir noch folgendes beachten

$\begin{pmatrix} \nabla f_1 \\ \vdots \\ \nabla f_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_{1, x_1} & \ldots & f_{1, x_n} & f_{1, y} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ f_{n, x_1} & \ldots & f_{n, x_n} & f_{n, y} \end{pmatrix}$ .

[Bearbeiten] Beispiel 3

Bezeichne $M$ eine $(n \times n)$ -Matrix und $N$ eine $(n \times m)$ -Matrix, so betrachten wir die lineare Abbildung

$f(x, y) = M \circ x + N \circ y: \mathbb{R}^{n + m} \to \mathbb{R}^n, \quad x \in \mathbb{R}^n, \quad y \in \mathbb{R}^m$ .

Wir beachten

(4) $f(x, y) = M \circ x + N \circ y = 0$ genau dann wenn $x = - M^{- 1} \circ N \circ y$ .

Die Auflösung setzt also die folgende Bedingung voraus:

$\det M = \det \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right)_{i, j = 1, \ldots, n} \neq 0$ .

Allgemein wollen wir jetzt das folgende implizite Gleichungssystem

(5) $\begin{matrix} f_1(x_1, \ldots, x_n; y_1, \ldots, y_m) = 0 \\ \vdots \\ f_n(x_1, \ldots, x_n; y_1, \ldots, y_m) = 0 \end{matrix}$

auflösen. Wir fassen dieses mit Hilfe der Setzungen

(6) $\begin{matrix} x = (x_1, \ldots, x_n), \quad y = (y_1, \ldots, y_m), \quad (x, y) = (x_1, \ldots, x_n; y_1, \ldots, y_m) \\ f(x, y) = (f_1(x, y), f_2(x, y), \ldots, f_n(x, y) \end{matrix}$

zur Gleichung

(7)

f (x, y) = 0

zusammen, welche zum System (5) äquivalent ist. Die Auflösung des Systems (7) bedeutet eine Abbildung $x = g (y)$ so zu finden, dass $f (g (y), y) = 0$ gilt. Wie die obigen Beispiele zeigen, ist eine Auflösung im nichtlinearen Fall nur lokal möglich!

[Bearbeiten] Satz 1 (Implizierte Funktionen)

Voraussetzungen: Seien die natürlichen Zahlen $m, n, p \in \mathbb{N}$ gewählt. Auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^{n + m}$ sei die Funktion

$f(x, y) = (f_1(x, y), \ldots, f_n(x, y)): \Omega \to \mathbb{R}^n \in C^p(\Omega, \mathbb{R}^n)$

gegeben. Ferner sei $(a, b) \in \Omega$ ein fester Punkt mit

f (a, b) = 0

und $J_f(a, b) := \det \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (a, b) \right)_{i, j = 1, 2, \ldots, n} \neq 0$ .

Behauptung: Dann gibt es eine offene Umgebung $B$ von $b$ im $\mathbb{R}^n$ und eine eindeutig bestimmte Abbildung $x = g(y): B \to \mathbb{R}^n$ mit den folgenden Eigenschaften:

Es sind die Bedingungen $g (b) = a$ und $g \in C^p(B, \mathbb{R}^n)$ erfüllt.
Für alle $y \in B$ gilt die Identität $f (g (y), y)$ .

[Bearbeiten] Beweis

1. Teil:
Wir erweitern die Abbildung $f$ zu einer Abbildung $F: \Omega \to \mathbb{R}^{n + m}$ vermöge

$(x_1, \ldots, x_n; y_1, \ldots, y_m) \mapsto \begin{pmatrix} F_1(x, y) \\ \vdots \\ F_n(x, y) \\ F_{n + 1}(x, y) \\ \vdots \\ F_{n + m}(x, y) \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} f_1(x_1, \ldots, x_n; y_1, \ldots, y_m) \\ \vdots \\ f_n(x_1, \ldots, x_n; y_1, \ldots, y_m) \\ y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix}$

für $(x, y) \in \Omega$ . Nach Voraussetzung gehört $F$ der Klasse $C^p(\Omega, \mathbb{R}^{n + m})$ an. Wir berechnen nun

$F(a, b) = (f(a, b), b) \stackrel{\text{n. V.}}{=} (0, b) \in \mathbb{R}^{n + m}$ .

Für die Funktionaldeterminante von $F$ erhält man

(8) $J_F(x, y) = \det \begin{pmatrix} \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right)_{i, j = 1, \ldots, n} & \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right)_{i = 1, \ldots, n \atop j = 1, \ldots, m} \\ (0)_{i = 1, \ldots, m \atop j = 1, \ldots, n} & (\delta_{ij})_{i, j = 1, \ldots, m} \end{pmatrix} = J_f(x, y)$ in

Ω

.

Für $x = a$ und $y = b$ gilt also

$J_F(a, b) = J_f(a, b) \stackrel{\text{n. V.}}{\neq} 0$ .

2. Teil:
Wir setzen nun $z = (x, y) \in \mathbb{R}^{n + m}$ sowie $\zeta = (\xi, \eta) \in \mathbb{R}^{n + m}$ mit $\xi \in \mathbb{R}^n$ und $\eta \in \mathbb{R}^m$ . Nach dem Fundamentalsatz über die inverse Abbildung gibt es eine Umgebung $\Gamma \subset \mathbb{R}^{n + m}$ des Punktes $(0, b)$ und eine Abbildung

$\Phi = (\Phi_1, \ldots, \Phi_n; \Phi_{n + 1}, \ldots, \Phi_{n + m}): \Gamma \to \Omega \in C^p(\Gamma, \mathbb{R}^{n + m})$

mit der Eigenschaft

F (Φ(ξ,η)) = (ξ,η)

für alle $(\xi, \eta) \in \Gamma$ .

Setzen wir nun $\varphi: \Gamma \to \mathbb{R}^n \in C^p(\Gamma, \mathbb{R}^n)$ vermöge

$\varphi(\xi, \eta) := (\Phi_1(\xi, \eta), \ldots, \Phi_n(\xi, \eta)), \quad (\xi, \eta) \in \Gamma$ ,

so gilt

$\varphi(0, b) = a$ und $f(\varphi(\xi, \eta), \eta) = \xi$ für alle $(\xi, \eta) \in \Gamma$ .

Wir erklären eine – im $\mathbb{R}^m$ offene – Umgebung von $b$ durch

$B := \{y \in \mathbb{R}^m: (0, y) \in \Gamma\}$

und eine Abbildung

$g: B \to \mathbb{R}^n$ vermöge $g(y) := \varphi(0, y), \quad y \in B$ .

Nun folgt $g \in C^p(B),\ g(b) = \varphi(0, b) = a$ und

$f(g(y), y) = f(\varphi(0, y), y) = 0$ für alle $y \in B$ .

Die Eindeutigkeit der Abbildung $g: B \to \mathbb{R}^n$ ist aus der Konstruktion klar.

q.e.d.

[Bearbeiten] Bemerkung

Wir differenzieren das implizite Gleichungssystem

(9) $0 = f_i(g_1(y_1, \ldots, y_m), g_n(y_1, \ldots, y_m), y_1, \ldots, y_m), \quad 1 \le i \le n$

nach den Variablen $y k$ für $1 \le k \le m$ . Dann erhalten wir

(10) $\sum^n_{j = 1} \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (g(y), y) \frac{\partial g_j}{\partial y_k} (y) + \frac{\partial f_i}{\partial y_k} (g(y), y) = 0$ für $i = 1, \ldots, n; k = 1, \ldots, m$ .

Wir definieren die Funktionalmatrizen

(11) $\begin{matrix} \partial_x f(x, y) := \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (x, y) \right)_{i, j = 1, \ldots, n}, \partial_y f(x, y) := \left( \frac{\partial f_i}{\partial y_k} (x, y) \right)_{i = 1, \ldots, n \atop k = 1, \ldots, m}, \\ \partial g(y) := \left( \frac{\partial g_j}{\partial y_k} (y) \right)_{j = 1, \ldots, n \atop k = 1, \ldots, m}. \end{matrix}$

Wir erhalten nun den folgenden Ausdruck für die Funktionalmatrix der inversen Abbildung

$\partial_x f(g(y), y) \circ \partial g(y) + \partial_y f(g(y), y) = 0$

bzw.

(12) $\partial g(y) = - \partial_x f(g(y), y)^{- 1} \circ \partial_y f(g(y), y)$ .

Wir betrachten jetzt restringierte Extremwertaufgaben, die J. L. Lagrange in der Analytischen Mechanik ursprünglich behandelt hat.

[Bearbeiten] Satz 2 (Extrema mit Nebenbedingungen)

Voraussetzungen: Sei $\Omega \subset \mathbb{R}^{n + m}$ eine offene Menge mit ihren Punkten $z = (z_1, \ldots, z_{n + m}) \in \Omega$ , wobei $m, n \in \mathbb{N}$ gewählt sind. Weiter seien die Funktionen

$\Phi: \Omega \to \mathbb{R} \in C^1(\Omega)$

und

$f_i: \Omega \to \mathbb{R} \in C^1(\Omega)$ für $i = 1, \ldots, n$

gegeben. Außerdem sei $z 0$ ein regulärer Punkt der Mannigfaltigkeit

$\mathcal{M} := \{z \in \Omega | f_i(z) = 0\ {f{\ddot u}r}\ i = 1, \ldots, n\}$ ,

d. h. ihre Funktionalmatrix habe maximalen Rang gemäß

$Rang \left( \frac{\partial f_i}{\partial z_j} (z^0) \right)_{i = 1, \ldots, n \atop j = 1, \ldots, n + m} = n$ .

Die Funktion $Φ$ nehme im Punkt $z^0 \in \mathcal{M}$ ein Extremum unter den Nebenbedingungen $f i = 0$ mit $i = 1, \ldots, n$ an: Es gilt also

$\Phi(z) \ge \Phi(z^0)$ oder $\Phi(z) \le \Phi(z^0)$ für alle $z \in \mathcal{M} \cap K_\varepsilon(z^0)$ ,

wobei $K_\varepsilon(z^0) := \{z \in \Omega: |z - z_0| < \varepsilon\}$ mit einem hinreichend kleinen $\varepsilon > 0$ erklärt ist.

Behauptung: Dann folgt $\nabla \Phi(z^0) \in \mathcal{V}_n$ , wobei $\mathcal{V}_n$ der von den Vektoren $\nabla f_1(z^0), \ldots, \nabla f_n(z^0)$ aufgespannte $n$ -dimensionale Untervektorraum des Vektorraums $\mathbb{R}^{n + m}$ ist.

[Bearbeiten] Beweis

Da $z 0$ ein regulärer Punkt von $\mathcal{M}$ ist, können wir ohne Einschränkung folgendes annehmen:

$\det \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (z^0) \right)_{i, j = 1, \ldots, n} \neq 0$ .

Nun setzen wir

$z = (z_1, \ldots, z_n; z_{n + 1}, \ldots, z_{n + m}) = (x_1, \ldots, x_n; y_1, \ldots, y_m) = (x, y)$

mit $x = (x_1, \ldots, x_n)$ und $y = (y_1, \ldots, y_m)$ . Wir wenden den Satz über implizite Funktionen auf

$f(x, y) = (f_1(x, y), \ldots, f_n(x, y)): \Omega \to \mathbb{R}^n$

an. Erklären wir $z^0 = (a, b) = (a_1, \ldots, a_n; b_1, \ldots, b_m) \in \mathcal{M}$ , dann gibt es eine Umgebung $B \subset \mathbb{R}^m$ von $b$ und eine Funktion

$g = g(y_1, \ldots, y_m) \in C^1(B, \mathbb{R}^n)$

mit $f (g (y), y) = 0$ für alle $y \in B$ . Somit nimmt die Funktion

(13) $\Theta(y_1, \ldots, y_m) := \Phi(g_1(y_1, \ldots, y_m), \ldots, g_n(y_1, \ldots, y_m), y_1, \ldots, y_m)$

mit $y = (y_1, \ldots, y_m) \in B$ ein freies Extremum im Punkt $y = b$ an. Damit verschwindet an diesem Punkt der Gradient von $Θ$ und wir erhalten aus (13) durch Differentiation die Identitäten

(14) $0 = \Theta_{y_k}(b) = \sum^n_{j = 1} \Phi_{z_j}(g(b), b) \frac{\partial g_j}{\partial y_k} (b) + \Phi_{z_{n + k}}(g(b), b)$ für $k = 1, \ldots, m$ .

Wir führen nun die Tangentialvektoren $\mathcal{T}_k$ mittels

$\mathcal{T}_k := \left( \frac{\partial g_1}{\partial y_k}, \ldots, \frac{\partial g_n}{\partial y_k}, \delta_{1k}, \ldots, \delta{mk} \right)^*$ für $k = 1, \ldots, m$

ein. Wegen (14) folgt

(15) $0 = \Theta_{y_k}(b) = \nabla \Phi(g(b), b) \cdot \mathcal{T}_k$ für $k = 1, \ldots, m$ .

Somit steht $\nabla \Phi(g(b), b) = \nabla \Phi(z^0)$ orthogonal zu den Vektoren $\mathcal{T}_k\ (k = 1, \ldots, m)$ . Ebenso erhalten wir aus den Nebenbedingungen

(16) $0 = f_i(g_1(y_1, \ldots, y_m), \ldots, g_n(y_1, \ldots, y_m), y_1, \ldots, y_m),\ y \in B$ für $i = 1, \ldots, n$

durch Differentiation nach $y k$ die Gleichungen

(17) $0 = \nabla f_i(g(b), b) \cdot \mathcal{T}_k$ für $k = 1, \ldots, m$ und $i = 1, \ldots, n$ .

Somit spannen die $n$ linear unabhängigen Vektoren $\nabla f_1(z^0), \ldots, \nabla f_n(z^0)$ den $n$ -dimensionalen Orthogonalraum zu den $m$ linear unabhängigen Vektoren $\mathcal{T}_1, \ldots, \mathcal{T}_m$ im $\mathbb{R}^{n + m}$ auf. Damit ist die Basisdarstellung

$\nabla \Phi(z^0) = \lambda_1 \nabla f_1(z^0) + \ldots + \lambda_n \nabla f_n(z^0)$

mit geeigneten Skalaren $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{R}$ möglich.

q.e.d.

[Bearbeiten] Bemerkungen

Da die Vektoren $\nabla f_i(z^0)$ mit $i = 1, \ldots, n$ eine Basis des Untervektorraums $\mathcal{V}_n$ bilden, kann man $\nabla \Phi(z^0)$ als deren Linearkombination mittels reeller Skalare $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{R}$ darstellen, so dass folgendes gilt:

(18) $\nabla \Phi(z^0) = \lambda_1 \nabla f_1(z^0) + \ldots + \lambda_n \nabla f_n(z^0)$ .

Zur Lösung des Extremwertproblems unter Nebenbedingungen betrachten wir also die Funktion

$\Psi(z) := \Phi(z) - \lambda_1 f_1(z) - \ldots - \lambda_n f_n(z), z \in \Omega$ .

Es sind nun die kritischen Punkte $z 0$ mit $\nabla \Psi(z^0) = 0$ zu bestimmen, wobei $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ zunächst freie, später zu bestimmende Parameter sind. Diese nennt man Lagrangesche Multiplikatoren.

Kurs:Analysis II/Kapitel IV: Partielle Differentiation für Funktionen mehrerer Veränderlicher/Impliziert definierte Funktionen und restringierte Extremwertaufgaben (§5)

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