Kurs:Analysis II/Kapitel IV: Partielle Differentiation für Funktionen mehrerer Veränderlicher/Partielle Ableitungen erster Ordnung (§1)

Aus Wikiversity

< Kurs:Analysis II | Kapitel IV: Partielle Differentiation für Funktionen mehrerer Veränderlicher

[Bearbeiten] Definition 1

Seien die Dimensionen $n,m \in \mathbb{N}$ gewählt, $f=f(x): \Omega \to \mathbb{R}^m$ sei eine auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ erklärte Funktion und schließlich sei $x^0 = (x_1^0, \ldots, x_n^0) \in \Omega$ ein fester Punkt. Für hinreichend kleines $\varepsilon > 0$ betrachten wir die Funktion

$\Phi_j: (x_j^0 - \varepsilon, x_j^0 + \varepsilon) \to \mathbb{R}^m$ vermöge $\Phi_j(t) := f(x_1^0, \ldots, x_{j - 1}^0, t, x_{j + 1}^0, \ldots, x_n^0), \quad t \in (x_j^0 - \varepsilon, x_j^0 + \varepsilon)$ .

Existiert die Ableitung der Funktion $Φ j$ an der Stelle $t = x_j^0$ , so heißt $\Phi'_j(x^0_j)$ , so heißt die partielle Ableitung von $f$ nach $x j$ im Punkt $x 0$ . Wir schreiben

$\Phi'_j(x_j^0) =: f_{x_j}(x^0) = \frac{\partial}{\partial x_j} f(x^0)$ für ein $j \in \{1, \ldots, n\}$ .

[Bearbeiten] Definition 2

Sei $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ eine offene Menge. Existieren die partiellen Ableitungen $f_{x_j}(x)$ mit $j = 1, \ldots, n$ für alle $x \in \Omega$ und stellen sie in $Ω$ eine stetige Funktion dar, so gehört die Funktion $f$ zur Klasse $C^1 (\Omega, \mathbb{R}^m)$ der einmal stetig differenzierbaren Funktionen – oder kurz $f \in C^1 (\Omega, \mathbb{R}^m)$ . Falls $m = 1$ ist, schreiben wir $C^1(\Omega) := C^1(\Omega, \mathbb{R})$ . Für $m = 2$ identifizieren wir $\mathbb{R}^2 = \mathbb{C}$ und setzen $C^1 (\Omega, \mathbb{C}) := C^1 (\Omega, \mathbb{R}^2)$ . Falls der Bildbereich aus dem Zusammenhang hervorgeht, werden wir diesen nicht notwendig angeben.

[Bearbeiten] Satz 1 (Kettenregel in mehreren Veränderlichen)

Voraussetzungen:

(1) Die Mengen $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ und $\Theta \subset \mathbb{R}^m$ – mit $m, n \in \mathbb{N}$ – sind offen.

(2) Die Funktion $y=f(x) = (f_1(x_1, \ldots, x_n), \ldots, f_m(x_1, \ldots, x_n)) : \Omega \to \Theta$ gehört zur Klasse $C^1 (\Omega, \mathbb{R}^m)$ .

(3) Weiter sei $f \in C^0 (\Omega, \mathbb{R}^m)$ erfüllt.

(4) Es sei $z = g(y) = g(y_1, \ldots, y_m) : \Theta \to \mathbb{C}$ eine Funktion der Klasse $C^1 (\Theta, \mathbb{C})$ .

Behauptung: Dann gehört die Funktion

$h = h(x) = g(f(x)) = g(f_1(x_1, \ldots, x_n), \ldots, f_m(x_1, \ldots, x_n)) : \Omega \to \mathbb{C}$

zur Klasse $C^1 (\Theta, \mathbb{C})$ und es gilt

(5) $\frac{\partial}{\partial x_j} h(x) = \sum^m_{k = 1} \frac{\partial}{\partial y_k} g(f(x)) \frac{\partial f_k(x)}{\partial x_j}, \quad x \in \Omega$

für $j = 1, \ldots, n$ .

[Bearbeiten] Beweis

Offenbar genügt es, die Situation $n = 1,Ω = (a, b)$ und $g \in C^1(\Theta, \mathbb{R})$ zu betrachten. Zu zeigen ist die Differenzierbarkeit von $h$ und die Identität (5): Sei $x^0 \in (a, b)$ und $x \in (a, b)$ mit $0 < |x - x^0| < \varepsilon$ gewählt. Dann gilt

$\begin{matrix} h(x) - h(x^0) & = & g(f_1(x), \ldots, f_m(x)) - g(f_1(x^0), \ldots, f_m(x^0)) \\ & = & [g(f_1(x), \ldots, f_m(x)) - g(f_1(x^0), \ldots, f_m(x))] \\ & + & [g(f_1(x^0), f_2(x) \ldots, f_m(x)) - g(f_1(x^0), f_2(x^0), \ldots, f_m(x))] \\ & + & \cdots \\ & + & [g(f_1(x^0), \ldots, f_{m - 1}(x^0), f_m(x)) - g(f_1(x^0), \ldots, f_m(x^0))]. \end{matrix}$

Wendet man auf die Ausdrücke in den eckigen Klammern den Mittelwertsatz der Differentialrechnung an, so folgt

$\begin{matrix} h(x) - h(x^0) & = & g_{y_1}(\eta_1, f_2(x), \ldots, f_m(x)) (f_1(x) - f_1(x^0)) \\ & + & g_{y_2}(f_1(x^0), \eta_2(x), \ldots, f_m(x)) (f_2(x) - f_2(x^0)) \\ & + & \cdots \\ & + & g_{y_m}(f_1(x^0), \ldots, f_{m - 1}(x^0), \eta_m) (f_m(x) - f_m(x^0)) \end{matrix}$

mit $|\eta_j - f_j(x^0)| \le |f_j(x) - f_j(x^0)|$ für $j = 1, \ldots, m$ . Für den Differenzenquotienten erhalten wir dann

$\begin{matrix} \frac{h(x) - h(x^0)}{x - x^0} & = & g_{y_1}(\eta_1, f_2(x), \ldots, f_m(x)) \frac{f_1(x) - f_1(x^0)}{x - x^0} \\ & + & \cdots \\ & + & g_{y_m}(f_1(x^0), \ldots, f_{m - 1}(x^0), \eta_m) \frac{f_m(x) - f_m(x^0)}{x - x^0}. \end{matrix}$

Mittels Grenzübergang $x \to x^0$ folgt in

$h'(x_0) = g_{y_1}(f(x^0)) \cdot f_1'(x^0) + \ldots + g_{y_m}(f(x^0)) \cdot f_m'(x^0)$

die Behauptung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Mittelwertsatz in mehreren Veränderlichen)

Sei $f \in C^1(\Omega)$ eine reellwertige Funktion auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ . Weiter seien $x', x'' \in \Omega \subset \mathbb{R}^n$ zwei Punkte, so dass deren Verbindungsstrecke die folgende Inklusion erfüllt:

$\sigma(x', x'') := \{x \in \mathbb{R}^n: x = \lambda x' + (1 - \lambda) x'', 0 \le \lambda \le 1 \} \subset \Omega$ .

Dann gibt es einen Punkt $z \in \stackrel{\circ}{\sigma} := \sigma (x', x'') \setminus \{x', x''\}$ , so dass

$f(x') - f(x'') = \sum^n_{k = 1} f_{x_k}(z) (x_k' - x_k'')$

gilt.

[Bearbeiten] Beweis

Wir wenden nun den Mittelwertsatz der Differentialrechnung aus Kapitel II §3 auf die Funktion

$g(\lambda):= f \Bigl( \lambda x' + (1 - \lambda) x'' \Bigr), \quad 0 \le \lambda \le 1$

an. Da $g$ differenzierbar in $λ$ ist, folgt $g \in C^1((0,1)) \cap C^0([0,1])$ . Dann erhalten wir die Identität

(6)

f (x') - f (x'') = g (1) - g (0) = g'(τ)

mit einem geeigneten $\tau \in (0,1)$ . Wir berechnen

$\begin{matrix} g'(\lambda) &=& \frac{d}{d\lambda} f(x_1' + \lambda(x_1'' - x_1'), \ldots, x_n' + \lambda(x_n'' - x_n')) \\ &=& f_{x_1}(x' + \lambda(x'' - x')) (x_1'' - x_1') + \ldots + f_{x_n}(x' + \lambda(x'' - x')) (x_n'' - x_n'). \end{matrix}$

Mit Hilfe von (6) folgt die behauptete Gleichung

$f(x') - f(x'') = \sum^n_{k = 1} f_{x_k}(z) (x_k' - x_k'')$ ,

wobei $z := x' + \tau(x'' - x') \in \stackrel{\circ}{\sigma}(x', x'')$ erklärt ist.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 3

Sei $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ eine offene Menge und $f \in C^1(\Omega)$ eine reellwertige Funktion, so nennen wir

$\nabla f(x) = \Bigl( f_{x_1}(x), \ldots, f_{x_n}(x) \Bigr), \quad x \in \Omega$

den Gradienten von $f$ an der Stelle $x$ .

[Bearbeiten] Definition 4

Mit $C 0 (Ω)$ bezeichnen wir den Vektorraum aller reellwertigen stetigen Funktionen auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ .

[Bearbeiten] Satz 3

Jede Funktion $f = f(x) \in C^1(\Omega)$ ist in der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ stetig, d. h. die Inklusion $C^1(\Omega) \subset C^0(\Omega)$ ist erfüllt.

[Bearbeiten] Beweis

Diese Aussage ergibt sich als Folgerung aus Satz 2. Es gilt nämlich

$|f(x') - f(x'')| = |\nabla f(z) \cdot (x' - x'')| \le |\nabla f(z)| \cdot |x' - x''|$

für alle $x', x'' \in \Omega$ mit $z \in \sigma(x', x'') \subset \Omega$ .

[Bearbeiten] Definition 5

Sei $f \in C^1(\Omega)$ auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ eine Funktion und $v \in \mathbb{R}^n$ mit $| v | = 1$ ein Richtungsvektor. Dann nennen wir die Ableitung der Funktion

$\Phi(t) := f(x + tv), \quad t \in (- \varepsilon, \varepsilon)$ mit einem $\varepsilon > 0$

an der Stelle $t = 0$ die Richtungsableitung von an der Stelle $x \in \Omega$ in Richtung $v$ , also

(7) $\Phi'(0) = \nabla f(x) \cdot v =: \frac{\partial}{\partial v} f(x)$ .

[Bearbeiten] Satz 4

Für eine Funktion $f \in C^1(\Omega)$ auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ gilt die Abschätzung

(8) $- |\nabla f(x)| \le \frac{\partial}{\partial v} f(x) \le + |\nabla f(x)|$ für alle $v \in \mathbb{R}^n$ mit $| v | = 1$

in jedem Punkt $x \in \Omega$ . Falls $|\nabla f(x)| > 0$ erfüllt ist, so tritt Gleichheit in (8) genau in den Fällen

$v = - |\nabla f(x)|^{-1} \nabla f(x)$ bzw. $v = |\nabla f(x)|^{-1} \nabla f(x)$

ein. Somit zeigt der Gradient in Richtung des höchsten Anstiegs von $f$ .

[Bearbeiten] Beweis

Die Identität (7) mit $\frac{\partial}{\partial v} f(x) = \nabla f(x) \cdot v$ und $v \in \mathbb{R}^n$ sowie $| v | = 1$ liefert die Ungleichung

$\left| \frac{\partial}{\partial v} f(x) \right| \le |\nabla f(x)|$ .

Die Diskussion des Gleichheitszeichens überlassen wir dem Leser.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 6

Für eine Abbildung

$y = f(x) = (f_1(x_1, \ldots, x_n), \ldots, f_m(x_1, \ldots, x_n)): \Omega \to \mathbb{R}^m$ mit $f \in C^1(\Omega, \mathbb{R}^m)$

auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ nennen wir

(9) $\partial f(x) := \left( \frac{\partial f_i(x)}{\partial x_j} \right)_{i = 1, \ldots, m \atop j = 1, \ldots, n} = \begin{pmatrix} f_{1, x_1}(x) & \ldots & f_{1, x_n}(x) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{m, x_1}(x) & \ldots & f_{m, x_n}(x) \end{pmatrix}$

die Funktionalmatrix (oder Jacobimatrix) von $f$ an der Stelle $x$ .

[Bearbeiten] Satz 5

Sei die Gültigkeit von (1) und (2) aus Satz 1 vorausgesetzt und weiter gehöre die Funktion

(10) $z = g(y) = (g_1(y_1, \ldots, y_m), \ldots, g_l(y_1, \ldots, y_m)): \Theta \to \mathbb{R}^l$

zur Klasse $C^1(\Theta, \mathbb{R}^l), l \in \mathbb{N}$ . Dann liegt die Funktion

$h(x) := (h_1(x), \ldots, h_l(x)) = g(f(x)) = \begin{pmatrix} g_1(f_1(x), \ldots, f_m(x)) \\ \vdots \\ g_l(f_1(x), \ldots, f_m(x)) \end{pmatrix}: \Omega \to \mathbb{R}^l$

in der Klasse $C^1(\Omega, \mathbb{R}^l)$ und es gilt

$\frac{\partial}{\partial x_j} h_i(x) = \sum^m_{k = 1} \frac{\partial g_i}{\partial y_k} (f(x)) \frac{\partial f_k(x)}{\partial x_j}$

mit $i = 1, \ldots, l$ und $j = 1, \ldots, n$ bzw.

(11) $\partial h(x) = \partial g(f(x)) \circ \partial f(x), \quad x \in \Omega$ .

[Bearbeiten] Beweis

Dieser ergibt sich unmittelbar aus Satz 1 und Definition 6.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 6 (Differentialgleichungssystem von Cauchy und Riemann)

Sei die Funktion $w = f(z) = u(x, y) + iv(x,y): \Omega \to \mathbb{C}$ auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{C}$ holomorph. Dann folgt $f \in C^1(\Omega, \mathbb{C})$ und $f$ erfüllt eine der folgenden beiden gleichwertigen Bedingungen:

(12) $f x + i f y = 0$ in $Ω$

oder das Cauchy -Riemannsche Differentialgleichungssystem

(13) $u_x = v_y, \quad u_y = - v_x$ in $Ω$ .

Dabei erklären wir $u = Re\, f(z)$ und $v = Im\, f(z)$ als Real- bzw. Imaginärteil der Funktion $f$ .

[Bearbeiten] Beweis

Da $f (z)$ holomorph in $Ω$ ist, existiert

$f'(z) = \lim_{k \to \infty} \frac{f(z + \zeta_k) - f(z)}{\zeta_k}$

für jede komplexe Nullfolge $\{\zeta_k\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} \setminus \{0\}$ mit $\zeta_k \to 0 \ (k \to \infty)$ . Somit ergibt sich

$f'(z) = \lim_{\varepsilon \to \infty, \varepsilon \neq 0} \frac{f(z + \varepsilon) - f(z)}{\varepsilon} = \lim_{\varepsilon \to \infty, \varepsilon \neq 0} \frac{f(x + \varepsilon, y) - f(x, y)}{\varepsilon} = f_x(x, y),$

$f'(z) = \lim_{\varepsilon \to \infty, \varepsilon \neq 0} \frac{f(z + i\varepsilon) - f(z)}{i\varepsilon} = \lim_{\varepsilon \to \infty, \varepsilon \neq 0} \frac{f(x, y + \varepsilon) - f(x, y)}{i\varepsilon} = \frac{1}{i} f_y(x, y) .$

Damit erhalten wir $f \in C^1(\Omega, \mathbb{C})$ und folglich

$f_x = f'(x) = \frac{1}{i} f_y$ oder $f_x - \frac{1}{i} f_y = f_x + if_y = 0$ in

Ω

.

Weiter gilt

$0 = f_x - \frac{1}{i} f_y = (u(x, y) + iv(x, y))_x + i(u(x, y) + iv(x, y))_y = (u_x - v_y) + i(v_x + u_y)$

genau dann, wenn

$u_x = v_y, \quad v_x = - u_y$ in

Ω

erfüllt ist.

q.e.d.

[Bearbeiten] Bemerkungen

1. Umgekehrt kann man von dem Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungssystem auf die Holomorphie der Funktion schließen.
2. Die Eigenschaft (12) holomorpher Funktionen beinhaltet die Winkeltreue der Abbildung $f: \Omega \to \mathbb{C}$ in allen Punkten $z \in \Omega$ mit $f'(z) \neq 0$ . Wegen $f y = i f x$ entsteht nämlich die Tangente an die Kurve $y \mapsto f(x, y)$ durch eine Drehung um $\frac{\pi}{2}$ aus der Tangente an die Kurve $x \mapsto f(x, y)$ .
3. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen implizieren, dass die folgende Matrix

(14) $\frac{1}{\sqrt{u^2_x + u^2_y}} \cdot \begin{pmatrix} u_x(x, y), & u_y(x, y) \\ v_x(x, y), & v_y(x, y) \end{pmatrix}, \quad z = x + iy \in \Omega$

orthogonal mit Determinante +1 ist – also eine Drehung darstellt. Somit sind holomorphe Funktionen mit nichtverschwindender Ableitung infinitesimal Drehungen in der $x, y$ -Ebene.
4. Winkeltreue Abbildungen wurden von C. F. Gauß auch konform genannt; sie sind bei der Erstellung von Landkarten bedeutend.

[Bearbeiten] Definition 7

Eine offene Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ heißt Gebiet, wenn sie im folgenden Sinne zusammenhängend ist: Zu je zwei Punkten $x', x'' \in \Omega$ gibt es einen stetigen Weg

$\varphi(t): [0, 1] \to \Omega \in C^0([0, 1], \mathbb{R}^n)$ mit $\varphi(0) = x'$ und $\varphi(1) = x''$ .

Dieser Weg verbindet $x'$ und $x''$ stetig in $Ω$ .

[Bearbeiten] Satz 7

Sei $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ein Gebiet und $f \in C^1(\Omega)$ eine reellwertige Funktion mit $\nabla f(x) \equiv 0$ in $Ω$ . Dann ist $f(x) \equiv c$ für alle $x \in \Omega$ erfüllt – mit einer Konstante $c \in \mathbb{R}$ .

[Bearbeiten] Beweis

Im ersten Teil wird die Eigenschaft 'die Funktion $f$ ist konstant' lokal geprüft, während im zweiten Teil die globale Aussage gezeigt wird.

1. Sei $x \in \Omega$ ein beliebiger Punkt, so gibt es eine Kugel $K_\varepsilon(x) \subset \Omega$ mit einem hinreichend kleinen $\varepsilon > 0$ . Zu $y \in K_\varepsilon(x)$ gibt es nach dem Mittelwertsatz – in mehreren Veränderlichen – einen Punkt $z \in \stackrel{\circ}{\sigma}(x, y)$ mit der Eigenschaft

$f(y) - f(x) = \nabla f(z) \cdot (y - x) = 0$ ,

weil $\nabla f$ nach Voraussetzung verschwindet. Somit folgt

f (x) = f (y)

für alle $y \in K_\varepsilon(x)$

und $f$ ist lokal konstant.

2. Wie im Teil 3.) des Beweises von Satz 5 aus Kapitel II §5 zeigt man über die Gebietseigenschaft, dass $f$ global konstant ist.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 8 (Additionstheorem für die Arcusfunktionen)

Für alle $x, y \in \mathbb{R}$ mit $x \cdot y \neq 1$ und $|\arctan x + \arctan y| < \frac{\pi}{2}$ gilt

(15) $\arctan \frac{x + y}{1 - xy} = \arctan x + \arctan y$ .

Für alle $x, y \in \mathbb{R}$ mit $|x| \le 1$ und $y \le 1$ sowie $|\arcsin x + \arcsin y| \le 1$ gilt

(16) $\arcsin \left( x \sqrt{1 - y^2} + y \sqrt{1 - x^2} \right) = \arcsin x + \arcsin y$ .

[Bearbeiten] Beweis

Zum Beweis von (15) betrachte man die Funktion

$f(x, y) = \arctan \left( \frac{x + y}{1 - xy} \right) - \arctan x - \arctan y$

für alle $x, y$ mit $x \cdot y \neq 1$ und $|\arctan x + \arctan y| < \frac{\pi}{2}$ . Man berechnet dann

f x (x, y) = 0 = f y (x, y)

und somit ist $f$ konstant. Da $f (0,0) = 0$ richtig ist, folgt $f(x, y) \equiv 0$ und somit die Identität (15). Ebenso beweist man (16).

q.e.d.

Wir bezeichnen mit $*$ die Transposition von Matrizen.

[Bearbeiten] Satz 9

Auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ sei die Funktion

$f = (f_1, \ldots, f_m)^*: \Omega \to \mathbb{R}^m \in C^1(\Omega, \mathbb{R}^m)$

gegeben. Dann gilt in jedem Punkt $x \in \Omega$ die linear approximative Darstellung

(17) $\begin{matrix} f(x + h) = f(x) + \partial f(x) \circ h^* + F(x, h) \circ h^*, \\ h = (h_1, \ldots, h_n) \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}\ mit\ 0 < |h| < \varepsilon \end{matrix}$

für ein hinreichend kleines $\varepsilon > 0$ . Hierbei liefert $h \mapsto \partial f(x) \circ h^*$ eine lineare Abbildung vom $\mathbb{R}^n$ in den $\mathbb{R}^m$ mit der Funktionalmatrix $\partial f(x)$ . Ferner haben wir für die $m \times n$ -Matrix $F(x, h) \in \mathbb{R}^{m \times n}$ die asymptotische Beziehung

$\lim_{h \to 0, h \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}} F(x, h) = 0$ ,

wobei wir ihre Konvergenz natürlich im $\mathbb{R}^{m \cdot n}$ verstehen.

[Bearbeiten] Beweis

Für $j = 1, \ldots, m$ wenden wir auf jede Komponentenfunktion $f j$ den Mittelwertsatz an. Dann gibt es eine Zwischenstelle $z^{(j)} \in \stackrel{\circ}{\sigma}(x, x + h)$ mit der Eigenschaft

$f_j(x + h) - f_j(x) = f_j(x_1 + h_1, \ldots, x_n + h_n) - f_j(x_1, \ldots, x_n)$

$= \nabla f_j\left( z^{(j)} \right) \cdot h = \nabla f_j(x) \cdot h + \left( \nabla f_j\left( z^{(j)} \right) - \nabla f_j(x) \right) \cdot h$ .

Mit der $m \times n$ -Matrix-wertigen Funktion

(18) $F(x, h) := \begin{pmatrix} \nabla f_1\left( z^{(1)} \right) - \nabla f_1(x) \\ \vdots \\ \nabla f_m\left( z^{(m)} \right) - \nabla f_m(x) \end{pmatrix}$

erhalten wir die angegebene Darstellung.

q.e.d.

Kurs:Analysis II/Kapitel IV: Partielle Differentiation für Funktionen mehrerer Veränderlicher/Partielle Ableitungen erster Ordnung (§1)

Aus Wikiversity

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

[Bearbeiten] Definition 2

[Bearbeiten] Satz 1 (Kettenregel in mehreren Veränderlichen)

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 2 (Mittelwertsatz in mehreren Veränderlichen)

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Definition 3

[Bearbeiten] Definition 4

[Bearbeiten] Satz 3

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Definition 5

[Bearbeiten] Satz 4

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Definition 6

[Bearbeiten] Satz 5

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 6 (Differentialgleichungssystem von Cauchy und Riemann)

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Bemerkungen

[Bearbeiten] Definition 7

[Bearbeiten] Satz 7

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 8 (Additionstheorem für die Arcusfunktionen)

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 9

[Bearbeiten] Beweis

Ansichten

Persönliche Werkzeuge

Suche

Navigation

Aktuell

Werkzeuge