Kurs:Analysis II/Kapitel IV: Partielle Differentiation für Funktionen mehrerer Veränderlicher/Partielle Ableitungen höherer Ordnung (§2)

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

Sei \Omega \subset \mathbb{R}^n eine offene Menge und y = f(x): \Omega \to \mathbb{R}^m eine Funktion, deren partielle Ableitung
\frac{\partial f}{\partial x_{i_1}} = f_{x_{i_1}}: \Omega \to \mathbb{R}^m
existiere. Außerdem existieren sukzessiv
\frac{\partial f}{\partial x_{i_1}} = f_{x_{i_1}}: \Omega \to \mathbb{R}^m
überall in Ω. Dann heißt
\frac{\partial f_{x_{i_1}}}{\partial x_{i_2}} = f_{x_{i_1} x_{i_2}}, \ldots, \frac{\partial f_{x_{i_1}, \ldots, x_{i_{\alpha - 1}}}}{\partial x_{i_\alpha}} = f_{x_{i_1}, \ldots, x_{i_\alpha}}
die partielle Ableitung von f der Ordnung α nach den Variablen x_{i_1}, \ldots, x_{i_\alpha}. Dabei sind \alpha \in \mathbb{N} und i_1, \ldots, i_\alpha \in \{1, \ldots, n\} gewählt worden.

[Bearbeiten] Satz 1

Auf der offenen Menge \Omega \subset \mathbb{R}^2 sei die Funktion f(x, y): \Omega \to \mathbb{R} erklärt. Weiter existieren die partiellen Ableitungen fx(x,y) und fxy(x,y) in Ω. Außerdem sei fxy(x,y) an der Stelle (x_0, y_0) \in \Omega stetig. Dann gilt
f_{xy}(x_0, y_0) = \lim_{x \to x_0, y \to y_0 \atop x \neq x_0, y \neq y_0} \Phi(x, y; x_0, y_0)
mit der Hilfsfunktion
\Phi(x, y; x_0, y_0) := \frac{f(x, y) - f(x_0, y) - f(x, y_0) + f(x_0, y_0)}{(x - x_0)(y - y_0)}
für (x, y) \in \Omega mit x \neq x_0 und y \neq y_0.

[Bearbeiten] Beweis

Wegen ihrer Offenheit gibt es ein δ > 0, so dass die Kreisscheibe

K_\delta(x_0, y_0) := \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 < \delta^2\}

in Ω liegt. Sei nun (x,y) ein beliebiger Punkt aus Kδ(x0,y0) mit x \neq x_0 und y \neq y_0. Dann können wir

\Phi(x, y; x_0, y_0) = \frac{(f(x, y) - f(x, y_0)) - (f(x_0, y) - f(x_0, y_0))}{(x - x_0)(y - y_0)}

mit Hilfe der Funktion φ(t): = f(t,y) − f(t,y0) im Intervall

I: = [min{x0,x},max{x0,x}]

wie folgt darstellen:

(1) \Phi(x, y; x_0, y_0) = \frac{\phi(x) - \phi(x_0)}{(x - x_0)(y - y_0)}.

Da fx in Ω existiert, ist φ(t) in I stetig und im Innern von I differenzierbar. Damit kann man den Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden und erhält mit einem \xi \in \stackrel{\circ}{I} (d. h. | ξ − x0 | < | x − x0 | ) aus (1) die Beziehung

(2) \Phi(x, y; x_0, y_0) = \frac{\phi_x(\xi)}{y - y_0} = \frac{f_x(\xi, y) - f_x(\xi, y_0)}{y - y_0}.

Eine nochmalige Anwendung des Mittelwertsatzes auf die im Intervall

J: = [min{y0,y},max{y0,y}]

stetige und in \stackrel{\circ}{J} differenzierbare Funktion Ψ(t): = fx(ξ,t) liefert

\Phi(x, y; x_0, y_0) = \frac{\Psi(y) - \Psi(y_0)}{y - y_0} = \Psi'(\eta) = f_{xy}(\xi, \eta)

mit einem \eta \in \stackrel{\circ}{J} (d. h. | η − y0 | < | y − y0 | ). Da der Punkt (x,y) beliebig gewählt war, gibt es also zu jedem (x, y) \in K_\delta(x_0, y_0) mit x \neq x_0 und y \neq y_0 einen Punkt (ξ,η) mit | ξ − x0 | < | x − x0 | und | η − y0 | < | y − y0 | , so dass

(3) Φ(x,y;x0,y0) = fxy(ξ,η)

erfüllt ist. Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von fxy im Punkt (x0,y0) folgt aus (3) die Relation

f_{xy}(x_0, y_0) = \lim_{x \to x_0, x \neq x_0 \atop y \to y_0, y \neq y_0} \Phi(x, y; x_0, y_0).

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2

Auf der offenen Menge \Omega \subset \mathbb{R}^2 sei die Funktion f(x, y): \Omega \to \mathbb{R} erklärt. Weiter existieren die partiellen Ableitungen fx,fy und fxy in Ω, wobei fxy an der Stelle (x_0, y_0) \in \Omega stetig ist. Dann existiert auch fyx im Punkt (x0,y0) und es gilt
fxy(x0,y0) = fyx(x0,y0).

[Bearbeiten] Beweis

Da die Voraussetzungen des Satzes 1 erfüllt sind, sehen wir ein:

f_{xy}(x_0, y_0) = \lim_{x \to x_0, x \neq x_0 \atop y \to y_0, y \neq y_0} \Phi(x, y; x_0, y_0) = \lim_{x \to x_0, x \neq x_0} \left( \lim_{y \to y_0, y \neq y_0} \Phi(x, y; x_0, y_0) \right)
= \lim_{x \to x_0, x \neq x_0} \frac{f_y(x, y_0) - f_y(x_0, y_0)}{x - x_0} = f_{yx}(x_0, y_0).

q.e.d.

[Bearbeiten] Beispiel 1

Für die Funktion

f(x, y) := xy \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} falls (x, y) \neq (0, 0) und f(0,0): = 0

verwenden wir universelle Polarkoordinaten x = rcosφ,y = rsinφ mit 0 < r < + \infty und - \infty < \phi < + \infty. Dann ergibt sich

f(x, y) = xy \cdot \frac{r^2 \cos^2 \phi - r^2 \sin^2 \phi}{r^2} = xy \cdot \cos\{2 \phi(x, y)\} falls (x, y) \neq (0, 0).

Wir betrachten nun

\nabla \phi(x, y) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} \Bigl( - \sin \phi(x, y), \cos \phi(x, y) \Bigr)

und berechnen in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\} ihre ersten partiellen Ableitungen

f_x(x, y) = y \cdot \cos\{2 \phi(x, y)\} + \frac{2 xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \sin\{2 \phi(x, y)\} \sin \phi(x, y)

sowie

f_y(x, y) = x \cdot \cos\{2 \phi(x, y)\} - \frac{2 xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \sin\{2 \phi(x, y)\} \cos \phi(x, y).

Hieraus ersehen wir f \in C^1(\mathbb{R}^2) mit \nabla f(0, 0) = (0, 0) und wir spezialisieren

f_x(x, y) = y \cdot \cos\{2 \phi(x, y)\} = - y falls y \neq 0

sowie

f_y(x, y) = x \cdot \cos\{2 \phi(x, y)\} = x falls x \neq 0.

Wir erhalten damit, dass die gemischten Ableitungen

f_{xy}(0, 0) = - 1 \neq 1 = f_{yx}(0, 0)

nicht übereinstimmen. Folglich muss die gemischte Ableitung fxy im Nullpunkt stetig sein!

[Bearbeiten] Satz 3 (Vertauschbarkeitslemma von H. A. Schwarz)

Seien m \in \mathbb{N} und f(x, y): \Omega \to \mathbb{R}^m eine Funktion auf der offenen Menge \Omega \in \mathbb{R}^2, deren partielle Ableitungen fx,fy und fxy stetig in Ω sind. Dann existiert auch fyz in Ω und es gilt
fxy = fyz für alle (x, y) \in \Omega.

[Bearbeiten] Definition 2

Die Dimensionen m, n \in \mathbb{N} und die offene Menge \Omega \subset \mathbb{R}^n seien gewählt. Dann erklären wir die Menge aller Funktionen
y = f(x) = (f_1(x_1, \ldots, x_n), \ldots, f_m(x_1, \ldots, x_n)): \Omega \to \mathbb{R}^m,
deren partielle Ableitungen bis zur Ordnung k \in \mathbb{N} einschließlich existieren und in Ω stetige Funktionen darstellen, als den Vektorraum der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen C^k(\Omega, \mathbb{R}^m). Wir schreiben
C^k(\Omega) := C^k(\Omega, \mathbb{R}) und C^k(\Omega, \mathbb{C}) := C^k(\Omega, \mathbb{R}^2).
Wir nennen f \in C^k(\Omega, \mathbb{R}^m) eine k-mal stetig partiell differenzierbare Funktion in Ω. Mit
C^\infty(\Omega, \mathbb{R}^m) := \bigcap^\infty_{k = 1} C^k(\Omega, \mathbb{R}^m)
bezeichnen wir den Vektorraum der beliebig oft stetig partiell differenzierbaren Funktionen auf Ω.

[Bearbeiten] Bemerkung

Seien f, g \in C^k(\Omega, \mathbb{R}^m) zu k \in \mathbb{N}_0 \cup \{\infty\} zwei Funktionen und a eine reelle Zahl. Mit den Verknüpfungen

(f + g)(x) := f(x) + g(x), x \in \Omega und (a \cdot f)(x) := a \cdot f(x), x \in \Omega

wird C^k(\Omega, \mathbb{R}^m) zu einem Vektorraum.

[Bearbeiten] Satz 4

Sei die Funktion f = f(x_1, \ldots, x_n) \in C^\alpha(\Omega, \mathbb{R}^m) mit 2 \le \alpha \in \mathbb{N} gegeben. Weiter sei (i_1, \ldots, i_\alpha) ein System natürlicher Zahlen mit 1 \le i_l \le n für l = 1, \ldots, \alpha und (j_1, \ldots, j_\alpha) eine Permutation von (i_1, \ldots, i_\alpha). Dann gilt
\frac{\partial^\alpha f(x)}{\partial x_{i_\alpha} \ldots \partial x_{i_1}} = \frac{\partial^\alpha f(x)}{\partial x_{j_\alpha} \ldots \partial x_{j_1}} für alle x \in \Omega.

[Bearbeiten] Beweis

Jede Permutation lässt sich durch endlich viele Vertauschungen benachbarter Paare darstellen. Damit wird der Beweis auf Satz 3 zurückgeführt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 3

Für eine reellwertige Funktion f \in C^1(\Omega) versteht man unter ihrem Differential df = df(x0,h) an der Stelle x = x^0 \in \Omega die Linearform
(4) df(x^0, h) := \sum^n_{\alpha = 1} f_{x_\alpha}(x^0) h_\alpha, \quad h = (h_1, \ldots, h_n).

[Bearbeiten] Bemerkung

Der Mittelwertsatz aus §1, Satz 2 erscheint nun in der Form

f(x') − f(x'') = df(z,x' − x'') mit z \in \stackrel{\circ}{\sigma}(x', x'') \subset \Omega.

[Bearbeiten] Definition 4

Auf der offenen Menge \Omega \subset \mathbb{R}^n sei die Funktion f \in C^k(\Omega) gegeben. Dann erklären wir das Differential der Ordnung k von f als folgende k-Form:
(5) \begin{matrix} d^kf(x, h) := \left( \sum\limits^n_{\alpha = 1} h_\alpha \frac{\partial}{\partial x_\alpha} \right)^k f(x) \\ = \sum\limits^n_{\alpha_1, \ldots, \alpha_k = 1} h_\alpha \frac{\partial^k f(x)}{\partial x_{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot \partial x_{\alpha_k}} h_{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot h_{\alpha_k}, \quad h = (h_1, \ldots, h_n) \in \mathbb{R}^n. \end{matrix}

[Bearbeiten] Beispiel 2

Seien y = f(x1,x2) und h = (h_1, h_2) \in \mathbb{R}^2 gewählt, so gilt für das Differential erster Ordnung

df(x, h) = f_{x_1}(x)h_1 + f_{x_2}(x)h_2

und für das Differential zweiter Ordnung

d^2f(x, h) = \left( h_1 \frac{\partial}{\partial x_1} + h_2 \frac{\partial}{\partial x_2} \right)^2 f(x, h) = f_{x_1 x_1}(x) h_1^2 + 2f_{x_1x_2}(x) h_1h_2 + f_{x_2x_2}(x) h_2^2.

[Bearbeiten] Definition 5

Seien m, n \in \mathbb{N} sowie k \in \mathbb{N} und die offene Menge \Omega \subset \mathbb{R}^n gegeben. Dann gehört die Funktion f \in C^k(\Omega, \mathbb{R}^m) zur Klasse f \in C^k(\overline{\Omega}, \mathbb{R}^m), falls f und alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung k einschließlich zu stetigen Funktionen auf die Menge \overline{\Omega} fortgesetzt werden können. So erhalten wir den Vektorraum C^k(\overline{\Omega}, \mathbb{R}^m) der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf der abgeschlossenen Menge \overline{\Omega}. Ferner setzen wir
C^\infty(\overline{\Omega}, \mathbb{R}^m) := \bigcap^\infty_{k = 1} C^k(\overline{\Omega}, \mathbb{R}^m)
für den Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf \overline{\Omega}.
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