Kurs:Analysis II/Kapitel IV: Partielle Differentiation für Funktionen mehrerer Veränderlicher/Partielle Ableitungen höherer Ordnung (§2)

Definition 1

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und $y=f(x):\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ eine Funktion, deren partielle Ableitung

${\frac {\partial f}{\partial x_{i_{1}}}}=f_{x_{i_{1}}}:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$

existiere. Außerdem existieren sukzessiv

${\frac {\partial f}{\partial x_{i_{1}}}}=f_{x_{i_{1}}}:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$

überall in $\Omega$. Dann heißt

${\frac {\partial f_{x_{i_{1}}}}{\partial x_{i_{2}}}}=f_{x_{i_{1}}x_{i_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial f_{x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{\alpha -1}}}}{\partial x_{i_{\alpha }}}}=f_{x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{\alpha }}}$

die partielle Ableitung von $f$ der Ordnung $\alpha$ nach den Variablen $x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{\alpha }}$. Dabei sind $\alpha \in \mathbb {N}$ und $i_{1},\ldots ,i_{\alpha }\in \{1,\ldots ,n\}$ gewählt worden.

Satz 1

Auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ sei die Funktion $f(x,y):\Omega \to \mathbb {R}$ erklärt. Weiter existieren die partiellen Ableitungen $f_{x}(x,y)$ und $f_{xy}(x,y)$ in $\Omega$. Außerdem sei $f_{xy}(x,y)$ an der Stelle $(x_{0},y_{0})\in \Omega$ stetig. Dann gilt

$f_{xy}(x_{0},y_{0})=\lim _{x\to x_{0},y\to y_{0} \atop x\neq x_{0},y\neq y_{0}}\Phi (x,y;x_{0},y_{0})$

mit der Hilfsfunktion

$\Phi (x,y;x_{0},y_{0}):={\frac {f(x,y)-f(x_{0},y)-f(x,y_{0})+f(x_{0},y_{0})}{(x-x_{0})(y-y_{0})}}$

für $(x,y)\in \Omega$ mit $x\neq x_{0}$ und $y\neq y_{0}$.

Beweis

Wegen ihrer Offenheit gibt es ein $\delta >0$, so dass die Kreisscheibe

$K_{\delta }(x_{0},y_{0}):=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}<\delta ^{2}\}$

in $\Omega$ liegt. Sei nun $(x,y)$ ein beliebiger Punkt aus $K_{\delta }(x_{0},y_{0})$ mit $x\neq x_{0}$ und $y\neq y_{0}$. Dann können wir

$\Phi (x,y;x_{0},y_{0})={\frac {(f(x,y)-f(x,y_{0}))-(f(x_{0},y)-f(x_{0},y_{0}))}{(x-x_{0})(y-y_{0})}}$

mit Hilfe der Funktion $\phi (t):=f(t,y)-f(t,y_{0})$ im Intervall

$I:=[\min\{x_{0},x\},\max\{x_{0},x\}]$

wie folgt darstellen:

(1) $\Phi (x,y;x_{0},y_{0})={\frac {\phi (x)-\phi (x_{0})}{(x-x_{0})(y-y_{0})}}$.

Da $f_{x}$ in $\Omega$ existiert, ist $\phi (t)$ in $I$ stetig und im Innern von $I$ differenzierbar. Damit kann man den Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden und erhält mit einem $\xi \in {\stackrel {\circ }{I}}$ (d. h. $|\xi -x_{0}|<|x-x_{0}|$) aus (1) die Beziehung

(2) $\Phi (x,y;x_{0},y_{0})={\frac {\phi _{x}(\xi )}{y-y_{0}}}={\frac {f_{x}(\xi ,y)-f_{x}(\xi ,y_{0})}{y-y_{0}}}$.

Eine nochmalige Anwendung des Mittelwertsatzes auf die im Intervall

$J:=[\min\{y_{0},y\},\max\{y_{0},y\}]$

stetige und in ${\stackrel {\circ }{J}}$ differenzierbare Funktion $\Psi (t):=f_{x}(\xi ,t)$ liefert

$\Phi (x,y;x_{0},y_{0})={\frac {\Psi (y)-\Psi (y_{0})}{y-y_{0}}}=\Psi '(\eta )=f_{xy}(\xi ,\eta )$

mit einem $\eta \in {\stackrel {\circ }{J}}$ (d. h. $|\eta -y_{0}|<|y-y_{0}|$). Da der Punkt $(x,y)$ beliebig gewählt war, gibt es also zu jedem $(x,y)\in K_{\delta }(x_{0},y_{0})$ mit $x\neq x_{0}$ und $y\neq y_{0}$ einen Punkt $(\xi ,\eta )$ mit $|\xi -x_{0}|<|x-x_{0}|$ und $|\eta -y_{0}|<|y-y_{0}|$, so dass

(3) $\Phi (x,y;x_{0},y_{0})=f_{xy}(\xi ,\eta )$

erfüllt ist. Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von $f_{xy}$ im Punkt $(x_{0},y_{0})$ folgt aus (3) die Relation

$f_{xy}(x_{0},y_{0})=\lim _{x\to x_{0},x\neq x_{0} \atop y\to y_{0},y\neq y_{0}}\Phi (x,y;x_{0},y_{0})$.

q.e.d.

Satz 2

Auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ sei die Funktion $f(x,y):\Omega \to \mathbb {R}$ erklärt. Weiter existieren die partiellen Ableitungen $f_{x},f_{y}$ und $f_{xy}$ in $\Omega$, wobei $f_{xy}$ an der Stelle $(x_{0},y_{0})\in \Omega$ stetig ist. Dann existiert auch $f_{yx}$ im Punkt $(x_{0},y_{0})$ und es gilt

$f_{xy}(x_{0},y_{0})=f_{yx}(x_{0},y_{0})$.

Beweis

Da die Voraussetzungen des Satzes 1 erfüllt sind, sehen wir ein:

$f_{xy}(x_{0},y_{0})=\lim _{x\to x_{0},x\neq x_{0} \atop y\to y_{0},y\neq y_{0}}\Phi (x,y;x_{0},y_{0})=\lim _{x\to x_{0},x\neq x_{0}}\left(\lim _{y\to y_{0},y\neq y_{0}}\Phi (x,y;x_{0},y_{0})\right)$

$=\lim _{x\to x_{0},x\neq x_{0}}{\frac {f_{y}(x,y_{0})-f_{y}(x_{0},y_{0})}{x-x_{0}}}=f_{yx}(x_{0},y_{0})$.

q.e.d.

Beispiel 1

Für die Funktion

$f(x,y):=xy\cdot {\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}$ falls $(x,y)\neq (0,0)$ und $f(0,0):=0$

verwenden wir universelle Polarkoordinaten $x=r\cos \phi ,y=r\sin \phi$ mit $0<r<+\infty$ und $-\infty <\phi <+\infty$. Dann ergibt sich

$f(x,y)=xy\cdot {\frac {r^{2}\cos ^{2}\phi -r^{2}\sin ^{2}\phi }{r^{2}}}=xy\cdot \cos\{2\phi (x,y)\}$ falls $(x,y)\neq (0,0)$.

Wir betrachten nun

$\nabla \phi (x,y)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\Bigl (}-\sin \phi (x,y),\cos \phi (x,y){\Bigr )}$

und berechnen in $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ ihre ersten partiellen Ableitungen

$f_{x}(x,y)=y\cdot \cos\{2\phi (x,y)\}+{\frac {2xy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\cdot \sin\{2\phi (x,y)\}\sin \phi (x,y)$

sowie

$f_{y}(x,y)=x\cdot \cos\{2\phi (x,y)\}-{\frac {2xy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\cdot \sin\{2\phi (x,y)\}\cos \phi (x,y)$.

Hieraus ersehen wir $f\in C^{1}(\mathbb {R} ^{2})$ mit $\nabla f(0,0)=(0,0)$ und wir spezialisieren

$f_{x}(x,y)=y\cdot \cos\{2\phi (x,y)\}=-y$ falls $y\neq 0$

sowie

$f_{y}(x,y)=x\cdot \cos\{2\phi (x,y)\}=x$ falls $x\neq 0$.

Wir erhalten damit, dass die gemischten Ableitungen

$f_{xy}(0,0)=-1\neq 1=f_{yx}(0,0)$

nicht übereinstimmen. Folglich muss die gemischte Ableitung $f_{xy}$ im Nullpunkt stetig sein!

Satz 3 (Vertauschbarkeitslemma von H. A. Schwarz)

Seien $m\in \mathbb {N}$ und $f(x,y):\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ eine Funktion auf der offenen Menge $\Omega \in \mathbb {R} ^{2}$, deren partielle Ableitungen $f_{x},f_{y}$ und $f_{xy}$ stetig in $\Omega$ sind. Dann existiert auch $f_{yz}$ in $\Omega$ und es gilt

$f_{xy}=f_{yz}$ für alle $(x,y)\in \Omega$.

Definition 2

Die Dimensionen $m,n\in \mathbb {N}$ und die offene Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ seien gewählt. Dann erklären wir die Menge aller Funktionen

$y=f(x)=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})):\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$,

deren partielle Ableitungen bis zur Ordnung $k\in \mathbb {N}$ einschließlich existieren und in $\Omega$ stetige Funktionen darstellen, als den Vektorraum der $k$-mal stetig differenzierbaren Funktionen $C^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$. Wir schreiben

$C^{k}(\Omega ):=C^{k}(\Omega ,\mathbb {R} )$ und $C^{k}(\Omega ,\mathbb {C} ):=C^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{2})$.

Wir nennen $f\in C^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ eine $k$-mal stetig partiell differenzierbare Funktion in $\Omega$. Mit

$C^{\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{m}):=\bigcap _{k=1}^{\infty }C^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$

bezeichnen wir den Vektorraum der beliebig oft stetig partiell differenzierbaren Funktionen auf $\Omega$.

Bemerkung

Seien $f,g\in C^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ zu $k\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$ zwei Funktionen und $a$ eine reelle Zahl. Mit den Verknüpfungen

$(f+g)(x):=f(x)+g(x),x\in \Omega$ und $(a\cdot f)(x):=a\cdot f(x),x\in \Omega$

wird $C^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ zu einem Vektorraum.

Satz 4

Sei die Funktion $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in C^{\alpha }(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ mit $2\leq \alpha \in \mathbb {N}$ gegeben. Weiter sei $(i_{1},\ldots ,i_{\alpha })$ ein System natürlicher Zahlen mit $1\leq i_{l}\leq n$ für $l=1,\ldots ,\alpha$ und $(j_{1},\ldots ,j_{\alpha })$ eine Permutation von $(i_{1},\ldots ,i_{\alpha })$. Dann gilt

${\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\partial x_{i_{\alpha }}\ldots \partial x_{i_{1}}}}={\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\partial x_{j_{\alpha }}\ldots \partial x_{j_{1}}}}$ für alle $x\in \Omega$.

Beweis

Jede Permutation lässt sich durch endlich viele Vertauschungen benachbarter Paare darstellen. Damit wird der Beweis auf Satz 3 zurückgeführt.

q.e.d.

Definition 3

Für eine reellwertige Funktion $f\in C^{1}(\Omega )$ versteht man unter ihrem Differential $df=df(x^{0},h)$ an der Stelle $x=x^{0}\in \Omega$ die Linearform

(4) $df(x^{0},h):=\sum _{\alpha =1}^{n}f_{x_{\alpha }}(x^{0})h_{\alpha },\quad h=(h_{1},\ldots ,h_{n})$.

Bemerkung

Der Mittelwertsatz aus §1, Satz 2 erscheint nun in der Form

$f(x')-f(x'')=df(z,x'-x'')$ mit $z\in {\stackrel {\circ }{\sigma }}(x',x'')\subset \Omega$.

Definition 4

Auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ sei die Funktion $f\in C^{k}(\Omega )$ gegeben. Dann erklären wir das Differential der Ordnung $k$ von $f$ als folgende $k$-Form:

(5) ${\begin{matrix}d^{k}f(x,h):=\left(\sum \limits _{\alpha =1}^{n}h_{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\right)^{k}f(x)\\=\sum \limits _{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}=1}^{n}h_{\alpha }{\frac {\partial ^{k}f(x)}{\partial x_{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot \partial x_{\alpha _{k}}}}h_{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot h_{\alpha _{k}},\quad h=(h_{1},\ldots ,h_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.\end{matrix}}$

Beispiel 2

Seien $y=f(x_{1},x_{2})$ und $h=(h_{1},h_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ gewählt, so gilt für das Differential erster Ordnung

$df(x,h)=f_{x_{1}}(x)h_{1}+f_{x_{2}}(x)h_{2}$

und für das Differential zweiter Ordnung

$d^{2}f(x,h)=\left(h_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+h_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right)^{2}f(x,h)=f_{x_{1}x_{1}}(x)h_{1}^{2}+2f_{x_{1}x_{2}}(x)h_{1}h_{2}+f_{x_{2}x_{2}}(x)h_{2}^{2}$.

Definition 5

Seien $m,n\in \mathbb {N}$ sowie $k\in \mathbb {N}$ und die offene Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Dann gehört die Funktion $f\in C^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ zur Klasse $f\in C^{k}({\overline {\Omega }},\mathbb {R} ^{m})$, falls $f$ und alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung $k$ einschließlich zu stetigen Funktionen auf die Menge ${\overline {\Omega }}$ fortgesetzt werden können. So erhalten wir den Vektorraum $C^{k}({\overline {\Omega }},\mathbb {R} ^{m})$ der $k$-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf der abgeschlossenen Menge ${\overline {\Omega }}$. Ferner setzen wir

$C^{\infty }({\overline {\Omega }},\mathbb {R} ^{m}):=\bigcap _{k=1}^{\infty }C^{k}({\overline {\Omega }},\mathbb {R} ^{m})$

für den Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf ${\overline {\Omega }}$.