Kurs:Analysis II/Kapitel IV: Partielle Differentiation für Funktionen mehrerer Veränderlicher/Taylorsche Formel im R^n und Extremwertaufgaben (§3)

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[Bearbeiten] Satz 1 (Taylorsche Formel in mehreren Variablen)

Seien die Dimensionen $m, n \in \mathbb{N}$ und die offene Menge $Ω$ im $\mathbb{R}^n$ gewählt. Es seien $x$ und $y$ zwei feste Punkte aus $Ω$ , so dass die Verbindungsgerade $σ(x, y)$ – auch Segment genannt – die Inklusion

$\sigma(x, y) := \{z = x + t(y - x) \in \mathbb{R}^n | 0 \le t \le 1\} \subset \Omega$

erfüllt.Weiter sei die reellwertige Funktion in der Klasse $f(x) \in C^m(\Omega)$ gegeben. Unter Verwendung der Differentiale aus §2 haben wir dann die Darstellung

(1) $f(y) - f(x) = \sum^{m - 1}_{k = 1} \frac{1}{k!} d^k f(x, y - x) + \frac{1}{m!} d^m f(z, y - x)$

mit einem Punkt $z \in \stackrel{\circ}{\sigma} := \sigma(x, y) \setminus \{x, y\}$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wir betrachten die Funktion $g(t) := f(x + t(y - x)), t \in [0, 1]$ der Klasse $C m ([0,1])$ . Mit Hilfe der Kettenregel erhält man

(2) $\begin{matrix} g'(t) = \sum^n_{\alpha = 1} f_{x_\alpha}(x + t(y - x)) \cdot (y_\alpha - x_\alpha) \\ = \left( \sum^n_{\alpha = 1} (y_\alpha - x_\alpha) \frac{\partial}{\partial x_\alpha} \right) f(x + t(y - x)) \end{matrix}$ ,

woraus sich wegen Formel (4) aus §2

(3)

g'(t) = d f (x + t (y - x), y - x)

ergibt. Durch wiederholte Differentiation findet man

(4) $g^{(k)}(t) = \left( \sum^n_{\alpha = 1} (y_\alpha - x_\alpha) \frac{\partial}{\partial x_\alpha} \right)^k f(x + t(y - x)) = d^kf(x + t(y - x), y - x)$

für $k = 1, 2, \ldots, m$ . Die eindimensionale Taylorsche Formel aus Satz 1 von §6 in Kapitel II liefert die Identität

(5) $\begin{matrix} f(y) - f(x) = g(1) - g(0) = \sum^{m - 1}_{k = 1} \frac{1}{k!} g^{(k)}(0) + \frac{1}{m!} g^{(m)}(\theta) \\ = \sum^{m - 1}_{k = 1} \frac{1}{k!} d^kf(x, y - x) + \frac{1}{m!} d^mf(z, y - x). \end{matrix}$

Dabei wurde $\theta \in (0, 1)$ gewählt und $z := x + \theta(y - x) \in \stackrel{\circ}{\sigma}(x, y)$ gesetzt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 1

Sei auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ die Funktion $f(x): \Omega \to \mathbb{R}$ erklärt. Dann hat $f$ ein absolutes oder auch globales Maximum bzw. Minimum im Punkt $x = a \in \Omega$ , wenn die Ungleichung

$f(x) \le f(a)$ bzw. $f(x) \ge f(a)$ für alle $x \in \Omega$

gilt.

Die Funktion $f$ hat ein – schwaches – relatives oder auch lokales Maximum bzw. Minimum an der Stelle $x = a$ , wenn es eine Kugel

$K_\varepsilon(a) := \{x \in \mathbb{R}^n: |x - a| < \varepsilon\} \subset \Omega$

vom hinreichend kleinen Radius $\varepsilon > 0$ so gibt, dass die Ungleichung

$f(x) \le f(a)$ bzw. $f(x) \ge f(a)$ für alle $x \in K_\varepsilon(a)$

erfüllt ist.

Die Funktion $f$ hat ein striktes relatives oder auch lokales Maximum bzw. Minimum an der Stelle $x = a$ , wenn es eine Kugel $K_\varepsilon(a) \subset \Omega$ vom Radius $\varepsilon > 0$ so gibt, dass die Ungleichung

$f (x) < f (a)$ bzw. $f (x) > f (a)$ für alle $x \in K_\varepsilon(a)$ mit $x \neq a$

richtig ist.

Wir sprechen von einem Extremum, wenn wir sowohl ein Maximum als auch ein Minimum zulassen.

[Bearbeiten] Satz 2 (Notwendige Bedingung erster Ordnung)

Die stetige Funktion $f(x): \Omega \to \mathbb{R}$ auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ besitze an der Stelle $x = a \in \Omega$ ein relatives Maximum oder Minimum – also ein Extremum. Außerdem existieren die ersten partiellen Ableitungen $f_{x_i}(a)$ für $i = 1, 2, \ldots, n$ . Dann gilt die Beziehung

(6) $f_{x_i}(a) = 0$ für $i = 1, 2, \ldots, n$ , das heißt $\nabla f(a) = 0$ .

[Bearbeiten] Beweis

Da die offene Menge $Ω$ den Punkt $a$ enthält, gibt es eine Kugel $K_\rho(a) \subset \Omega$ von hinreichend großem Radius $ρ > 0$ . Wir betrachten nun die Funktion

$\varphi(t) := f(a_1, \ldots, a_{i - 1}, t, a_{i + 1}, \ldots, a_n), \quad t \in (a_i - \rho, a_i + \rho)$ ,

die an der Stelle $t = a i$ ein Extremum hat. Weiter existiert $\varphi'(a_i)$ und wie im Beweis des Rolleschen Satzes aus §3 in Kapitel II zeigen wir

$0 = \varphi'(a_i) = f_{x_i}(a)$ für $i = 1, \ldots, n$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 2

In der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ nennen wir $a \in \Omega$ einen kritischen Punkt der Funktion $f \in C^1(\Omega)$ , falls $\nabla f(a) = 0$ erfüllt ist.

[Bearbeiten] Satz 3 (Notwendige Bedingung zweiter Ordnung)

Die Funktion $f(x): \Omega \to \mathbb{R}$ auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ gehöre zur Klasse $C 2 (Ω)$ und besitze an der Stelle $x = a \in \Omega$ ein relatives Minimum. Dann gilt

$\sum^n_{i, j = 1} f_{x_i x_j}(a) \xi_i \xi_j \ge 0$ für alle $\xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n) \in \mathbb{R}^n$ .

[Bearbeiten] Beweis

Es sei $\xi \in \mathbb{R}^n$ beliebig gewählt. Dann liegt für ein hinreichend kleines $t > 0$ die Strecke $σ(a, a + t ξ)$ in $Ω$ . Die Taylorsche Formel liefert

$f(a + t\xi) - f(a) = df(a, t\xi) + \frac{1}{2} d^2 f(a + \tau \xi, t\xi)$

mit einem geeigneten $\tau = \tau(\xi) \in (0, t)$ . Da an der Stelle $x = a$ ein relatives Minimum vorliegt folgt $d f (a, t ξ) = 0$ . Ferner ist für alle hinreichend kleinen $t > 0$ die Ungleichung $f(a + t\xi) - f(a) \ge 0$ erfüllt. Damit folgt

$0 \le \frac{1}{2} d^2 f(a + \tau \xi, t\xi) = \frac{t^2}{2} \sum^n_{i, j = 1} f_{x_i x_j}(a + \tau \xi) \xi_i \xi_j$ .

Für $t \to 0+$ folgt $\tau \to 0+$ und wegen $f \in C^2(\Omega)$ erhalten wir die Behauptung

$\sum^n_{i, j = 1} f_{x_i x_j}(a) \xi_i \xi_j \ge 0$ für alle $\xi \in \mathbb{R}^n$ .

[Bearbeiten] Satz 4 (Hinreichende Bedingung zweiter Ordnung)

Sei die Funktion $f = f(x): \Omega \to \mathbb{R} \in C^2(\Omega)$ auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ gegeben. Weiter sei $a \in \Omega$ ein Punkt, welcher $f_{x_i}(a) = 0$ für $i = 1, 2, \ldots, n$ sowie

$\sum^n_{i, j = 1} f_{x_i x_j}(a) \xi_i \xi_j > 0$ für alle $\xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n) \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$

erfüllt. Dann besitzt $f$ an der Stelle $x = a$ ein striktes relatives Minimum.

[Bearbeiten] Beweis

Nach Voraussetzung gilt

(7) $\sum^n_{i, j = 1} f_{x_i x_j}(a) \xi_i \xi_j > 0$ für alle $\xi \in S$

auf der kompakten Einheitssphäre $S := \{\xi \in \mathbb{R}^n: |\xi| = 1\}$ . Nun ist die quadratische Form aus (7) als Funktion von $ξ$ stetig auf $S$ und nach Satz 8 aus §1 in Kapitel II gibt es eine Zahl $α > 0$ , so dass

(8) $\sum^n_{i, j = 1} f_{x_i x_j}(a) \xi_i \xi_j \ge \alpha$ für alle $\xi \in S$

ausfällt. Wegen $f \in C^2(\Omega)$ gibt es eine hinreichend kleine Zahl $\varepsilon > 0$ , so dass die Ungleichung

(9) $\sum^n_{i, j = 1} f_{x_i x_j}(x) \xi_i \xi_j \ge \frac{\alpha}{2} > 0$ für alle $\xi \in S$ und alle $x \in K_\varepsilon(a)$

erfüllt ist. Somit folgt

(10) $\sum^n_{i, j = 1} f_{x_i x_j}(x) \xi_i \xi_j \ge \frac{\alpha}{2} |\xi|^2$ für alle $\xi \in \mathbb{R}^n$ und alle $x \in K_\varepsilon(a) \subset \Omega$ .

Die Taylorsche Formel liefert für beliebiges $y \in K_\varepsilon(a )$ die Identität

$f(y) - f(a) = df(a, y - a) + \frac{1}{2} d^2(z, y - a)$ ,

wobei $z$ auf der Verbindungsstrecke $\stackrel{\circ}{\sigma}(a, y) \subset K_\varepsilon(a)$ liegt. Beachten wir $d f (a, y - a) = 0$ , so folgt mit (10) die Ungleichung

(11) $f(y) - f(a) = \frac{1}{2} d^2(z, y - a) = \frac{1}{2} \sum^n_{i, j = 1} f_{x_i x_j}(z) (y_i - a_i) (y_j - a_j) \ge \frac{\alpha}{4} |y - a|^2$ .

Wir erhalten

(12)

f (y) > f (a)

für alle $y \neq a$ mit $|y - a| \le \varepsilon$ .

Somit nimmt $f$ im Punkt $a$ ein striktes relatives Minimum an.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 3

Sei $f = f(x): \Omega \to \mathbb{R} \in C^2(\Omega)$ eine Funktion auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ und sei ein Punkt $a \in \Omega$ gewählt. Dann nennen wir

$\mathbf{H} f(a) := \Bigl( f_{x_ix_j}(a) \Bigr)_{i, j = 1, \ldots, n} = \begin{pmatrix} f_{x_1x_1}(a) & \cdots & f_{x_1x_n}(a) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{x_nx_1}(a) & \cdots & f_{x_nx_n}(a) \end{pmatrix}$

die Hessesche Matrix von $f$ an der Stelle $a$ . Ihr ist die Hessesche quadratische Form

$q(\xi) = \sum^n_{i, j = 1} f_{x_i x_j}(a) \xi_i \xi_j, \quad \xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n) \in \mathbb{R}^n$

zugeordnet.

[Bearbeiten] Definition 4

Wir nennen die quadratische Form $q$ positiv-definit, falls $q (ξ) > 0$ für alle $\xi \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ gilt – und positiv-semidefinit, falls $q(\xi) \ge 0$ für alle $\xi \in \mathbb{R}^n$ richtig ist.

Entsprechen heißt die quadratische Form $q$ negativ-definit, falls $q (ξ) < 0$ für alle $\xi \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ gilt – und negativ-semidefinit, falls $q(\xi) \le 0$ für alle $\xi \in \mathbb{R}^n$ richtig ist.

Die quadratische Form $q$ wird indefinit genannt, falls es Punkte $\xi, \eta \in \mathbb{R}^n$ gibt, für die $q (ξ) > 0$ bzw. $q (η) < 0$ richtig ist.

[Bearbeiten] Bemerkungen

1. Als notwendige Bedingung für ein relatives Minimum im Punkt $a$ haben wir in Satz 3 hergeleitet, dass die Hessesche Form im kritischen Punkt $a$ positiv-semidefinit sein muss.
2. Im Satz 4 haben wir gezeigt, dass eine hinreichende Bedingung für ein relatives Minimum eine positiv-definite Hessesche Form im kritischen Punkt $a$ ist.
3. Durch den Übergang von $f$ zu $- f$ erhalten wir Kriterien für relative Maxima von Funktionen.
4. Die Hessesche Form erlaubt nur die Kontrolle relativer aber nicht absoluter Extrema.
5. Die Voraussetzung

$\sum^n_{i, j = 1} f_{x_ix_j}(a) \xi_i \xi_j > 0$ für alle $\xi \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$

in Satz 4 lässt sich nicht durch die schwächere Voraussetzung

$\sum^n_{i, j = 1} f_{x_ix_j}(a) \xi_i \xi_j \ge 0$ für alle $\xi \in \mathbb{R}^n$

ersetzen. Hierzu betrachten wir die Funktion $f(x) = x^3, x \in \mathbb{R}$ , die eine solche schwächere Voraussetzung für $a = 0$ erfüllt – dort jedoch kein relatives Minimum besitzt.
6. Andererseits ist die Behauptung in Satz 3 nicht durch die stärkere Aussage

$\sum^n_{i, j = 1} f_{x_ix_j}(a) \xi_i \xi_j > 0$ für alle $\xi \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$

ersetzbar, wie man mit Hilfe der Funktion $f(x) = x^4, x \in \mathbb{R}$ an der Stelle $a = 0$ einsehen kann.

[Bearbeiten] Satz 5

Auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ sei die Funktion $f \in C^2(\Omega)$ gegeben mit dem kritischen Punkt $a \in \Omega$ . Weiter sei die Hessesche Matrix $\mathbf{H} f(a)$ mit der zugeordneten quadratischen Form $q (ξ)$ indefinit. Dann nimmt $f$ im Punkt $a$ weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum an.

[Bearbeiten] Beweis

Da $q$ indefinit ist, können wir mit den Überlegungen des Beweises von Satz 4 in jeder Umgebung von $a$ Punkte $x +$ und $x -$ mit der Eigenschaft $f (x -) < f (a) < f (x +)$ finden.

[Bearbeiten] Bemerkungen

1. Die in Satz 5 betrachteten kritischen Punkte $a \in \Omega$ heißen Sattelpunkte.
2. Die Hessesche Matrix

$\mathbf{H}f(a) = \Bigl( f_{x_ix_j}(a) \Bigr)_{i, j = 1, \ldots, n}$

ist genau dann positiv-definit bzw. positiv-semidefinit, falls ihre Hauptminoren

$\mathbf{S}_k = \Bigl( f_{x_ix_j}(a) \Bigr)_{i, j = 1, \ldots, k}$

für $k = 1, \ldots, n$ die Bedingungen $\det \mathbf{S}_k > 0$ bzw. $\det \mathbf{S}_k \ge 0$ erfüllen. Dieses Kriterium von A. Hurwitz können wir mit der Hauptachsentransformation symmetrischer, reeller Matrizen sofort einsehen.
3. Als Spezialfall ergibt sich: Die Hessesche Matrix

$\mathbf{H}f(a) = \begin{pmatrix} f_{xx}(a) & f_{xy}(a) \\ f_{yx}(a) & f_{yy}(a) \end{pmatrix}$

ist positiv-definit genau dann, wenn die Bedingung

(13) $f_{xx}(a) > 0 \quad \wedge \quad f_{xx}(a) \cdot f_{yy}(a) - f_{xy}^2(a) > 0$

erfüllt ist.

[Bearbeiten] Beispiel 1

Wir untersuchen nun Funktionen $f_j: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{}$ für $j = 1, \ldots, 4$ mit ihren kritischen Punkten.

1. Die Funktion $f 1 (x, y) = x 2 + y 2$ hat als einzigen kritischen Punkt den Nullpunkt als ein lokales Minimum, da aus $(0, 0) = \nabla f(x, y) = (2x, 2y)$ dann $(x, y) = (0,0)$ folgt und die Matrix

$\mathbf{H}f(0, 0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

positiv-definit ist.
2. Die Funktion $f 2 (x, y) = - x 2 - y 2$ hat im Nullpunkt als einzigen kritischen Punkt ein lokales Maximum. Aus $\nabla f(x, y) = (0, 0)$ folgt wegen $\nabla f(x, y) = (- 2x, - 2y)$ die Bedingung $(x, y) = (0,0)$ . Außerdem ist die Matrix

$\mathbf{H}f(0, 0) = \begin{pmatrix} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{pmatrix}$

negativ-definit.
3. Die Funktion $f 3 (x, y) = x 2 - y 2$ besitzt als einzigen kritischen Punkt im Nullpunkt einen Sattelpunkt. Aus der notwendigen Bedingung $\nabla f(x, y) = (0, 0)$ folgt $(x, y) = (0,0)$ und die Matrix

$\mathbf{H}f(0, 0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{pmatrix}$

ist indefinit.
4. Die Funktion $f 1 (x, y) = x 2 + y 4$ erfüllt im Nullpunkt $(x, y) = (0,0)$ die notwendige Bedingung $\nabla f(x, y) = (0, 0)$ , jedoch ist die Hessesche Matrix

$\mathbf{H}f(0, 0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

positiv-semidefinit. Obwohl über die Hessesche Matrix keine generellen Aussagen möglich sind, hat die Funktion $f 4$ im Nullpunkt ein striktes lokales Minimum.

[Bearbeiten] Definition 5

Sei $A = (a_{ij})_{i, j = 1, 2, \ldots, n}$ eine reelle $n \times n$ -Matrix und $λ$ eine reelle Zahl. Dann nennen wir $λ$ einen Eigenwert der Matrix $A$ , wenn es einen Vektor $\xi \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ mit der Eigenschaft $A \circ \xi = \lambda \xi$ gibt. Der Vektor $\xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n)^*$ heißt Eigenvektor zum Eigenwert $λ$ .

Das Extremalverhalten der Funktion $f \in C^2(\Omega)$ in kritischen Punkten wird besonders einfach überprüfbar, wenn man mittels Hauptachsentransformation dort die Hessesche quadratische Form in die Normalform

(14) $q(\xi) = \lambda_1 \xi^2_1 + \ldots + \lambda_n \xi^2_n, \quad \xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n) \in \mathbb{R}^n$

überführt. Dabei sind $\lambda_j \in \mathbb{R}$ für $j = 1, \ldots, n$ die Eigenwerte der Hesseschen Matrix. Den größten Eigenwert erhalten wir wie folgt durch ein Maximierungsverfahren:

[Bearbeiten] Satz 6 (Existenz des größten Eigenwerts)

Jede reelle, symmetrische Matrix $A = (a_{ij})_{i, j = 1, 2, \ldots, n}$ besitzt einen reellen Eigenwert $λ$ , d. h. es gibt einen Vektor $x \in \mathbb{R}^n$ mit $A \circ x = \lambda x$ und $| x | = 1$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wir betrachten die Funktion

(15) $g(x) := \frac{\sum\limits^n_{i, j = 1} a_{ij}x_i x_j}{\sum\limits^n_{i = 1} x_i^2}, \quad x = (x_1, \ldots, x_n) \in K$

auf der kompakten Kugelschale $K := \{x \in \mathbb{R}^n: \frac{1}{2} \le |x| \le 2\}$ . Nun ist $g (x)$ stetig auf $K$ – und nimmt nach Satz 8 aus §1 in Kapitel II ihr Maximum in einem Punkt $\xi \in K$ an. Dabei kann $| ξ | = 1$ gewählt werden, da die folgende Beziehung gilt:

$g(x) = g \left( \frac{x}{|x|} \right)$ für alle $x \in K$ .

Nach obigem Satz 2 folgt

$g_{x_k}(\xi) = 0$ für $k = 1, 2, \ldots, n$ .

Wir berechnen zunächst

(16) $g(x) := \frac{\left( \sum\limits^n_{i = 1} x_i^2 \right) \cdot \left( \sum\limits^n_{i, j = 1} a_{ij}x_i x_j \right)_{x_k} - \left( \sum\limits^n_{i = 1} x_i^2 \right)_{x_k} \cdot \left( \sum\limits^n_{i, j = 1} a_{ij}x_i x_j \right)}{\left( \sum\limits^n_{i = 1} x_i^2 \right)^2}$

für $k = 1, \ldots, n$ . Dann ermitteln wir

(17) $\left( \sum^n_{i = 1} x_i^2 \right)_{x_k} = 2x_k$

sowie

(18) $\begin{matrix} \left( \sum\limits^n_{i, j = 1} a_{ij}x_i x_j \right)_{x_k} = \sum\limits^n_{i, j = 1} a_{ij} \delta_{ik} x_j + \sum\limits^n_{i, j = 1} a_{ij}x_i \delta_{jk} \\ = \sum\limits^n_{j = 1} a_{kj} x_j + \sum\limits^n_{i = 1} a_{ik} x_i = 2 \cdot \sum\limits^n_{j = 1} a_{kj} x_j. \end{matrix}$

Dabei benutzen wir die Symmetriebedingung

a i j = a j i

für $i, j = 1, \ldots, n$

und verstehen unter

(19) $\delta_{lm} = \left\{ \begin{matrix} 1 \text{ falls } l = m \\ 0 \text{ falls } l \neq m \end{matrix} \right.$ für $1 \le m, l \le n$

das Kronecker-Symbol. Somit ergibt sich

$0 = g_{x_k}(\xi) = \frac{2 \cdot |\xi|^2 \sum\limits^n_{j = 1} a_{kj} \xi_j - 2\xi_k \sum\limits^n_{i, j = 1} a_{ij} \xi_i \xi_j}{|\xi|^4}$ für $k = 1, \ldots, n$

Wegen $| ξ | = 1$ folgt

(20) $\sum^n_{j = 1} a_{kj} \xi_j = g(\xi) \cdot \xi_k$ für $k = 1, 2, \ldots, n$

und schließlich $A \circ \xi = \lambda \xi$ mit $| ξ | = 1$ und dem größten Eigenwert

(21) $\lambda := g(\xi) = \max \{g(x): x \in \mathbb{R}^n \text{ mit } |x| = 1\}$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Bemerkungen

1. Indem wir das obige Maximierungsproblem

(22) $g(x) \to \text{Maximum}, x \in K' := \{x \in K \Bigl| \langle x, \xi \rangle = 0\}$

auf der Ebene senkrecht zum Eigenvektor $ξ$ lösen, erhalten wir den nächst kleineren Eigenwert; dabei bezeichnet $\langle -, - \rangle$ das Skalarprodukt im $\mathbb{R}^n$ . Wir erhalten so für die Matrix $A$ sukzessiv die Eigenwerte

(23) $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \ldots \ge \lambda_n$ .

2. In der Linearen Algebra bestimmt man alle Eigenwerte einer Matrix $A$ , wenn wir mit $E$ die Einheitsmatrix benennen, als Nullstellen des charakteristischen Polynoms

(24) $p(\lambda) := \det \Bigl( A - \lambda E \Bigr), \quad \lambda \in \mathbb{C}$

über den Fundamentalsatz der Algebra. Letzteren hatten wir in §8 von Kapitel III mit einer Extremalmethode bewiesen.
3. Aus der Identität $A \circ \xi = \lambda \xi$ erhalten wir durch Skalarmultiplikation mit dem Einheitsvektor $ξ$ und wegen der Symmetrie der Matrix $A$ den reellen Charakter der Eigenwerte wie folgt:

(25) $\lambda = \langle A \circ \xi, \xi \rangle = \langle \xi, A \circ \xi \rangle \in \mathbb{R}$ .

Kurs:Analysis II/Kapitel IV: Partielle Differentiation für Funktionen mehrerer Veränderlicher/Taylorsche Formel im R^n und Extremwertaufgaben (§3)

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Satz 1 (Taylorsche Formel in mehreren Variablen)

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Definition 1

[Bearbeiten] Satz 2 (Notwendige Bedingung erster Ordnung)

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Definition 2

[Bearbeiten] Satz 3 (Notwendige Bedingung zweiter Ordnung)

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 4 (Hinreichende Bedingung zweiter Ordnung)

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Definition 3

[Bearbeiten] Definition 4

[Bearbeiten] Bemerkungen

[Bearbeiten] Satz 5

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Bemerkungen

[Bearbeiten] Beispiel 1

[Bearbeiten] Definition 5

[Bearbeiten] Satz 6 (Existenz des größten Eigenwerts)

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Bemerkungen

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