Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Ergänzung und Approximation stetiger Funktionen (§7)

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Inhaltsverzeichnis

1 Satz 1 (Tietzescher Ergänzungssatz)
- 1.1 Beweis
- 1.2 Bemerkung
2 Satz 2 (Wärmeleitungskern)
- 2.1 Beweis
3 Satz 3 (Polynomiale Approximation)
- 3.1 Beweis

[Bearbeiten] Satz 1 (Tietzescher Ergänzungssatz)

Sei $K \subset \mathbb{R}^n$ eine kompakte Menge und $f(x) \in C^0(K, \mathbb{C})$ eine auf $K$ stetige Funktion. Dann gibt es eine stetige Erweiterung von $f$ auf den ganzen $\mathbb{R}^n$ , das heißt eine Funktion $g(x) \in C^0(\mathbb{R}^n, \mathbb{C})$ mit der Eigenschaft $f (x) = g (x)$ für alle $x \in K$ .

[Bearbeiten] Beweis

1. Für alle $x \in \mathbb{R}^n$ erklären wir die Funktion $d(x) := \min_{y \in K} |y - x|$ , welche die Distanz eines Punktes $x$ zur Menge $K$ misst. Da $K$ kompakt ist, gibt es zu jedem $x \in \mathbb{R}^n$ ein $\overline{y} \in K$ mit der Eigenschaft $|\overline{y} - x| = d(x)$ . Sind nun $x_1, x_2 \in \mathbb{R}^n$ beliebig gewählt, so folgt $\overline{y}_2 \in K$ mit $|\overline{y}_2 - x_2| = d(x_2)$ die Ungleichung

(1) $d(x_1) - d(x_2) = \inf_{y \in K} \Bigl( |x_1 - y| - |x_2 - \overline{y}_2| \Bigr) \le |x_1 - \overline{y}_2| - |x_2 - \overline{y}_2| \le |x_1 - x_2|$ .

Durch Vertauschen von $x 1$ und $x 2$ erhält man eine analoge Ungleichung und somit

$|d(x_1) - d(x_2)| \le |x_1 - x_2|$ für alle $x_1, x_2 \in \mathbb{R}^n$ .

Insbesondere stellt $d: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ eine stetige Funktion dar.

2. Für $x \notin K$ und $a \in \mathbb{R}^n$ betrachten wir die Funktion

(2) $\varrho(x, a) := \max \left\{ 2 - \frac{|x - a|}{d(x)}, 0 \right\}$ .

Für festes $a$ ist die Funktion $\varrho(x, a)$ auf der Menge $\mathbb{R}^n \setminus K$ nach obigen Betrachtungen stetig. Weiter haben wir die Aussagen

(3) $\begin{matrix} 0 \le \varrho(x, a) \le 2, \\ \\ \varrho(x, a) = 0\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ |a - x| \ge 2d(x), \\ \\ \varrho(x, a) \ge \frac{1}{2}\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ |a - x| \le \frac{3}{2}d(x). \end{matrix}$

3. Sei nun $\left\{ a^{(k)} \right\} \subset K$ eine in $K$ dichte Punktfolge. Da $f(x): K \to \mathbb{C}$ beschränkt ist, konvergieren die Funktionenreihen

(4) $\sum^\infty_{k = 1} 2^{- k} \varrho \left( x, a^{(k)} \right) f \left( a^{(k)} \right)$ und $\sum^\infty_{k = 1} 2^{- k} \varrho \left( x, a^{(k)} \right), \quad x \in \mathbb{R}^n \setminus K$

kompakt gleichmäßig in $\mathbb{R}^n \setminus K$ und stellen dort stetige Funktionen dar. Ferner erhalten wir

(5) $\sum^\infty_{k = 1} 2^{- k} \varrho \left( x, a^{(k)} \right) > 0$ für alle $x \in \mathbb{R}^n \setminus K$ ,

denn zu jedem $x \in \mathbb{R}^n \setminus K$ gibt es mindestens ein $k$ mit $\varrho \left( x, a^{(k)} \right) > 0$ . Somit ist die Funktion

(6) $h(x) := \frac{\sum\limits^\infty_{k = 1} 2^{- k} \varrho \left( x, a^{(k)} \right) f \left( a^{(k)} \right)}{\sum\limits^\infty_{k = 1} 2^{- k} \varrho \left( x, a^{(k)} \right)} = \sum^\infty_{k = 1} \varrho_k(x) f \left( a^{(k)} \right), \quad x \in \mathbb{R}^n \setminus K$

stetig. Hierbei haben wir die folgenden Koeffizientenfunktionen erklärt:

(7) $\varrho_k(x) := \frac{2^{- k} \varrho \left( x, a^{(k)} \right)}{\sum\limits^\infty_{k = 1} 2^{- k} \varrho \left( x, a^{(k)} \right)}\ (k = 1, 2, \ldots)$ mit $\sum^\infty_{k = 1} \varrho_k(x) \equiv 1, x \in \mathbb{R}^n \setminus K$ .

4. Wir erklären nun die Funktion

$g(x) := \left\{ \begin{matrix} f(x), x \in K \\ \\ h(x), x \in \mathbb{R}^n \setminus K \end{matrix} \right.$

und wir haben nur noch die Stetigkeit von $g$ auf $\partial K$ zu zeigen. Für $z \in K$ und $x \notin K$ gilt die Abschätzung

(8) $\begin{matrix} |h(x) - f(z)| = \left| \sum\limits^\infty_{k = 1} \varrho_k(x) \left\{ f \left( a^{(k)} \right) - f(z) \right\} \right| \\ \\ \le \sum\limits_{k: |a^{(k)} - x| \le 2d(x)} \varrho_k(x) \left| f \left( a^{(k)} \right) - f(z) \right| \le \sup\limits_{a \in K: |a - x| \le 2d(x)} |f(a) - f(z)| \\ \\ \le \sup\limits_{a \in K: |a - z| \le 2d(x) + |x - z|} |f(a) - f(z)| \le \sup\limits_{a \in K: |a - z| \le 3|x - z|} |f(a) - f(z)|. \end{matrix}$

Da die Funktion $f: K \to \mathbb{C}$ gleichmäßig stetig ist, folgt

(9) $\lim_{x \to z, x \notin K} h(x) = f(z)$ für $z \in \partial K$ und $x \notin K$ .

[Bearbeiten] Bemerkung

Die in diesem Satz geforderte Kompaktheit der Teilmenge $K$ ist für die Aussage wesentlich. Die Funktion $f(x) := \sin(1/x), x \in (0, 1]$ kann man nämlich nicht stetig in den Nullpunkt fortsetzen.

[Bearbeiten] Satz 2 (Wärmeleitungskern)

Zu jedem $\varepsilon > 0$ betrachten wir die Funktion

$\Theta_\varepsilon(z) := \frac{1}{\sqrt{\pi \varepsilon}^n} \exp \left( - \frac{|z|^2}{\varepsilon} \right) = \frac{1}{\sqrt{\pi \varepsilon}^n} \exp \left( - \frac{1}{\varepsilon} (z_1^2 + \ldots + z_n^2) \right), \quad z \in \mathbb{R}^n$

Dann besitzt $\Theta_\varepsilon = \Theta_\varepsilon(z)$ die folgenden Eigenschaften:

Es gilt $\Theta_\varepsilon(z) > 0$ für alle $z \in \mathbb{R}^n$ ;
Wir haben $\int\limits_{\mathbb{R}^n} \Theta_\varepsilon(z)\, dz = 1$ ;
Für jedes $δ > 0$ ist $\lim_{\varepsilon \to 0+} \int\limits_{|z| \ge \delta} K_\varepsilon(z)\, dz = 0$ richtig.

[Bearbeiten] Beweis

1. Die Exponentialfunktion ist positiv, die Behauptung ist also klar.

2. Wir substituieren $z = \sqrt{\varepsilon} x$ mit $dz = \sqrt{\varepsilon}^n dx$ und erhalten

(10) $\begin{matrix} \int\limits_{\mathbb{R}^n} \Theta_\varepsilon(z)\, dz = \frac{1}{\sqrt{\pi \varepsilon}^n} \int\limits_{\mathbb{R}^n} \exp \left( - \frac{|z|^2}{\varepsilon} \right)\, dz = \frac{1}{\sqrt{\pi}^n} \int\limits_{\mathbb{R}^n} \exp \left( - |x|^2 \right)\, dx \\ \\ = \left( \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} \exp \left( - t^2 \right)\, dt \right)^n = 1. \end{matrix}$

3. Wir verwenden die Substitution aus Teil 2 und erhalten

(11) $\int\limits_{|z| \ge \delta} \Theta_\varepsilon(z)\, dz = \frac{1}{\sqrt{\pi}^n} \int\limits_{|x| \ge \delta/\sqrt{\varepsilon}} \exp \left( - |x|^2 \right)\, dx \to 0$ für $\varepsilon \to 0+$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Polynomiale Approximation)

Sei $f(x) \in C^0(K, \mathbb{C})$ eine auf der kompakten Menge $K \subset \mathbb{R}^n$ stetige Funktion. Dann gibt es zu jedem $ρ > 0$ ein Polynom $p (x) = p ρ (x)$ mit der Eigenschaft

$|p(x) - f(x)| \le \rho$ für alle $x \in K$ .

[Bearbeiten] Beweis

Zunächst ergänzen wir die Funktion $f$ zu einer stetigen Funktion $g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{C}$ gemäß Satz 1. Dann wählen wir einen Quader $Q \subset \mathbb{R}^n$ , so dass $K \subset \stackrel{\circ}{Q}$ erfüllt ist und $Q \subset B_R$ für die abgeschlossene Kugel $B R$ um den Nullpunkt mit einem Radius $R > 0$ gilt. Nun betrachten wir die Funktion

(12) $g_\varepsilon(x) := \int\limits_Q \Theta_\varepsilon(y - x) \cdot g(y)\, dy, \quad x \in \mathbb{R}^n$

für beliebiges $\varepsilon > 0$ . Da $g: Q \to \mathbb{C}$ gleichmäßig stetig ist und die Inklusion $K \subset \stackrel{\circ}{Q}$ gilt, zeigen wir mit Hilfe von Satz 2 leicht die folgende Aussage: Die Konvergenz

$g_\varepsilon(x) \to g(x), \quad x \in K \quad (\varepsilon \to 0+)$

findet gleichmäßig auf dem Kompaktum $K$ statt. Zu vorgegebenem $ρ > 0$ wählen wir nun $\varepsilon > 0$ fest, so dass

(13) $|g_\varepsilon(x) - f(x)| \le \rho, \quad x \in K$

erfüllt wird und betrachten die assoziierte Potenzreihe

$\Theta_\varepsilon(z) = \frac{1}{\sqrt{\pi \varepsilon}^n} \exp \left( - \frac{|z|^2}{\varepsilon} \right) = \frac{1}{\sqrt{\pi \varepsilon}^n} \sum^\infty_{j = 0} \frac{1}{j!} \left( - \frac{|z|^2}{\varepsilon} \right)^j, \quad z \in \mathbb{R}^n$ .

Da diese auf jedem Kompaktum im $\mathbb{R}^n$ gleichmäßig konvergiert, finden wir eine natürliche Zahl $N_0(\rho) \in \mathbb{N}$ , so dass folgendes Polynom

$P_\rho(z) := \frac{1}{\sqrt{\pi \varepsilon}^n} \sum^{N_0(\rho)}_{j = 0} \frac{1}{j!} \left( - \frac{z_1^2 + \ldots z_n^2}{\varepsilon} \right)^j$

die Ungleichung

(14) $\sup_{|z| \le 2R} |\Theta_\varepsilon(z) - P_\rho(z)| \le \rho$

erfüllt. Mit

(15) $\tilde g_\rho(x) := \int\limits_Q P_\rho(y - x) \cdot g(y)\, dy$

erhalten wir ein Polynom in den Veränderlichen $x_1, \ldots, x_n$ . Wegen (12), (14), (15) genügt dieses Polynom der Ungleichung

(16) $|\tilde g_\rho(x) - g_\varepsilon(x)| \le \rho \cdot |Q| \cdot c$ für alle $x \in Q$

mit der Konstante $c := \sup\{|g(x)|: x \in Q\} \in [0, + \infty)$ . Zusammen mit (13) erhalten wir die Abschätzung

(17) $|\tilde g_\rho(x) - f(x)| \le |\tilde g_\rho(x) - g_\varepsilon(x)| + |g_\varepsilon(x) - f(x)| \le \rho \cdot (|Q| \cdot c + 1), \quad x \in K$ .

Da $ρ > 0$ beliebig gewählt wurde, erhalten wir die Behauptung des Satzes.

q.e.d.

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