Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Existenz des Riemannschen Integrals (§2)

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

Es seien die Vektoren
a = (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{R}^n und b = (b_1, \ldots, b_n) \in \mathbb{R}^n
mit ak < bk für k = 1, 2, \ldots, n gegeben. Dann erklären wir mit der Menge
(1) Q := [a, b] = \{x \in \mathbb{R}^n: a_k \le x_k \le b_k\ f \ddot ur\ 1 \le k \le n\}
einen Quader oder ein Parallelepiped im \mathbb{R}^n. Mit den Intervallen
(2) I_k := [a_k, b_k] = \{x_k \in \mathbb{R}: a_k \le x_k \le b_k\}, \quad k = 1, 2, \ldots, n
wird der elementargeometrische Inhalt von Q gegeben durch
(3) |Q| := \prod^n_{k = 1} (b_k - a_k) = \prod^n_{k = 1} |I_k|.
Weiter erklären wir als Durchmesser oder auch Diameter von Q die Größe
(4) diam(Q) := \sqrt{\prod^n_{k = 1} (b_k - a_k)^2} = \sqrt{\prod^n_{k = 1} |I_k|^2}.

[Bearbeiten] Definition 2

Gemäß (1) und (2) stelle Q = I_1 \times \ldots \times I_n einen Quader im \mathbb{R}^n dar. Seien die Intervalle Ik jeweils in pk Teilintervalle
I_k^{(i_k)} := \left[ x_k^{(i_k - 1)}, x_k^{(i_k)} \right]
mit 1 \le i_k \le p_k und p := (p_1, \ldots, p_n) \in \mathbb{N}^n aufgeteilt, wobei die Anordnung
(5) a_k := x_k^{(0)} < x_k^{(1)} < \ldots < x_k^{(p_k - 1)} < x_k^{(p_k)} =: b_k
für k = 1, \ldots, n gelte. Wir verwenden im folgenden die Indexmenge
\mathfrak{N} := \{i \in \mathbb{N}^n: 1 \le i_k \le p_k\ f \ddot ur\ 1 \le k \le n\} \subset \mathbb{N}^n.
Dann erklären wir eine Zerlegung \mathcal{Z} von Q durch die Teilquader
(6) Q_i := \left\{ x \in \mathbb{R}^n: x_k^{(i_k - 1)} \le x_k \le x_k^{(i_k)}, 1 \le k \le n \right\} mit i := (i_1, \ldots, i_n) \in \mathfrak{N}.
Gemäß (4) definieren wir das Feinheitsmaß der Zerlegung \mathcal{Z} als
(7) \|\mathcal{Z}\| := \max \{diam(Q_i): i \in \mathfrak{N}\}.
Die Anzahl der Zerlegungsquader Q_i = I_1^{(i_1)} \times \ldots \times I_n^{(i_n)} ist durch die natürliche Zahl \prod^n_{k = 1} p_k gegeben.

[Bearbeiten] Hilfssatz 1

Es sei \mathcal{Z} eine beliebige Zerlegung von Q gemäß Definition 2. Dann gelten für alle i, j \in \mathfrak{N} mit i \neq j stets \stackrel{\circ}{Q}_i \cap \stackrel{\circ}{Q}_j = \emptyset und |Q| = \sum_{i \in \mathfrak{N}} |Q_i|.

[Bearbeiten] Beweis

1. Wir zeigen zunächst, dass zwei Teilquader Q_i, Q_j \subset Q mit i \neq j höchstens Randpunkte gemeinsam haben. Wegen

i = (i_1, \ldots, i_n) \neq j = (j_1, \ldots, j_n)

gibt es eine Komponente 1 \le \nu \le n, so dass i_\nu \neq j_\nu erfüllt ist. Somit folgt nach Konstruktion

(8) I_\nu^{(i_\nu)} \neq I_\nu^{(j_\nu)} bzw. \stackrel{\circ}{I}_\nu^{(i_\nu)} \cap \stackrel{\circ}{I}_\nu^{(j_\nu)} = \emptyset.

Für einen inneren Punkt x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \stackrel{\circ}{Q}_i von Qi gilt x_k \in \stackrel{\circ}{I}_k^{(i_k)} für k = 1, \ldots, n und insbesondere x_\nu \in \stackrel{\circ}{I}_\nu^{(i_\nu)}. Wegen (8) kann xν kein innerer Punkt von I_\nu^{(j_\nu)} sein und somit folgt x \notin \stackrel{\circ}{Q}_j. Schließlich erhalten wir \stackrel{\circ}{Q}_i \cap \stackrel{\circ}{Q}_j = \emptyset.

2. Nach (3) erhalten wir

|Q| = \prod^n_{k = 1} |I_k| = \prod^n_{k = 1} \left( \sum_{1 \le i_k \le p_k} \left| I_k^{(i_k)} \right| \right) = \sum_{1 \le i_k \le p_k} \left( \prod^n_{k = 1} \left| I_k^{(i_k)} \right| \right) = \sum_{i \in \mathfrak{N}} |Q_i|,

wobei über den Multiindex i \in \mathfrak{N} = \{i \in \mathbb{N}^n: 1 \le i_k \le p_k, 1 \le k \le n\} summiert wird.

[Bearbeiten] Definition 3

Auf dem Quader Q \subset \mathbb{R}^n aus (1) sei die beschränkte Funktion f: Q \to \mathbb{R} mit |f(x)| \le K für alle x \in Q und einem K \in (0, + \infty) sowie eine Zerlegung \mathcal{Z} von Q = \bigcup_{i \in \mathfrak{N}} Q_i gemäß (5) und (6) gegeben. Dann erklären wir
(9) m_i := \inf \{f(x): x \in Q_i\} und M_i := \sup \{f(x): x \in Q_i\}
für jedes i \in \mathfrak{N} und wir setzen
(10) s(f, \mathcal{Z}) := \sum_{i \in \mathfrak{N}} m_i \cdot |Q_i|
als Untersumme von f bez. \mathcal{Z} bzw.
(11) S(f, \mathcal{Z}) := \sum_{i \in \mathfrak{N}} M_i \cdot |Q_i|
als Obersumme von f bez. \mathcal{Z}.

[Bearbeiten] Bemerkungen

1. Wir setzen

(12) m := \inf \{f(x): x \in Q\} sowie M := \sup \{f(x): x \in Q\}

und erhalten die Abschätzung

m \le m_i \le M_i \le M für alle i \in \mathfrak{N}.

Gemäß Hilfssatz 1 folgt dann

m \cdot |Q| = m \cdot \sum_{i \in \mathfrak{N}} |Q_i| \le \sum_{i \in \mathfrak{N}} m_i \cdot |Q_i| = s(f, \mathcal{Z}) bzw. S(f, \mathcal{Z}) = \sum_{i \in \mathfrak{N}} M_i \cdot |Q_i| \le M \cdot \sum_{i \in \mathfrak{N}} |Q_i| = M \cdot |Q|.

Für eine beliebige Zerlegung \mathcal{Z} von Q erhalten wir die Ungleichung

m \cdot |Q| \le s(f, \mathcal{Z}) \le S(f, \mathcal{Z}) \le M \cdot |Q|.

2. Weiter ist für eine beliebige Zerlegung \mathcal{Z} von Q die folgende Identität erfüllt:

s(-f, \mathcal{Z}) = \sum_{i \in \mathfrak{N}} \inf \{f(x): x \in Q_i\} \cdot |Q_i|
= - \sum_{i \in \mathfrak{N}} \sup \{f(x): x \in Q_i\} \cdot |Q_i| = - S(f, \mathcal{Z}).

[Bearbeiten] Definition 4

Unter Beachtung der Definitionen 2 und 3 setzen wir
(13) s(f) := \sup_\mathcal{Z} s(f, \mathcal{Z}) und S(f) := \inf_\mathcal{Z} S(f, \mathcal{Z})
als unteres bzw. oberes Riemannsches Integral von f: Q \to \mathbb{R}.

[Bearbeiten] Bemerkung

Aus der obigen Bemerkung 2.) folgt

s(- f) = \sup_\mathcal{Z} s(- f, \mathcal{Z}) = \sup_\mathcal{Z} [- S(f, \mathcal{Z})] = - \inf_\mathcal{Z} S(f, \mathcal{Z}) = - S(f).

Bei den weiteren Betrachtungen können wir uns also auf die Untersuchung von Obersummen (11) und den oberen Integralen in (13) beschränken.

Auf dem obigen Quader Q \subset \mathbb{R}^n seien eine beschränkte Funktion f: Q \to \mathbb{R} sowie zwei Zerlegungen \mathcal{Z} und \mathcal{Z}^* von Q in Teilquader Q_i,\ i \in \mathfrak{N} bzw. Q_k^*,\ k \in \mathfrak{N}^* gemäß Definition 2 gegeben. Wir erklären die Größen

(14) M_i := \sup\{f(x): x \in Q_i\} bez. \mathcal{Z} und M_k^* := \sup\{f(x): x \in Q_k^*\} bez. \mathcal{Z}^*.

Dann haben wir (11) als Obersumme von f bez. \mathcal{Z} und setzen

(15) S(f, \mathcal{Z}^*) := \sum_{k \in \mathfrak{N}^*} M_k^* \cdot |Q_k^*|

als Obersumme von f bez. \mathcal{Z}^*. Wir nennen die Zerlegung \mathcal{Z}^* feiner als die Zerlegung \mathcal{Z}, wenn es für alle k \in \mathfrak{N}^* ein i = i(k) \in \mathfrak{N} derart gibt, dass Q_k^* \subset Q_i gilt. Dann folgt aus

M^*_k \le M_{i(k)} für alle k \in \mathfrak{N}^*

die Ungleichung

(16) S(f, \mathcal{Z}^*) \le S(f, \mathcal{Z}).

[Bearbeiten] Hilfssatz 2

Wir betrachten auf dem Quader Q \subset \mathbb{R}^n eine beschränkte Funktion f: Q \to \mathbb{R} mit (12) und zwei Zerlegungen \mathcal{Z} sowie \mathcal{Z}^* von Q. Dann gibt es eine nur von der Zerlegung \mathcal{Z} von Q abhängige Zahl \Theta = \Theta(\mathcal{Z}) \in (0, + \infty), so dass für jede Zerlegung \mathcal{Z}^* von Q die Ungleichung
(17) S(f, \mathcal{Z}^*) \le S(f, \mathcal{Z}) + \Theta(\mathcal{Z}) \cdot (M - m) \cdot \|\mathcal{Z}^*\|
gilt mit dem Feinheitsmaß \|\mathcal{Z}^*\| = \max \{diam(Q_k^*): k \in \mathfrak{N}^*\} und der Indexmenge \mathfrak{N}^* := \{k \in \mathbb{N}^n: 1 \le k_\nu \le q_\nu\ f\ddot ur\ 1 \le \nu \le n\} mit dem Multiindex q = (q_1, q_2, \ldots, q_n) \in \mathbb{N}^n.

[Bearbeiten] Beweis

1.) Wir können durch den Übergang von f zur Funktion

g(x) := f(x) - m, \quad x \in Q

ohne Einschränkung m = 0 annehmen. Seien nun \mathcal{Z} und \mathcal{Z}^* zwei beliebige Zerlegungen von Q gemäß Definition 2 mit den Zerlegungsquadern

Q_k^* = \left\{ x \in \mathbb{R}^n: \stackrel{*}{x}^{(k_\nu - 1)}_\nu \le x_\nu \le \stackrel{*}{x}^{(k_\nu)}_\nu, 1 \le \nu \le n \right\}, k = (k_1, k_2, \ldots, k_n) \in \mathfrak{N}^*.

Somit sind die Identitäten

Q = \bigcup_{i \in \mathfrak{N}} Q_i = \bigcup_{k \in \mathfrak{N}^*} Q_k

und

Q_i = I_1^{(i_1)} \times \ldots \times I_n^{(i_n)} bzw. Q_k^* = \stackrel{*}{I}_1^{(k_1)} \times \ldots \times \stackrel{*}{I}_n^{(k_n)}

sowie (9), (11), (14), (15) erfüllt.

2.) Dann können genau zwei Fälle bez. der Teilquader Q_k^* eintreten:
Fall (a): Q_k^* \in \mathfrak{A} gilt, falls es einen Quader Qi der Zerlegung \mathcal{Z} mit Q_k^* \subset Q_i gibt – d. h. \stackrel{*}{I}_\nu^{(k_\nu)} \subset I_\nu^{(i_\nu)} für \nu = 1, 2, \ldots, n ist erfüllt.
Fall (b): Q_k^* \in \mathfrak{B} gilt, falls eine Komponente \nu \in \{1, 2, \ldots, n\} und ein zugehöriges k_\nu \in \{1, 2, \ldots, q_\nu\} derart existieren, dass das Intervall \stackrel{*}{I}_\nu^{(k_\nu)} einen der Punkte x_\nu^{(1)}, x_\nu^{(2)}, \ldots, x_\nu^{(p_\nu - 1)} der Teilung des Intervalls Iν = [aν,bν] von \mathcal{Z} im Inneren enthält.
Es sei Kν die Menge aller natürlichen Zahlen kν mit 1 \le k_\nu \le q_\nu und obiger Eigenschaft. Dann besitzt die Menge Kν höchstens pν − 1 Elemente.
Für die Klasse \mathfrak{B} folgt die Inklusion

\bigcup_{Q_k^* \in \mathfrak{B}} Q_k^* \subset \bigcup^n_{\nu = 1} \left\{ \bigcup_{k_\nu \in K_\nu, \mu \neq \nu: 1 \le k_\mu \le q_\mu} \left[ \stackrel{*}{I}_1^{(k_1)} \times \ldots \times \stackrel{*}{I}_\nu^{(k_\nu)} \times \ldots \times \stackrel{*}{I}_n^{(k_n)} \right] \right\}.

Wir schätzen mit obigen Vorüberlegungen für die Klasse \mathfrak{B} wie folgt ab:

\sum_{Q_k^* \in \mathfrak{B}} |Q_k^*| \le \sum^n_{\nu = 1} \left\{ \sum_{k_\nu \in K_\nu, \mu \neq \nu: 1 \le k_\mu \le q_\mu} \left| \stackrel{*}{I}_1^{(k_1)} \right| \cdot \ldots \cdot \left| \stackrel{*}{I}_\nu^{(k_\nu)} \right| \cdot \ldots \cdot \left| \stackrel{*}{I}_n^{(k_n)} \right| \right\}
= \sum^n_{\nu = 1} \left\{ (b_1 - a_1) \cdot \ldots \cdot \left( \sum_{k_\nu \in K_\nu} \left| \stackrel{*}{I}_\nu^{(k_\nu)} \right| \right) \cdot \ldots \cdot (b_n - a_n) \right\}
\le \sum^n_{\nu = 1} \frac{|Q|}{|b_\nu - a_\nu|} \cdot (p_\nu - 1) \cdot \cdot \|\mathcal{Z}^*\| =: \Theta(\mathcal{Z}) \cdot \|\mathcal{Z}^*\|.

3.) Wir beachten die folgenden Abschätzungen

M_k^* = \sup\{f(x): x \in Q_k^*\} \le \sup\{f(x): x \in Q_i\} = M_i für Q_k^* \subset Q_i

und

M_k^* = \sup\{f(x): x \in Q_k^*\} \le M für alle k \in \mathfrak{N}^*.

Nun können wir die Ungleichung (17) für m = 0 wie folgt herleiten:

S(f, \mathcal{Z}^*) \stackrel{(15)}{=} \sum_{k \in \mathfrak{N}^*} M_k^* \cdot |Q_k^*| = \sum_{Q_k^* \in \mathfrak{A}} M_k^* \cdot |Q_k^*| + \sum_{Q_k^* \in \mathfrak{B}} M_k^* \cdot |Q_k^*|
\le \sum_{i \in \mathfrak{N}} M_i \cdot |Q_i| + M \cdot \sum_{Q_k^* \in \mathfrak{B}} |Q_k^*| \stackrel{(9)}{\le} S(f, \mathcal{Z}^*) + M \cdot \Theta(\mathcal{Z}) \cdot \|\mathcal{Z}^*\|.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 5

Eine Folge \{\mathcal{Z}_j\}_{j \in \mathbb{N}} von Zerlegungen eines Quaders Q mit dem Feinheitsmaß \lim_{j \to \infty} \|\mathcal{Z}_j\| = 0 nennen wir ausgezeichnet.

[Bearbeiten] Satz 1

Auf dem Quader Q \subset \mathbb{R}^n sei eine beschränkte Funktion f: Q \to \mathbb{R} gegeben und ferner bilde \{\mathcal{Z}_j\}_{j \in \mathbb{N}} eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von Q. Dann folgt S(f) = \lim_{j \to \infty} S(f, \mathcal{Z}_j) und s(f) = \lim_{j \to \infty} s(f, \mathcal{Z}_j).

[Bearbeiten] Beweis

Es genügt, die Gleichheit für das obere Integral von f zu beweisen. Wegen (13) gibt es eine Folge von Zerlegungen \{\mathcal{Z}^*_l\}_{l \in \mathbb{N}} von Q mit \lim_{l \to \infty} S(f, \mathcal{Z}^*_l) = S(f). Sei nun \{\mathcal{Z}_j\}_{j \in \mathbb{N}} eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von Q, so liefert Hilfssatz 2 die Abschätzung

S(f) \stackrel{(13)}{\le} S(f, \mathcal{Z}_j) \stackrel{(17)}{\le} S(f, \mathcal{Z}^*_l) + \Theta(\mathcal{Z}^*_l) \cdot (M - m) \cdot \|\mathcal{Z}_j\|.

Lassen wir bei festgehaltenem l zuerst j \to \infty gehen, so erhalten wir

S(f) \le \liminf_{j \to \infty} S(f, \mathcal{Z}_j) \le \liminf_{j \to \infty} S(f, \mathcal{Z}_j) \le S(f, \mathcal{Z}^*_l) für alle l \in \mathbb{N}.

Beim Grenzübergang l \to \infty ergibt sich

S(f) \le \liminf_{j \to \infty} S(f, \mathcal{Z}_j) \le \liminf_{j \to \infty} S(f, \mathcal{Z}_j) \le \lim_{l \to \infty} S(f, \mathcal{Z}^*_l) = S(f)

und damit S(f) = \lim_{j \to \infty} S(f, \mathcal{Z}_j).

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2

Auf dem Quader Q \subset \mathbb{R}^n sei eine beschränkte Funktion f: Q \to \mathbb{R} gegeben. Dann gilt für jede Zerlegung \mathcal{Z} von Q die Ungleichung
s(f, \mathcal{Z}) \le s(f) \le S(f) \le S(f, \mathcal{Z}).

[Bearbeiten] Beweis

Wegen (13) brauchen wir nur die Ungleichung s(f) \le S(f) zu beweisen. Für eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge \{\mathcal{Z}_j\}_{j \in \mathbb{N}} von Q liefert Satz 1 die Identitäten

s(f) = \lim_{j \to \infty} s(f, \mathcal{Z}_j) und S(f) = \lim_{j \to \infty} S(f, \mathcal{Z}_j).

Weiter gilt

s(f, \mathcal{Z}_j) \le S(f, \mathcal{Z}_j) für j = 1, 2, \ldots

gemäß obiger Bemerkung 1.). Der Grenzübergang j \to \infty ergibt dann die mittlere behauptete Ungleichung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 6

Auf dem Quader Q \subset \mathbb{R}^n betrachten wir eine beschränkte Funktion f: Q \to \mathbb{R}. Dann setzen wir
(18) s(f) = \sup_\mathcal{Z} s(f, \mathcal{Z}) =: \int\limits_{\overline{\ Q\ }} f(x)\, dx
für das untere Integral von f über Q und
(19) S(f) = \inf_\mathcal{Z} S(f, \mathcal{Z}) =: \int\limits^{\underline{\ \ \ }}_Q f(x)\, dx
für das obere Integral von f über Q.

[Bearbeiten] Definition 7

Eine beschränkte Funktion f: Q \to \mathbb{R} heißt über den Quader Q \subset \mathbb{R}^n Riemann-integrierbar genau dann, wenn
(20) \int\limits_{\overline{\ Q\ }} f(x)\, dx = \int\limits^{\underline{\ \ \ }}_Q f(x)\, dx =: \int\limits_Q f(x)\, dx
gilt. In diesem Fall nennen wir (20) das Riemannsche Integral von f über Q.

[Bearbeiten] Satz 3

Auf dem Quader Q \subset \mathbb{R}^n ist eine beschränkte Funktion f: Q \to \mathbb{R} genau dann Riemann-integrierbar, wenn es zu jedem \varepsilon > 0 eine Zerlegung \mathcal{Z}_\varepsilon von Q derart gibt, dass S(f, \mathcal{Z}_\varepsilon) - s(f, \mathcal{Z}_\varepsilon) < \varepsilon gilt.

[Bearbeiten] Beweis

„\Rightarrow“ Es sei f über Q Riemann-integrierbar. Für eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge \{\mathcal{Z}_j\}_{j \in \mathbb{N}} von Q liefert Satz 1, kombiniert mit den Definitionen 6 und 7, die Identitäten

\int\limits_Q f(x)\, dx \stackrel{(20)}{=} \int\limits_{\overline{\ Q\ }} f(x)\, dx \stackrel{(18)}{=} s(f) = \lim_{j \to \infty} s(f, \mathcal{Z}_j) bzw. \int\limits_Q f(x)\, dx \stackrel{(20)}{=} \int\limits^{\underline{\ \ \ }}_Q f(x)\, dx \stackrel{(19)}{=} S(f) = \lim_{j \to \infty} S(f, \mathcal{Z}_j).

Wir erhalten somit \lim_{j \to \infty} \{S(f, \mathcal{Z}_j) - s(f, \mathcal{Z}_j)\} = 0. Also gibt es zu jedem \varepsilon > 0 ein hinreichend großes j = j(\varepsilon) \in \mathbb{N} mit der Eigenschaft

S(f, \mathcal{Z}_{j(\varepsilon)}) - s(f, \mathcal{Z}_{j(\varepsilon)}) < \varepsilon.

„\Leftarrow“ Zu gegebenem \varepsilon > 0 existiert eine Zerlegung \mathcal{Z}_\varepsilon von Q mit der Eigenschaft S(f, \mathcal{Z}_\varepsilon) - s(f, \mathcal{Z}_\varepsilon) < \varepsilon. Insbesondere gilt nach Satz 2

s(f, \mathcal{Z}_\varepsilon) \le s(f) \le S(f) \le S(f, \mathcal{Z}_\varepsilon).

Daraus folgt gemäß Definition 6 für jedes \varepsilon > 0 die Abschätzung

S(f) - s(f) = \int\limits^{\underline{\ \ \ }}_Q f(x)\, dx - \int\limits_{\overline{\ Q\ }} f(x)\, dx \le S(f, \mathcal{Z}_\varepsilon) - s(f, \mathcal{Z}_\varepsilon) < \varepsilon.

Dieses impliziert die Identität

\int\limits^{\underline{\ \ \ }}_Q f(x)\, dx = \int\limits_{\overline{\ Q\ }} f(x)\, dx

und f ist über Q Riemann-integrierbar.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 8

Auf einem Quader Q \subset \mathbb{R}^n sei eine beschränkte Funktion f: Q \to \mathbb{R} gegeben. Weiter seien eine Zerlegung \mathcal{Z} von Q = \bigcup_{i \in \mathfrak{N}} Q_i und die Zwischenpunkte \xi_i \in Q_i,\ i \in \mathfrak{N} gewählt. Dann nennen wir
\Sigma(f, \mathcal{Z}, \xi) := \sum_{i \in \mathfrak{N}} f(\xi_i) \cdot |Q_i|
die Riemannsche Zwischensumme von f zur Zerlegung \mathcal{Z} und zu den Zwischenpunkten \xi := \{\xi_i: i \in \mathfrak{N}\}.

[Bearbeiten] Satz 4

Sei Q \subset \mathbb{R}^n ein Quader. Eine beschränkte Funktion f: Q \to \mathbb{R} ist über Q genau dann Riemann-integrierbar, wenn für jede ausgezeichnete Zerlegungsfolge \{\mathcal{Z}_j\}_{j \in \mathbb{N}} von Q und jede Wahl der Zwischenwerte
\xi^{(j)} := \{\xi_i^{(j)} \in Q_i^{(j)}: i \in \mathfrak{N}_j\}
die Folge der Riemannschen Zwischensummen
\Sigma(f, \mathcal{Z}_j, \xi^{(j)}) := \sum_{i \in \mathfrak{N}_j} f(\xi_i^{(j)}) \cdot \left| Q_i^{(j)} \right|
von f konvergiert. In diesem Fall gilt
\Sigma(f, \mathcal{Z}_j, \xi^{(j)}) = \int\limits_Q f(x)\, dx.

[Bearbeiten] Beweis

„\Rightarrow“ Es sei f über Q Riemann-integrierbar. Dann haben wir für jedes j \in \mathbb{N} die Ungleichungen

\sum_{i \in \mathfrak{N}_j} m_i^{(j)} \cdot \left| Q_i^{(j)} \right| \le \sum_{i \in \mathfrak{N}_j} f(\xi_i^{(j)}) \cdot \left| Q_i^{(j)} \right| \le \sum_{i \in \mathfrak{N}_j} M_i^{(j)} \cdot \left| Q_i^{(j)} \right| bzw. s(f, \mathcal{Z}_j) \le \sum_{i \in \mathfrak{N}_j} f(\xi_i^{(j)}) \cdot \left| Q_i^{(j)} \right| \le S(f, \mathcal{Z}_j).

Der Grenzübergang j \to \infty liefert

\int\limits_Q f(x)\, dx = \int\limits_{\overline{\ Q\ }} f(x)\, dx = \lim_{j \to \infty} s(f, \mathcal{Z}_j) \le \lim_{j \to \infty} \sum_{i \in \mathfrak{N}_j} f(\xi_i^{(j)}) \cdot \left| Q_i^{(j)} \right|
\le \lim_{j \to \infty} S(f, \mathcal{Z}_j) = \int\limits^{\underline{\ \ \ }}_Q f(x)\, dx = \int\limits_Q f(x)\, dx,

also die Konvergenz der Riemannschen Zwischensummen gegen das Integral.
„\Leftarrow“ Sei nun \{\mathcal{Z}_j\}_{j \in \mathbb{N}} eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von Q. Mit Hilfe der Definitionen von Supremum bzw. Infimum können wir für j = 1, 2, \ldots geeignete Zwischenpunkte

\xi^{(j)} := \{\xi^{(j)}_i \in Q^{(j)}_i: i \in \mathfrak{N}_j\} und \eta^{(j)} := \{\eta^{(j)}_i \in Q^{(j)}_i: i \in \mathfrak{N}_j\}

mit den Indexmengen \mathfrak{N}_j \subset \mathbb{N}^n derart wählen, dass die Zwischensummen

\Sigma(f, \mathcal{Z}_j, \xi^{(j)}) := \sum_{i \in \mathfrak{N}_j} f(\xi_i^{(j)}) \cdot \left| Q_i^{(j)} \right| und \Sigma(f, \mathcal{Z}_j, \eta^{(j)}) := \sum_{i \in \mathfrak{N}_j} f(\eta_i^{(j)}) \cdot \left| Q_i^{(j)} \right|

die Ungleichungen

\left| \Sigma(f, \mathcal{Z}_j, \xi^{(j)}) - S(f, \mathcal{Z}_j) \right| < \frac{1}{j} bzw. \left| \Sigma(f, \mathcal{Z}_j, \eta^{(j)}) - s(f, \mathcal{Z}_j) \right| < \frac{1}{j}

erfüllen. Somit folgt

\lim_{j \to \infty} \Sigma(f, \mathcal{Z}_j, \xi^{(j)}) = \int\limits^{\underline{\ \ \ }}_Q f(x)\, dx und \lim_{j \to \infty} \Sigma(f, \mathcal{Z}_j, \eta^{(j)}) = \int\limits_{\overline{\ Q\ }} f(x)\, dx.

Da nach Voraussetzung auch die gemischte Zahlenfolge

\Sigma(f, \mathcal{Z}_1, \xi^{(1)}), \Sigma(f, \mathcal{Z}_1, \eta^{(1)}), \Sigma(f, \mathcal{Z}_2, \xi^{(2)}), \Sigma(f, \mathcal{Z}_2, \eta^{(2)}), \ldots

konvergiert, erhalten wir

\int\limits^{\underline{\ \ \ }}_Q f(x)\, dx = \int\limits_{\overline{\ Q\ }} f(x)\, dx.

Also ist f über Q Riemann-integrierbar.

q.e.d.

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