Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Integration über Jordan-Bereiche (§4)

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Wir betrachten wieder achsenparallele Quader

Q

und Zerlegungen von

Q

in Teilquader gemäß den Definitionen 1 und 2 aus §2. Für eine beliebige Menge $E \subset \mathbb{R}^n$ verstehen wir unter $\stackrel{\circ}{E}, \overline{E}$ und $\partial E$ wie üblich den offenen Kern, die abgeschlossene Hülle und den topologisches Rand von

E

.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition 1
- 1.1 Bemerkungen
2 Satz 1
3 Satz 2
4 Definition 2
5 Definition 3
6 Satz 3
7 Definition 4
8 Definition 5
9 Satz 4 (Iterierte Integration über Normalbereiche)
- 9.1 Beweis

[Bearbeiten] Definition 1

Eine Punktmenge $E \subset \mathbb{R}^n$ heißt Jordansche Nullmenge genau dann, wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$ eine endliche Anzahl $N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}$ von (achsenparallelen) Quadern $Q 1, Q 2,..., Q N$ derart gibt, dass die Überdeckungseigenschaft

(1) $E \subset \bigcup^N_{k = 1} Q_k$

und die Abschätzung des Gesamtinhalts

(2) $\sum^N_{k = 1} |Q_k| < \varepsilon$

gültig sind.

[Bearbeiten] Bemerkungen

Wenn $E \subset \mathbb{R}^n$ eine Nullmenge ist und $F \subset E$ gilt, dann ist auch $F$ eine Nullmenge.
Wenn $E_1, E_2, ..., E_p \subset \mathbb{R}^n$ nun $p \in \mathbb{N}$ Jordansche Nullmengen sind, dann bildet auch deren Vereinigung $\bigcup^p_{k = 1} E_k$ eine Jordansche Nullmenge. Diese Eigenschaft bezeichnen wir als endliche Vereinigungs-Stabilität Jordanscher Nullmengen.
Die Menge $[0, 1] \cap \mathbb{Q}$ ist keine Jordansche Nullmenge. Diese bildet jedoch eine Lebesguesche Nullmenge, welche wir erst später untersuchen.

[Bearbeiten] Satz 1

Wenn die Funktion $f: Q \to \mathbb{C}$ beschränkt und bis auf eine Jordansche Nullmenge stetig ist, dann ist $f$ über $Q$ Riemann-integrierbar.

[Bearbeiten] Satz 2

Wenn $f: Q \to \mathbb{C}$ eine beschränkte Funktion ist, die auf dem Komplement einer Jordanschen Nullmenge $E \subset Q$ verschwindet, dann ist $f$ über $Q$ Riemann-integrierbar und es gilt $\int\limits_Q f(x)\, dx = 0$ .

[Bearbeiten] Definition 2

Eine kompakte Punktmenge $J \subset \mathbb{R}^n$ heißt Jordan-Bereich im $\mathbb{R}^n$ , wenn die Menge ihrer Randpunkte $\partial J = \left\{ x \in \overline{J}: x \notin \stackrel{\circ}{J} \right\}$ eine Jordansche Nullmenge bildet.

[Bearbeiten] Definition 3

Es sei $f: J \to \mathbb{C}$ eine auf dem Jordan-Bereich $J \subset \mathbb{R}^n$ stetige Funktion. Ferner sei $Q \subset \mathbb{R}^n$ ein Quader $J \subset \stackrel{\circ}{Q}$ und wir setzen

(14) $f_J(x) := \left\{ \begin{matrix} f(x)\ falls\ x \in J \\ \\ 0\ falls\ x \in Q \setminus J \end{matrix} \right.$ .

Wir erklären durch die Gleichung

(15) $\int\limits_J f(x)\, dx := \int\limits_Q f_J(x)\, dx$

das Riemann-Integral von $f$ über den Jordan-Bereich $J$ .

[Bearbeiten] Satz 3

Es seien $J 1, J 2,..., J p$ nun $p \in \mathbb{N}$ Jordan-Bereiche im $\mathbb{R}^n$ mit der Eigenschaft

$\stackrel{\circ}{J}_j \cap \stackrel{\circ}{J}_k = \emptyset$ für alle $j, k \in \{1, ..., p\}$ mit $j \neq k$ .

Weiter erklären wir deren Vereinigung $J := \bigcup^p_{k = 1} J_k$ . Wenn $f: J \to \mathbb{C}$ eine stetige Funktion darstellt, dann gilt die Identität

(16) $\int\limits_J f(x)\, dx = \sum^p_{k = 1} \int\limits_{J_k} f(x)\, dx$ .

[Bearbeiten] Definition 4

Für einen Jordan-Bereich $J \subset \mathbb{R}^n$ heißt

(19) $|J| := \int\limits_J 1\, dx$

der Jordansche Inhalt von $J$ .

[Bearbeiten] Definition 5

Es sei $J \subset \mathbb{R}^n$ ein Jordan-Bereich. Gegeben seien zwei stetige Funktionen

$\varphi_j: J \to \mathbb{R}\ (j = 1, 2)$ mit $\varphi_1(x) \le \varphi_2(x)$ für alle $x \in J$ .

Dann erklären wir einen Normalbereich $K$ über dem Jordanbereich $J$ durch

(22) $K := \{(x, y) \in \mathbb{R}^{n + 1}: x \in J, \varphi_1(x) \le y \le \varphi_2(x)\}$ .

[Bearbeiten] Satz 4 (Iterierte Integration über Normalbereiche)

Der Normalbereich $K$ über dem Jordanbereich $J \subset \mathbb{R}^n$ aus Definition 5 bildet einen Jordanbereich im $\mathbb{R}^{n+ 1}$ . Wenn die Funktion $f = f(x, y): K \to \mathbb{R}$ stetig ist, dann gilt die Identität der iterierten Integration

(23) $\int\limits_K f(x, y)\, dx\, dy = \int\limits_J \left[ \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y)\, dy \right]\, dx$ .

[Bearbeiten] Beweis

1.) Zunächst bildet $E := \partial J$ eine Jordansche Nullmenge im $\mathbb{R}^n$ , welche von einem Quader gemäß $J \subset \stackrel{\circ}{Q} \subset \mathbb{R}^n$ umfasst werde. Wie im Beweis von Satz 1 konstruieren wir zu vorgegebenem $\varepsilon > 0$ eine – von der Menge $E$ unabhängige – Zerlegung $\mathcal{Z}: Q = \bigcup_{i \in \mathfrak{N}} Q_i$ von $Q$ . Diese besitze das Feinheitsmaß $\|Z\| < \omega(\varepsilon)$ , wobei $\omega = \omega(\varepsilon) > 0$ das gemeinsame Stetigkeitsmodul

(24) $|\varphi_j(x') - \varphi_j(x'')| < \varepsilon$ für alle $x', x'' \in J$ mit $|x' - x''| < \omega\ (j = 1, 2)$

der Grenzfunktionen $\varphi_j,\ j = 1, 2$ angibt. Letztere Funktionen sind nämlich auf der kompakten Menge $J$ stetig – und somit dort auch gleichmäßig stetig. Wir setzen noch

(25) $L := \sup \{|\varphi_1(x)| + |\varphi_2(x)| + 1: x \in J\} < + \infty$

und wählen das Intervall $I : = [ - L, + L]$ . Dann erklären wir die $(n + 1)$ -dimensionalen Quader

(26) $T_k := Q_k \times I$ , falls $Q_k \subset M$ gilt.

Weiter definieren wir wir die folgenden $(n + 1)$ -dimensionalen Quader

(27) $\begin{matrix} T_k := Q_k \times I_k \text{ mit dem Doppelintervall } \\ \\ I_k := [\varphi_1(\xi_k) - \varepsilon, \varphi_1(\xi_k) + \varepsilon] \cup [\varphi_2(\xi_k) - \varepsilon, \varphi_2(\xi_k) + \varepsilon] \\ \\ \text{und einem Zwischenpunkt } \xi_k \in Q_k,\text{ falls } Q_k \subset \overline{J \setminus M} \text{ gilt}. \end{matrix}$

Nach Konstruktion gilt die Überdeckungseigenschaft

(28) $\partial K \subset \bigcup_{k \in \mathfrak{N}: Q_k \subset J \cup M} T_k.$

Weiter schätzen wir den $(n + 1)$ -dimensionalen Gesamtinhalt mittels (25) – (27) wie folgt ab:

(29) $\begin{matrix} \sum_{k \in \mathfrak{N}: Q_k \subset J \cup M} |T_k| = \sum_{k \in \mathfrak{N}: Q_k \subset M} |T_k| + \sum_{k \in \mathfrak{N}: Q_k \subset \overline{J \setminus M}} |T_k| \\ \\ \sum_{k \in \mathfrak{N}: Q_k \subset M} |Q_k \times I| + \sum_{k \in \mathfrak{N}: Q_k \subset \overline{J \setminus M}} |Q_k \times I_k| \\ \\ \le |I| \cdot \sum_{k \in \mathfrak{N}: Q_k \subset M} |Q_k| + \sum_{k \in \mathfrak{N}: Q_k \subset \overline{J \setminus M}} |I_k| \cdot |Q_k| \\ \\ \le 2L \cdot 2\varepsilon + 4\varepsilon \cdot |J| = 4\varepsilon \cdot (L + |J|). \end{matrix}$

Da $\varepsilon > 0$ beliebig gewählt war, bildet $\partial K$ wegen (28) und (29) eine Jordansche Nullmenge.

2.) Wir betrachten jetzt den Quader $Q \times I = T \subset \mathbb{R}^{n + 1}$ mit der Eigenschaft $K \subset \stackrel{\circ}{T}$ und erklären die Funktion

$F(x, y) := \left\{ \begin{matrix} f(x, y) \text{ falls } (x, y) \in K \\ \\ 0 \text{ falls } (x, y) \in T \setminus K \end{matrix} \right.$ .

Nach Teil 1.) ist die Funktion $F$ über $T$ integrierbar und Satz 11 in §3 über die iterierte Integration liefert

(30) $\begin{matrix} \int\limits_K f(x, y)\, dx\, dy = \int\limits_T F(x, y)\, dx\, dy \\ \\ = \int\limits_Q \left[ \int\limits_I F(x, y)\, dy \right]\, dx = \int\limits_J \left[ \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y)\, dy \right]\, dx. \end{matrix}$

q.e.d.