Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Integration mittels Standardsubstitutionen (§1)

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

Eine rationale Funktion R in den reellen Variablen x1,...,xn entsteht durch die algebraischen Operationen Addition, Multiplikation und Division aus den Variablen x1,...,xn. Somit folgt
R(x_1, ..., x_n) = \frac{P(x_1, ..., x_n)}{Q(x_1, ..., x_n)}
Dabei sind die Polynome in mehreren Veränderlichen vom Grad M \in \mathbb{N}_0 durch
P(x_1, ..., x_n) = \sum^M_{\|\mu\| = 0} a_\mu \left( \prod^n_{i = 1} x_i^{\mu_i} \right)
mit den Koeffizienten a_\mu \in \mathbb{R} und den Multiindices
\mu = (\mu_1, ..., \mu_n) \in \mathbb{N}_0 \times ... \times \mathbb{N}_0
vom Betrag \|\mu\| := \sum^n_{i = 1} \mu_i beziehungsweise vom Grad N \in \mathbb{N}_0 durch
Q(x_1, ..., x_n) = \sum^N_{\|\nu\| = 0} b_\nu \left( \prod^n_{i = 1} x_i^{\nu_i} \right)
mit den Koeffizienten b_\nu \in \mathbb{R} und den Multiindices
\nu = (\nu_1, ..., \nu_n) \in \mathbb{N}_0 \times ... \times \mathbb{N}_0
vom Betrag \|\nu\| := \sum^n_{i = 1} \nu_i erklärt.

[Bearbeiten] (I) Integrale vom Typ \int R(e^x)\, dx

Durch die Substitution t = t(x) = ex mit dx = \frac{dt}{t} entstehen Integrale der Form

\int R(e^x)\, dx = \int \frac{R(t)}{t}\, dt = \int \tilde{R}(t)\, dt

mit der gebrochen rationalen Funktion \tilde{R}.
Zum Beispiel können wir auf das Integral

\int \frac{e^x + e^{2x}}{e^{5x} + e^{7x}}\, dx = \int \frac{1 + t}{t^5 + t^7}\, dt = \int \frac{t + 1}{t^5 \cdot (t - i) \cdot (t + 1)) }\, dt

die Methoden aus §9 in Kapitel III anwenden.

[Bearbeiten] (II) Integrale vom Typ \int R(\cosh x, \sinh x)\, dx

Wegen Definition 1 aus §3 in Kapitel III sind diese Integrale bereits in (I) behandelt worden. Als Beispiel betrachten wir

\int \frac{1}{\cosh x}\, dx = 2 \int \frac{1}{e^x + e^{-x}}\, dx \stackrel{\text{(I)}}{=} 2 \int \frac{1}{1 + t^2}\, dt = 2 \arctan e^x + c mit c \in \mathbb{R}.

[Bearbeiten] (III) Integrale vom Typ \int R(\cos x, \sin x)\, dx (Halbwinkelmethode)

Durch die Substitution

(1) z = z(x) = \tan \left( \frac{x}{2} \right) für |x| < \pi \quad \left( x = 2 \arctan x \text{ und } dx = \frac{2dz}{1 + z^2} \right)

der sogenannten Halbwinkelmethode erhalten wir wegen der Identitäten

(2) \begin{matrix} \cos x = \frac{\cos \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right)}{1} = \frac{\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) - \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)}{\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) + \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)} = \frac{1 - \tan^2 \left( \frac{x}{2} \right)}{1 + \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} = \frac{1 - z^2}{1 + z^2}, \\ \\ \sin x = \frac{\sin \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right)}{1} = \frac{2 \cos \left( \frac{x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{x}{2} \right)}{\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) + \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)} = \frac{2 \tan \left( \frac{x}{2} \right)}{1 + \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} = \frac{2z}{1 + z^2} \end{matrix}

Integrale der Form

\int R(\cos x, \sin x)\, dx = 2 \int \frac{1}{1 + z^2} \cdot R \left( \frac{1 - z^2}{1 + z^2}, \frac{2z}{1 + z^2} \right)\, dz = \int \tilde{R}(z)\, dz

mit der gebrochen rationalen Funktion \tilde{R}.
So betrachten wir als Beispiel

\int \frac{dx}{\sin x} = \int \frac{1 + z^2}{2z} \cdot \frac{2dz}{1 + z^2} = \int \frac{dz}{z} = \ln \left| \tan \left( \frac{x}{2} \right) \right| + c mit c \in \mathbb{R}.

[Bearbeiten] (IV) Integrale vom Typ \int R \left(x, \sqrt{ax^2 + bx + c} \right)\, dx mit den Parametern a, b, c \in \mathbb{R}

Fall 1 (a = b = 0):

Dann stellt \int R(x, \sqrt{c})\, dx bereits das Integral einer rationalen Funktion dar.

Fall 2 (a = 0 und b, c \neq 0):

Die Substitution
(3) w^2 = bx + c \quad \left( x = x(w) = \frac{w^2 - c}{b} \text{ und } dx = \frac{2}{b} \cdot w\, dw \right)
führt uns auf den Ausdruck
\int R \left(x, \sqrt{ax^2 + bx + c} \right)\, dx = \int R \left( \frac{w^2 - c}{b}, w \right) \cdot \frac{2w}{b}\, dw = \int \tilde{R}(w)\, dw,
also ein Integral mit gebrochen rationalen Integranden \tilde{R}.

Fall 3 (a, b, c \neq 0):

Diese Integrale lassen sich auf Integrale über rationale Funktionen von trigonometrischen Funktionen oder Hyperbelfunktionen zurückführen: Zunächst liefert die quadratische Ergänzung im Radikanden
(4) \begin{matrix}ax^2 + bx + c = a \left( x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} \right) = a \left[ \left( x^2 + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \right] \\ \\ = a \left[ \left( x^2 + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a^2} \right] \end{matrix}.

Fall 3a (b2 = 4ac):

Dann folgt die Identität
\sqrt{ax^2 + bx + c} = \pm \sqrt{|a|} \cdot \left( x^2 + \frac{b}{2a} \right).
Hier lässt sich die Wurzel im Integranden ziehen und es bleibt das Integral einer rationalen Funktion zu ermitteln.

Fall 3b (b^2 \neq 4ac):

Wir setzen dann
D := \frac{1}{2|a|} \sqrt{|4ac - b^2|}
und wählen die Vorzeichenfaktoren E, F \in \{- 1, + 1\} so, dass
(5) \begin{matrix} ax^2 + bx + c = |a| \cdot \left[ E \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + F \cdot D^2 \right] \\ \\ = |a| \cdot D^2 \cdot \left[ E \left( \frac{x}{D} + \frac{b}{2aD} \right)^2 + F \right] \end{matrix}
erfüllt ist. Durch die Substitution
(6) t = t(x) = \frac{x}{D} + \frac{b}{2aD} \quad \left( x = D \cdot t - \frac{b}{2a} \text{ und } dx = D \cdot dt \right)
entstehen Integrale der folgenden Form
\int R \left( x, \sqrt{ax^2 + bx + c} \right)\, dx = \int R \left( Dt - \frac{b}{2a}, D \cdot \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{E \cdot t^2 + F} \right) D \, dt.
Somit sind die folgenden Grundintegrale vom Typ
(7) \begin{matrix} \int R_1 \left( x, \sqrt{1 + x^2} \right)\, dx, \quad \int R_2 \left( x, \sqrt{1 - x^2} \right)\, dx, \int R_3 \left( x, \sqrt{x^2 - 1} \right)\, dx \end{matrix}
zu berechnen. Die Substitutionen
(8) x = sinht in \int R_1 \left( x, \sqrt{1 + x^2} \right)\, dx
bzw.
(9) x = cosht in \int R_3 \left( x, \sqrt{x^2 - 1} \right)\, dx
führen uns auf Integrale vom Typ (I). Für die Integrale
\int R_2 \left( x, \sqrt{1 - x^2} \right)\, dx
liefern sowohl die Substitution x = cost als auch x = sint Integrale vom Typ (III).

[Bearbeiten] (V) Integrale vom Typ \int R(x^{r_1}, x^{r_2}, ..., x^{r_n})\, dx mit r_k \in \mathbb{Q}

Wir gehen von den Exponenten

r_k = \frac{p_k}{q} mit p_k \in \mathbb{Z} und q \in \mathbb{N} für k = 1,2,...,n

aus. Das Integral lässt sich durch die Substitution

(10) t = t(x) = x^\frac{1}{q} \quad \left( x = t^q \text{ und } dx = q \cdot t^{q - 1}\, dt \right)

rationalisieren, d. h. es gilt

(11) \begin{matrix} \int R(x^\frac{p_1}{q}, x^\frac{p_2}{q}, ..., x^\frac{p_n}{q})\, dx = q \int R(t^{p_1}, t^{p_2}, ..., t^{p_n}) \cdot t^{q - 1}\, dt = \int \tilde{R}(t)\, dt \end{matrix}

mit der gebrochen rationalen Funktion \tilde{R}.

[Bearbeiten] Bemerkungen zu (IV)

Wir wollen nun geeignete Substitutionen angeben, um die obigen Grundintegrale aus Teil (IV) direkt in gebrochen rationale Integranden umzurechnen: Für R3 können wir das Integral durch die Substitution x = \frac{1}{x} auf den zweiten Typ zurückführen, denn es gilt

(12) \begin{matrix} \int R_3 \left( x, \sqrt{x^2 - 1} \right)\, dx = - \int \frac{1}{z^2} R_3 \left( \frac{1}{z}, \frac{1}{z} \sqrt{1 - z^2} \right)\, dz = \int R_2 \left( z, \sqrt{1 - z^2} \right) \, dz \end{matrix}.

Zur Rationalisierung von R2 substituieren wir

(13) x = x(w) = \frac{1 - w^2}{1 + w^2}

und erhalten

(14) \int R_2 \left( x, \sqrt{1 - x^2} \right) \, dx = - \int R_2 \left( \frac{1 - w^2}{1 + w^2}, \frac{2w}{1 + w^2}\right) \cdot \frac{4w}{(1 + w^2)^2}\, dw = \int \tilde{R}(w)\, dw

mit der gebrochen rationalen Funktion \tilde{R}.
Setzen wir y = \sqrt{x^2 + 1} im Falle des Integranden R1, so folgt

y2 − x2 = (y − x)(y + x) = 1.

Mit x + y = v erhalten wir x - y = \frac{1}{v} sowie 2x = v - \frac{1}{v}. Die Substitution

(15) x = x(v) = \frac{1}{2} \left( v - \frac{1}{v} \right)

liefert schließlich

(16) \int R_1 \left( x, \sqrt{1 + x^2} \right) \, dx = \frac{1}{2} \int R_1 \left( \frac{v - \frac{1}{v}}{2}, \frac{v + \frac{1}{v}}{2} \right) \cdot \left( 1 + \frac{1}{v^2} \right)\, dv = \int \tilde{R}(v)\, dv

mit der gebrochen rationalen Funktion \tilde{R}.

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