Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Integration mittels Testfunktionen (§6)

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

Es seien die Dimensionen n, m \in \mathbb{N} gewählt und die offene Menge \Omega \subset \mathbb{R}^n gegeben. Dann wird für eine Funktion f: \Omega \to \mathbb{R}^m \in C^0(\Omega, \mathbb{R}^m) ihr Träger oder auch englisch support durch
supp(f) := \overline{\{x \in \Omega: f(x) \neq 0\}}
erklärt. Hierbei bezeichnet \overline{\Theta} den topologischen Abschluss der Menge Θ im \mathbb{R}^n.

[Bearbeiten] Definition 2

Zum Differenzierbarkeitsgrad k \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\} erklären wir die Menge der Testfunktionen durch
\begin{matrix} C^k_0(\Omega, \mathbb{R}^m) = C^k_c(\Omega, \mathbb{R}^m) := \left\{ f \in C^k_c(\Omega, \mathbb{R}^m): supp(f)\ ist\ kompakte\ Menge\ im\ \mathbb{R}^n\ und\ erf\ddot ullt\ supp(f) \subset \Omega \right\} \end{matrix}.
Wie üblich vereinbaren wir für reellwertige Funktionen die Klassen
C^k_0(\Omega) = C^k_c(\Omega) := C^k_0(\Omega, \mathbb{R}) = C^k_c(\Omega, \mathbb{R})
und
C^k_0(\Omega, \mathbb{C}) = C^k_c(\Omega, \mathbb{C}) := C^k_0(\Omega, \mathbb{R}^2) = C^k_c(\Omega, \mathbb{R}^2).

[Bearbeiten] Bemerkungen

1. Auf einer offenen Menge \Omega \subset \mathbb{R}^n kann jede Funktion f \in C^k_0(\Omega, \mathbb{R}^m) zu einer Funktion

(2) F(x) = \left\{ \begin{matrix} f(x), & \text{falls } x \in \Omega \\ \\ 0, & \text{falls } x \in \mathbb{R}^n \setminus \Omega \end{matrix} \right.

der Regularitätsklasse F \in C^k_0(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m) fortgesetzt werden. 2. Sei \Omega \subset \mathbb{R}^n eine offene Menge mit \Omega \neq \mathbb{R}^n. Eine Funktion f \in C^0_0(\Omega, \mathbb{R}^m) erfüllt nach Hilfssatz 1 aus §5 die Aussage

dist(supp(f), \mathbb{R}^n \setminus \Omega) > 0.

Es ist nämlich A := \mathbb{R}^n \setminus \Omega eine abgeschlossene und K: = supp(f) eine kompakte Menge sowie die Bedingung (\mathbb{R}^n \setminus \Omega) \cap supp(f) = \emptyset erfüllt.

Wir wollen jetzt gewisse Glättungsfunktionen konstruieren, welche uns gute Dienste leisten werden. In Hilfssatz 3 von §1 in Kapitel III haben wir gezeigt, dass die Funktion

(3) \psi(t) := \left\{ \begin{matrix} \exp \left( -\frac{1}{t} \right), & \text{falls } t > 0 \\ \\ 0, & \text{falls } t \le 0 \end{matrix} \right.

zur Regularitätsklasse C^\infty(\mathbb{R}) gehört. Zu beliebigem R > 0 betrachten wir die Funktion

(4) \omega_R(x) := \psi(|x|^2 - R^2), \quad x \in \mathbb{R}^n

der Regularitätsklasse C^\infty(\mathbb{R}^n). Wir beobachten ωR(x) > 0 falls | x | > R und ωR(x) = 0 falls |x| \le R gilt, also folgt

supp(\omega_R) = \{x \in \mathbb{R}^n: |x| \ge R\}.

Weiter konstruieren wir die Funktion

(5) \varrho = \varrho(t): \mathbb{R} \to \mathbb{R} \in C^\infty(\mathbb{R}) vermöge t \mapsto \varrho(t) := \psi(1 - t) \psi(1 + t).

Diese Funktion ist gemäß \varrho(- t) = \varrho(t) für alle t \in \mathbb{R} symmetrisch, erfüllt \varrho(t) > 0 für alle t \in (- 1, 1) sowie \varrho(t) = 0 sonst und wir erhalten

supp(\varrho) = [- 1, 1].

Schließlich erklären wir zum Mittelpunkt \xi \in \mathbb{R}^n und Radius \varepsilon > 0 die kompakte Kugel

(6) \begin{matrix} B_\varepsilon(\xi) := \{x \in \mathbb{R}^n: |x - \xi| \le \varepsilon\} \\ \\ \text{mit der } assoziierten\ Gl\ddot attungsfunktion \\ \\ \varphi_{\xi, \varepsilon}(x) := \varrho \left( \frac{|x - \xi|^2}{\varepsilon^2} \right), \quad x \in \mathbb{R}^n. \end{matrix}

Wir bemerken \varphi_{\xi, \varepsilon} \in C^\infty(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}) und ermitteln \varphi_{\xi, \varepsilon}(x) > 0 für alle x \in \stackrel{\circ}{B}_\varepsilon(\xi) sowie \varphi_{\xi, \varepsilon}(x) = 0 für alle x \in \mathbb{R}^n \setminus B_\varepsilon(\xi). Damit folgt

supp(\varphi_{\xi, \varepsilon}) = B_\varepsilon(\xi).

[Bearbeiten] Satz 1 (Zerlegung der Eins)

Es sei K \subset \mathbb{R}^n eine kompakte Menge und zu jedem Punkt x \in K bezeichne \mathcal{O}_x \subset \mathbb{R}^n eine offene Menge mit x \in \mathcal{O}_x. Wir können dann endlich – genauer N \in \mathbb{N} – viele Punkte x^{(1)}, \ldots, x^{(N)} \in K auswählen, so dass die Überdeckungseigenschaft K \subset \bigcup^N_{\nu = 1} \mathcal{O}_{x^{(\nu)}} gilt. Weiter finden wir Funktionen
\chi_\nu = \chi_\nu(x): \mathcal{O}_{x^{(\nu)}} \to [0, + \infty) \in C^\infty_0(\mathcal{O}_{x^{(\nu)}}) für \nu = 1, \ldots, N,
so dass die Funktion \chi(x) := \sum^N_{\nu = 1} \chi_\nu(x), x \in \mathbb{R}^n die folgenden Eigenschaften hat:
(a) Wir haben \chi \in C^\infty_0(\mathbb{R}^n);
(b) Für alle x \in K gilt χ(x) = 1;
(c) Für alle x \in \mathbb{R}^n ist 0 \le \chi(x) \le 1 richtig.

[Bearbeiten] Beweis

1.) Da K \subset \mathbb{R}^n kompakt ist, gibt es ein R > 0 mit K \subset B := B_R(0). Zu jedem x \in B wählen wir nun eine offene Kugel \stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon(x)}(x) vom Radius \varepsilon(x) > 0 derart, dass

(7) B_{\varepsilon(x)}(x) \subset \mathcal{O}_x für x \in K und B_{\varepsilon(x)}(x) \subset \mathbb{R}^n \setminus K für x \in B \setminus K

erfüllt ist. Das Mengensystem \left\{ \stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon(x)}(x) \right\}_{x \in B} liefert dann eine offene Überdeckung der kompakten Menge B. Nach dem Heine-Borelschen Überdeckungssatz genügen dafür endlich viele offene Mengen, sagen wir

\stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon_1}(x^{(1)}), \stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon_N}(x^{(N)}), \stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon_{N+1}}(x^{(N+1)}), \stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon_{N+M}}(x^{(N+M)}).

Hierbei haben wir x^{(\nu)} \in K für \nu = 1, 2, \ldots, N sowie x^{(\nu)} \in B \setminus K für \nu = N + 1, \ldots, N + M gewählt und \varepsilon_\nu := \varepsilon(x^{(\nu)}) gesetzt – mit gewissen natürlichen Zahlen N sowie M. Mit den assoziierten Glättungsfunktionen aus (5) betrachten wir nun die nicht negativen Funktionen

(8) \varphi_\nu(x) := \varphi_{x^{(\nu)}, \varepsilon_\nu}(x), \quad x \in \mathbb{R}^n

der Regularitätsklasse \varphi_\nu \in C^\infty_0(\mathcal{O}_{x^{(\nu)}}) für \nu = 1, \ldots, N bzw. \varphi_\nu \in C^\infty_0(\mathbb{R}^n \setminus K) für \nu = N + 1, \ldots, N + M. Ferner erklären wir die Funktion \varphi_{N + M + 1}(x) := \omega_R(x), wobei ωR in (4) definiert wurde. Offenbar erhalten wir dann die Positivität \sum^{N + M + 1}_{\nu = 1} \varphi_\nu(x) > 0 für alle x \in \mathbb{R}^n.

2.) Wir erklären nun die Funktionen χν vermöge

(9) \chi_\nu(x) := \left[ \sum^{N + M + 1}_{\nu = 1} \varphi_\nu(x) \right]^{-1} \varphi_\nu(x), \quad x \in \mathbb{R}^n für \nu = 1, \ldots, N + M + 1.

Dabei gehören die Funktionen χν und \varphi_\nu für \nu = 1, \ldots, N + M + 1 jeweils der gleichen Regularitätsklasse an. Zusätzlich gilt

\sum^{N + M + 1}_{\nu = 1} \chi_\nu(x) := \left[ \sum^{N + M + 1}_{\nu = 1} \varphi_\nu(x) \right]^{-1} \cdot \sum^{N + M + 1}_{\nu = 1} \varphi_\nu(x) \equiv 1 für alle x \in \mathbb{R}^n.

Die Eigenschaften (a), (b) und (c) der Funktion <math>\chi(x) = \sum^m_{\mu = 1} \chi_\mu(x) liest man direkt von der obigen Konstruktion ab.

[Bearbeiten] Definition 3

Die Funktionen \chi_1, \ldots, \chi_N aus Satz 1 nennen wir eine der offenen Überdeckung \{\mathcal{O}_x\}_{x \in K} von K untergeordnete Zerlegung der Eins.

[Bearbeiten] Hilfssatz 1 (Ausschöpfung durch Testfunktionen)

Für jede offene Menge \Omega \subset \mathbb{R}^n gibt es eine Folge von Testfunktionen
\omega_k: \Omega \to [0, 1] \in C^\infty_0(\Omega), \quad k = 1, 2, \ldots,
die kompakt gleichmäßig in Ω gegen die Funktion \omega(x) := 1, x \in \Omega konvergiert. Genauer schöpfen die kompakten Mengen
\Omega_k := \{x \in \Omega: \omega_k(x) = 1\}, \quad k = 1, 2, \ldots
die offene Menge Ω gemäß \Omega_k \to \Omega\ (k \to \infty) aus.

[Bearbeiten] Beweis

Nach Hilfssatz 2 aus §5 gibt es eine Folge von Jordanbereichen J_k \subset \Omega für k = 1, 2, \ldots mit J_k \to \Omega\ (k \to \infty). Für jedes k \in \mathbb{N} gilt dist(J_k, \mathbb{R}^n \setminus \Omega) > 0 gemäßHilfssatz 1 in §5 und wir können folglich geeignete Radien \varepsilon = \varepsilon(x), x \in J_k so finden, dass \left\{ \stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon(x)} \right\}_{x \in J_k} ein offenes Überdeckungssystem von Jk bildet. Wir finden mit Satz 1 eine untergeordnete Zerlegung der Eins \chi_1^{(k)}, \ldots, \chi_{N_k}^{(k)} und erklären die Funktionen

\omega_k := \sum^{N_k}_{l = 1} \chi_l^{(k)}(x), \quad x \in \Omega für k = 1, 2, \ldots.

Diese Funktionenfolge besitzt offenbar die gewünschten Eigenschaften.

q.e.d.

Wir sind nun vorbereitet, den Beweis der Transformationsformel mehrfacher Integrale aus Satz 5 von §5 zu führen und vereinbaren hierzu die

[Bearbeiten] Voraussetzung (T):

Zur fest gewählten Dimension n \in \mathbb{N} seien \Omega \subset \mathbb{R}^n eine offene Punktmenge und y: \Omega \to \mathbb{R}^n vermöge

x = (x_1, \ldots, x_n) \mapsto y(x) = (y_1(x), \ldots, y_n(x))

eine injektive Abbildung mit den Eigenschaften y \in C^1(\Omega, \mathbb{R}^n) und der Jacobischen

J_y(x) := \det \left( \frac{\partial y_i(x)}{\partial x_k} \right)_{i, k = 1, \ldots, n} \neq 0 für alle x \in \Omega.

Nach dem Fundamentalsatz über die inverse Abbildung (Satz 1 aus §4 in Kapitel IV) ist die Bildmenge

\Theta := y(\Omega) = \{y \in \mathbb{R}^n: y = y(x), x \in \Omega\} \subset \mathbb{R}^n

offen. Die Abbildung y = y(x): \Omega \to \Theta ist bijektiv und besitzt die Umkehrabbildung x = x(y): \Theta \to \Omega \in C^1(\Theta, \mathbb{R}^n).

Wir werden unter der Voraussetzung (T) die folgende Frage beantworten: Man bestimme sinnvolle Klassen von Funktionen f: \Theta \to \mathbb{C}, in welcher die Transformationsformel \mathfrak{T}(f) = 0 mit dem Transformationsfunktional

(10) \mathfrak{T}(f) := \int\limits_\Theta f(y)\, dy - \int\limits_\Omega f(y(x)) \cdot |J_y(x)|\, dx = 0

gilt.

Wir belassen dem Leser den Beweis der nachfolgenden Aussage als Übungsaufgabe.

[Bearbeiten] Hilfssatz 2

Unter der Voraussetzung (T) werde die offene Menge Θ durch die Kompakta \Theta_k, k = 1, 2, \ldots ausgeschöpft. Dann schöpfen deren kompakte Urbildmengen
\Omega_k := \{x \in \Omega: y(x) \in \Theta_k\}, \quad k = 1, 2, \ldots
die kompakte Menge Ω aus.

[Bearbeiten] Hilfssatz 3

Unter der Voraussetzung (T) sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) Für alle Testfunktionen f \in C^0_0(\Theta) gilt \mathfrak{T}(f) = 0.
(ii) Für jeden Punkt \eta \in \Theta gibt es eine Zahl \varepsilon = \varepsilon(\eta) > 0, so dass die Kugel B_\varepsilon(\eta) := \{y \in \mathbb{R}^n: |y - \eta| \le \varepsilon\} die Inklusionsbedingung B_\varepsilon(\eta) \subset \Theta erfüllt und für alle lokalen Testfunktionen f \in C^0_0 \left( \stackrel{\circ}{B}_\varepsilon(\eta) \right) die Identität \mathfrak{T}(f) = 0 gilt.

[Bearbeiten] Beweis

Da (i) \Rightarrow (ii) selbstverständlich ist, zeigen wir nur (ii) \Rightarrow (i): Für eine beliebige Funktion f \in C^0_0(\Theta) ist die Menge K := supp(f) \subset \Theta kompakt und wir betrachten deren offene Überdeckung \left\{ \stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon(\eta)}(\eta): \eta \in K \right\}. Mit Hilfe von Satz 1 konstruieren wir eine dem Mengensystem \left\{ \stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon(\eta)}(\eta): \eta \in K \right\} untergeordnete Zerlegung der Eins von supp(f) mit den Funktionen

(11) \chi_\nu \in C^\infty_0 \left( \stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon_\nu}(\eta^{(\nu)}) \right) mit \eta^{(\nu)} \in K und \varepsilon_\nu := \varepsilon(\eta^{(\nu)}) für \nu = 1, \ldots, N.

Dann erklären wir die Funktionen fν vermöge

(12) f_\nu(y) := f(y) \cdot \chi_\nu(y): \stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon_\nu} \left( \eta^{(\nu)} \right) \to \mathbb{R} \in C^0_0 \left( \stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon_\nu} \left( \eta^{(\nu)} \right) \right)

und die Voraussetzung (ii) liefert die Identität \mathfrak{T}(f_\nu) = 0 für \nu = 1, \ldots, N. Wir erhalten dann

(13) \begin{matrix} \mathfrak{T}(f) = \int\limits_\Theta f(y)\, dy - \int\limits_\Omega f(y(x)) \cdot |J_y(x)|\, dx \\ \\ = \int\limits_\Theta \left\{ \sum\limits^N_{\nu = 1} f(y) \cdot \chi_\nu(y) \right\}\, dy - \int\limits_\Omega \left\{ \sum\limits^N_{\nu = 1} f(y(x)) \cdot \chi_\nu(y(x)) \right\} \cdot |J_y(x)|\, dx \\ \\ = \int\limits_\Theta \left\{ \sum\limits^N_{\nu = 1} f_\nu(y) \right\}\, dy - \int\limits_\Omega \left\{ \sum\limits^N_{\nu = 1} f_\nu(y(x)) \right\} \cdot |J_y(x)|\, dx \\ \\ = \sum\limits^N_{\nu = 1} \left\{ \int\limits_\Theta f_\nu(y)\, dy - \int\limits_\Omega f_\nu(y(x)) \cdot |J_y(x)|\, dx \right\} = \sum\limits^N_{\nu = 1} \mathfrak{T}(f_\nu) = 0. \end{matrix}

q.e.d.

[Bearbeiten] Hilfssatz 4

Unter der Voraussetzung (T) gilt die Identität
\mathfrak{T}(f) = 0 für alle f \in C^0_0(\Theta).

[Bearbeiten] Beweis

1.) Wir zeigen diese Aussage durch vollständige Induktion über die Raumdimension n und sichern zunächst den Induktionsanfang n = 1. Gemäß Hilfssatz 3 haben wir nur die lokale Aussage zu beweisen. Zum beliebigen Punkt \eta \in \Theta \subset \mathbb{R}^1 wählen wir \varepsilon = \varepsilon(\eta) > 0 mit der Eigenschaft

B_\varepsilon(\eta) = [\eta - \varepsilon, \eta + \varepsilon] \subset \Theta.

Dann definieren wir die Urbildpunkte x1,x2 gemäß y(x_1) := \eta - \varepsilon sowie y(x_2) := \eta + \varepsilon und ihr zugehöriges Intervall durch

I := \{x \in \mathbb{R}: x = \lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2, 0 \le \lambda \le 1\}.

Nun liefert Satz 7 aus §5 in Kapitel II die Identität

(14) \begin{matrix} \int\limits_\Theta f(y)\, dy = \int\limits^{\eta + \varepsilon}_{\eta - \varepsilon} f(y)\, dy \\ \\ = \int\limits_{x_1}^{x_2} f(y(x)) \cdot y'(x)\, dx = \sgn y'(x) \cdot \int\limits_{x_1}^{x_2} f(y(x)) \cdot |J_y(x)|\, dx \\ \\ = \int\limits_I f(y(x)) \cdot |J_y(x)|\, dx = \int\limits_\Omega f(y(x)) \cdot |J_y(x)|\, dx \end{matrix}

für alle Funktionen f \in C^0_0 \left( \stackrel{\circ}{B}_\varepsilon(\eta) \right). Dabei handelt es sich beim 2. – 4. Integral obiger Identität (14) um orientierte eindimensionale Integrale. Schließlich beachten wir, dass die Signumfunktion von y'(x), x \in I konstant ist.

2.) Im Induktionsschritt n \to n + 1 verwenden wir eine Feldeinbettung und interpretieren das (n + 1)-dimensionale Integral als iteriertes Integral gemäß Satz 12 aus §3. Letzteres ist insbesondere für Testfunktionen möglich.
Es sei der Punkt (\eta, \zeta) = (\eta_1, \ldots, \eta_n, \zeta) \in \subset \mathbb{R}^{n + 1} gewählt. Die (n + 1)-dimensionale Abbildung

Y: \Omega \to \Theta vermöge (x, t) = (x_1, \ldots, x_n, t) \mapsto Y(x, t) = Y(x_1, \ldots, x_n, t)

erfülle die Voraussetzung (T) und es gelte

Y(\xi, \tau) = Y(\xi_1, \ldots, \xi_n, \tau) = (\eta, \zeta).

Durch eine Drehung um den Punkt (η,ζ) können wir erreichen, dass die folgende Bedingung erreicht wird:

(15) \frac{\partial Y(\xi, \tau)}{\partial t} = Y_t(\xi, \tau) = \lambda \cdot e_{n + 1} mit einem λ > 0.

Dabei ist der Einheitsvektor e_{n + 1} := (0, \ldots, 0, 1) \in \mathbb{R}^{n + 1} wie üblich erklärt. Ohne es zu erwähnen, werden wir in den nachfolgenden Überlegungen den Parameter \varepsilon > 0 mehrmals verkleinern. Zunächst definieren wir einen Quader

Q := (\xi_1 - \varepsilon, \xi_1 + \varepsilon) \times \ldots \times (\xi_n - \varepsilon, \xi_n + \varepsilon) \subset \mathbb{R}^n

und ein offenes Intervall I := (\tau - \varepsilon, \tau + \varepsilon). Weiter betrachten wir die Flächenschar

(16) \begin{matrix} \mathcal{F}_t := \{Y(x, t) \in \mathbb{R}^{n + 1}: x \in Q\} \\ \\ = \{Y(x_1, \ldots, x_n, t): x_i \in (\xi_i - \varepsilon, \xi_i + \varepsilon)\ \mathrm{f\ddot ur\ } i = 1, \ldots, n\} \end{matrix}

in Abhängigkeit vom Parameter t \in I. Wir zerlegen nun die Abbildung Y gemäß

(17) Y(x, t) = (f(x, t), z(x, t)) = (f_1(x, t), \ldots, f_n(x, t), z(x, t)), \quad (x, t) \in Q \times I.

Mit den Identitäten (15) bis (17) erhalten wir durch Entwicklung nach der letzten Spalte die folgenden Determinanten

(18) \begin{matrix} 0 \neq J_Y(\xi, \tau) = \begin{vmatrix} \frac{\partial f_1(\xi, \tau)}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial f_1(\xi, \tau)}{\partial x_n} & \frac{\partial f_1(\xi, \tau)}{\partial t} \\ \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \\ \frac{\partial f_n(\xi, \tau)}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial f_n(\xi, \tau)}{\partial x_n} & \frac{\partial f_n(\xi, \tau)}{\partial t} \\ \\ \frac{\partial z(\xi, \tau)}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial z(\xi, \tau)}{\partial x_n} & \frac{\partial z(\xi, \tau)}{\partial t} \end{vmatrix} \\ \\ = \det \left( Y_{x_1}(\xi, \tau)^*, \ldots, Y_{x_n}(\xi, \tau)^*, \lambda \cdot e_{n + 1}^* \right) \\ \\ = \lambda \cdot \left( \frac{\partial f_i(\xi, \tau)}{\partial x_k} \right)_{i, k = 1, \ldots, n} =: \lambda \cdot J_f(\xi, \tau). \end{matrix}

3.) Jetzt betrachten wir die Abbildung

(19) F: Q \times I \to Z \in C^1(Q \times I, \mathbb{R}^{n + 1}) vermöge (x, t) \mapsto F(x, t) := (f(x, t), t)

mit der Jacobischen J_F(\xi, \tau) \neq 0. Nach dem Fundamentalsatz über die inverse Abbildung (siehe Satz 1 aus §4 in Kapitel IV) gibt es eine zu F inverse Abbildung

(20) G: Z \to Q \times I \in C^1(Z, \mathbb{R}^{n + 1}) vermöge (y, t) \mapsto G(y, t) := (g(y, t), t)

mit der Variablen y = (y_1, \ldots, y_n). Die Abbildung (19) stellt also einen C1-Diffeomorphismus von Q \times I auf Z dar, wobei wir \varepsilon > 0 hinreichend klein zu wählen haben. Erklären wir die Projektionsbereiche

\Omega^{(t)} := \{y \in \mathbb{R}^n: (y, t) \in Z\} für t \in I,

so liefern (19) und (20) die Identität

f(g(y,t),t) = y für alle y \in \Omega^{(t)} und t \in I.

Schließlich erklären wir für jedes t \in I die Funktion

\chi(y, t) := z(g(y, t), t), y \in \Omega^{(t)}

und beachten

\begin{matrix} Y(G(y, t)) = (f(G(y, t)), z(G(y, t))) \\ \\ = (f(g(y, t), t), z(g(y, t), t)) = (y, \chi(y, t)) \quad \mathrm{f\ddot ur\ alle} \quad (y, t) \in Z \end{matrix}

sowie die Identität

J_G(y, t) = \det \left( \frac{\partial g_i(y, t)}{\partial x_k} \right)_{i, k = 1, \ldots, n} = J_g(y, t), (y, t) \in Z.

4.) Da nach Induktionsvoraussetzung und Hilfssatz 3 die Transformationsformel für ein festes n \in \mathbb{N} bereits global gilt, ermitteln wir für beliebige Funktionen f \in C^0_0 \left( \stackrel{\circ}{B}_\varepsilon(\eta, \zeta) \right), mit hinreichend kleinem Radius \varepsilon = \varepsilon(\eta, \zeta) > 0, die folgende Identität:

(22) \begin{matrix} \int\limits_\Omega f(Y(x, t)) \cdot |J_Y(x, t)|\, dx\, dt = \int\limits^{\tau + \varepsilon}_{\tau - \varepsilon} \left\{ \int\limits_Q f(Y(x, t)) \cdot |J_Y(x, t)|\, dx \right\}\, dt \\ \\ = \int\limits^{\tau + \varepsilon}_{\tau - \varepsilon} \left\{ \int\limits_{\Omega^{(t)}} f(Y(g(y, t), t)) \cdot |J_Y(g(y, t), t)| \cdot |J_g(y, t)|\, dy \right\}\, dt \\ \\ = \int\limits^{\tau + \varepsilon}_{\tau - \varepsilon} \left\{ \int\limits_{\Omega^{(t)}} f(y, \chi(y, t)) \cdot |J_Y(G(y, t))| \cdot |J_G(y, t)|\, dy \right\}\, dt \\ \\ = \int\limits^{\tau + \varepsilon}_{\tau - \varepsilon} \left\{ \int\limits_{\Omega^{(t)}} f(y, \chi(y, t)) \cdot |J_{Y \circ G}(y, t)|\, dy \right\}\, dt \\ \\ = \int\limits^{\tau + \varepsilon}_{\tau - \varepsilon} \left\{ \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(y, \chi(y, t)) \cdot \chi_t(y, t)\, dy \right\}\, dt \\ \\ = \int\limits_{\mathbb{R}^n} \left\{ \int\limits^{\tau + \varepsilon}_{\tau - \varepsilon} f(y, \chi(y, t)) \cdot \chi_t(y, t)\, dt \right\}\, dy = \int\limits_\Theta f(y, t)\, dy\, dt. \end{matrix}

Über Hilfssatz 3 erhalten wir die Gültigkeit von \mathfrak{T}(f) = 0 für alle f \in C^0_0(\Theta) im Fall n + 1.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2

Sei die Voraussetzung (T) erfüllt und die stetige Funktion f: \Theta \to \mathbb{C} besitze das konvergente uneigentliche Integral \int\limits_\Theta |f(y)|\, dy < + \infty. Dann gilt die Transformationsformel
(23) \int\limits_\Theta f(y)\, dy = \int\limits_\Omega f(y(x)) \cdot |J_y(x)|\, dx.

[Bearbeiten] Beweis

1.) Sei die Funktion

f = f_1(y) + if_2(y): \Theta \to \mathbb{C} mit f_j \in C^0(\Theta) für j = 1,2

gegeben. Dann ermitteln wir für j = 1,2 die Abschätzung

(24) \int\limits_\Theta f_j^\pm(y)\, dy \le \int\limits_\Theta |f_j(y)|\, dy \le \int\limits_\Theta |f(y)|\, dy < + \infty

mit dem Positivteil

f^+_j(y) := \frac{1}{2} (|f_j(y)| + f_j(y)), \quad y \in \Theta

und dem Negativteil

f^-_j(y) := \frac{1}{2} (|f_j(y)| - f_j(y)), \quad y \in \Theta.

Diese nicht negativen, stetigen Funktionen erfüllen die Darstellung

f_j(y) = f_j^+(y) - f_j^-(y), \quad y \in \Theta für j = 1,2.

Wenn wir also die Identität (23) einzeln für die Funktionen f_j^\pm mit j = 1,2 gezeigt haben, so ist diese Identität auch für f bewiesen. Deshalb können wir ohne Einschränkung

(25) f: \Theta \to [0, + \infty) \in C^0(\Theta) mit \int\limits_\Theta f(y)\, dy < + \infty

für unsere weiteren Überlegungen annehmen.

2.) Mit Hilfssatz 1 konstruieren wir eine, die offene Menge Θ ausschöpfende, Funktionenfolge

(26) \theta_k = \theta_k(y): \Theta \to [0, 1] \in C^\infty_0(\Theta) für k = 1, 2, \ldots.

Dann bildet die Folge

(27) \omega_k(x) := \theta_k(y(x)), \quad x \in \Omega für k = 1, 2, \ldots

eine ausschöpfende Funktionenfolge der offenen Urbildmenge Ω. Aufgrund der Hilfssätze 1 und 2 erhalten wir folgende Ausschöpfungen durch Kompakta:

(28) \begin{matrix} \Theta_k := \{y \in \Theta: \theta_k(y) = 1\} \to \Theta\ (k \to \infty), \\ \\ \Omega_k := \{y \in \Omega: \omega_k(y) = 1\} \to \Omega\ (k \to \infty). \end{matrix}

Die Anwendung von Hilfssatz 4 auf die Funktion

(29) f_k(y) := f(y) \cdot \theta_k(y) \in C^0_0(\Theta)

liefert für k = 1, 2, \ldots die Identitäten

(30) \begin{matrix} \int\limits_\Theta f_k(y)\, dy = \int\limits_\Omega f_k(y(x)) \cdot |J_y(x)|\, dx \\ \\ = \int\limits_\Omega f(y(x)) \cdot \theta_k(y(x)) \cdot |J_y(x)|\, dx = \int\limits_\Omega f(y(x)) \cdot \omega_k(x) \cdot |J_y(x)|\, dx. \end{matrix}

3.) Nach Satz 3 aus §5 gilt

(31) \lim_{k \to \infty} \int\limits_\Theta f_k(y)\, dy = \int\limits_\Theta f(y)\, dy.

Wenn K \subset \Omega ein beliebiger Jordanbereich ist, dann gibt es eine natürliche Zahl k0 = k0(K) mit der Eigenschaft

ωk(x) = 1 für alle x \in K und alle k \ge k_0.

Damit folgt die Abschätzung

(32) \begin{matrix} \int\limits_K f(y(x)) \cdot |J_y(x)|\, dx \le \int\limits_\Omega \omega_k(x) \cdot f(y(x)) \cdot |J_y(x)|\, dx \\ \\ = \int\limits_\Theta f_k(y)\, dy \le \int\limits_\Theta f(y)\, dy. \end{matrix}

Alle Jordan-Bereiche K \subset \Omega erfüllen (32) und Satz 1 aus §5 ergibt die Existenz des uneigentlichen Integrals

\int\limits_\Omega f(y(x)) \cdot |J_y(x)|\, dx.

Mit Satz 3 aus §5 ermitteln wir die Identität

(33) \lim_{k \to \infty} \int\limits_\Omega \omega_k(x) \cdot f(y(x)) \cdot |J_y(x)|\, dx = \int\limits_\Omega f(y(x)) \cdot |J_y(x)|\, dx.

Insgesamt erhalten wir durch Grenzübergang in (30) – mit Hilfe der Aussagen (31) und (33) – für alle stetigen Funktionen f aus (25) die Behauptung

(34) \begin{matrix} \int\limits_\Theta f(y)\, dy = \lim_{k \to \infty} \int\limits_\Theta f_k(y)\, dy \\ \\ \lim_{k \to \infty} \int\limits_\Omega \omega_k(x) \cdot f(y(x)) \cdot |J_y(x)|\, dx = \int\limits_\Omega f(y(x)) \cdot |J_y(x)|\, dx. \end{matrix}

q.e.d.

Von „http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Analysis_II/Kapitel_V:_Das_Riemannsche_Integral_im_R%5En/Integration_mittels_Testfunktionen_(%C2%A76)“
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