Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Uneigentliche Integrale im R^n (§5)

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

Es seien \Omega \subset \mathbb{R}^n eine offene Menge und J_m,\ m = 1, 2, \ldots eine Folge von kompakten Mengen mit J_m \subset \Omega für alle m \in \mathbb{N}. Dann vereinbaren wir
(1) \lim_{m \to \infty} J_m = \Omega bzw. J_m \to \Omega\ (m \to \infty),
wenn es zu jeder kompakten Menge K \subset \Omega eine Zahl N = N(K) \in \mathbb{N} gibt mit der Eigenschaft
K \subset J_m für alle m \ge N.
In dieser Situation schöpfen die Kompakta J_1, J_2, \ldots die offene Menge Ω aus. Falls zusätzlich alle Mengen Jm mit m \in \mathbb{N} Jordanbereiche sind, sprechen wir von einer Ausschöpfung der offenen Menge Ω durch die Jordanbereiche \{J_m\}_{m = 1, 2, \ldots}.

[Bearbeiten] Definition 2

Für zwei nichtleere Mengen A, B \subset \mathbb{R}^n ist der Abstand oder auch die Distanz der Mengen A und B durch
dist(A, B) := \inf \{|x - y|: x \in A\ und\ y \in B\}
erklärt. Insbesondere definieren wir den Abstand eines Punktes y \in \mathbb{R}^n von der Menge A durch
dist(y, A) := \inf \{|x - y|: x \in A\}.

[Bearbeiten] Hilfssatz 1 (Distanzlemma)

Es seien A, K \subset \mathbb{R}^n zwei nichtleere Mengen. Sei A abgeschlossen und K kompakt sowie A \cap K = \emptyset erfüllt, dann folgt dist(A,K) > 0.

[Bearbeiten] Beweis

Angenommen, es würde dist(A,K) = 0 eintreten. Dann existieren Punktfolgen \left\{x^{(m)}\right\}_{m \in \mathbb{N}} \subset A und \left\{y^{(m)}\right\}_{m \in \mathbb{N}} \subset K mit der Eigenschaft \lim_{m \to \infty} \left| x^{(m)} - y^{(m)} \right| = 0. Da K beschränkt ist, gibt es nach Satz 3 von Kap. I, §4 eine konvergente Teilfolge \left\{y^{(m_k)}\right\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset \left\{y^{(m)}\right\} mit \lim_{k \to \infty} y^{(m_k)} = \eta \in \mathbb{R}^n. Da K eine abgeschlossene Menge bildet, folgt \eta \in K. Wegen \lim_{k \to \infty} \left| x^{(m_k)} - y^{(m_k)} \right| = 0 erhalten wir \lim_{k \to \infty} x^{(m_k)} = \eta \in A, denn A ist abgeschlossen. Also gibt es einen Punkt \eta \in A \cap K – im Widerspruch zu A \cap K = \emptyset. Somit muss dist(A,K) > 0 richtig sein.

q.e.d.

[Bearbeiten] Hilfssatz 2 (Ausschöpfungslemma)

Zu jeder offenen Menge \Omega \subset \mathbb{R}^n gibt es eine Folge von Jordan-Bereichen
J_m \subset \Omega,\ m = 1, 2, \ldots mit J_m \to \Omega\ (m \to \infty).

[Bearbeiten] Beweis

Für festes m \in \mathbb{N} betrachten wir den Würfel

W_m := \{x \in \mathbb{R}^n: |x_i| \le m \text{ für } 1 \le i \le n\}.

Wir konstruieren eine gleichmäßige Zerlegung von Wm in die Teilquader Q_k^{(m)} der Seitenlänge \frac{1}{m} gemäß

\mathcal{Z}_m: W_m = \bigcup_{k \in \mathfrak{N}_m} Q_k^{(m)}

vom Feinheitsmaß \|\mathcal{Z}_m\| = \frac{\sqrt{n}}{m}. Man zeigt leicht, dass die Folge von Jordan-Bereichen

(2) J_m := \bigcup_{k \in \mathfrak{N}_m: Q_k^{(m)} \subset \Omega} Q_k^{(m)}, \quad m = 1, 2, \ldots

die offene Menge Ω ausschöpft. Offenbar sind J_m \subset \Omega Jordan-Bereiche und es bleibt (1) zu zeigen: Sei K \subset \Omega eine beliebige kompakte Menge. Dann existiert nach dem Distanzlemma ein \varepsilon > 0, so dass der Abstand zwischen K und \mathbb{R}^n \setminus \Omega die Bedingung dist(K, \mathbb{R}^n \setminus \Omega) \ge 2 \varepsilon realisiert. Wählen wir nun m \in \mathbb{N} so groß, dass die Diagonale des Quaders Q_k^{(m)} eine Länge \frac{\sqrt{n}}{m} \le \varepsilon besitzt, dann finden wir zu jedem x \in K einen Teilquader Q_k^{(m)} \subset \Omega mit x \in Q_k^{(m)} \subset J_m. Also folgt K \subset J_m für alle m \ge \frac{\sqrt{n}}{\varepsilon}.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 3

Es seien \Omega \subset \mathbb{R}^n eine offene Menge und f: \Omega \to \mathbb{C} eine stetige Funktion. Wenn die Folge der Integrale \int\limits_{J_m} f(x)\, dx,\ m = 1, 2, \ldots für jede die Menge Ω ausschöpfende Folge \{J_m\}_{m = 1, 2, \ldots} von Jordan-Bereichen konvergiert, dannn setzen wir
(3) \int\limits_\Omega f(x)\, dx := \lim_{m \to \infty} \int\limits_{J_m} f(x)\, dx
als das uneigentliche Riemannsche Integral von f über Ω.

[Bearbeiten] Satz 1 (Existenz des uneigentlichen Integrals)

Es seien \Omega \subset \mathbb{R}^n eine offene Menge und f: \Omega \to \mathbb{C} eine stetige Funktion. Weiter gebe es eine Konstante c \in [0, + \infty), so dass die Ungleichung
(4) \int\limits_J |f(x)|\, dx \le c für jeden Jordan-Bereich J \subset \Omega
richtig ist. Dann existiert das uneigentliche Integral (3).

[Bearbeiten] Beweis

Wegen Hilfssatz 2 gibt es eine Folge \{J_m\}_{m \in \mathbb{N}} von Jordan-Bereichen, welche die offene Menge Ω ausschöpft. Ersetzen wir ggf. Jm durch \bigcup^m_{k = 1} J_k für m = 1, 2, \ldots, so können wir ohne Einschränkung

J_1 \subset J_2 \subset \ldots \subset \Omega

annehmen. Die Folge der Integrale \int\limits_{J_m} |f(x)|\, dx,\ m = 1, 2, \ldots ist monoton nicht fallend und durch die Konstante c \in [0, + \infty) nach oben beschränkt. Somit konvergiert diese und bildet eine Cauchy-Folge. Zu jedem \varepsilon > 0 gibt es eine natürliche Zahl M = M(\varepsilon) \in \mathbb{N} mit der Eigenschaft

(5) 0 \le \int\limits_{J_m \setminus J_M} |f(x)|\, dx = \int\limits_{J_m} |f(x)|\, dx - \int\limits_{J_M} |f(x)|\, dx \le \varepsilon für alle m \ge M.

Es sei nun \{J_l^*\}_{l \in \mathbb{N}} eine beliebige Folge von Jordan-Bereichen, welche die offene Menge Ω ausschöpft. Da die Menge J_M \subset \Omega kompakt ist, gibt es eine Zahl L = L(\varepsilon) \in \mathbb{N} mit der Eigenschaft J_M \subset J_l^* für alle l \ge L. Also finden wir zu jedem Indexpaar l, l' \ge L ein K > M, so dass die Inklusionsbedingung

(6) J_M \subset J_l^* \cup J_{l'}^* \subset J_K

erfüllt ist. Somit folgt die Abschätzung

(7) \begin{matrix} \left| \int\limits_{J_l^*} f(x)\, dx - \int\limits_{J_{l'}^*} f(x)\, dx \right| \stackrel{(6)}{=} \left| \int\limits_{J_l^* \setminus J_M} f(x)\, dx - \int\limits_{J_{l'}^* \setminus J_M} f(x)\, dx \right| \\ \le \int\limits_{J_l^* \setminus J_M} |f(x)|\, dx + \int\limits_{J_{l'}^* \setminus J_M} |f(x)|\, dx \stackrel{(6)}{\le} 2 \int\limits_{J_K \setminus J_M} |f(x)|\, dx \stackrel{(5)}{\le} 2 \varepsilon. \end{matrix}

Daher bildet \int\limits_{J_l^*} f(x)\, dx,\ l = 1, 2, \ldots eine Cauchy-Folge und ist konvergent. Schließlich existiert der Grenzwert \lim_{l \to \infty} \int\limits_{J_l^*} f(x)\, dx = \int\limits_\Omega f(x)\, dx.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2

Es sei f_k: J \to \mathbb{C},\ k = 1, 2, \ldots eine Folge stetiger Funktionen auf dem Jordan-Bereich J \subset \mathbb{R}^n, die gleichmäßig gegen die Funktion f konvergiere. Dann gilt
(10) \lim_{k \to \infty} \left[ \int\limits_J f_k(x)\, dx \right] = \int\limits_J \left[ \lim_{k \to \infty} f_k(x) \right]\, dx = \int\limits_J f(x)\, dx.

[Bearbeiten] Definition 4

Eine Folge stetiger Funktionen f_k: \Omega \to \mathbb{C},\ k = 1, 2, \ldots konvergiert kompakt gleichmäßig, wenn für jede kompakte Teilmenge K \subset \Omega die eingeschränkten Funktionen f_k: K \to \mathbb{C},\ k = 1, 2, \ldots auf K gleichmäßig konvergieren.

[Bearbeiten] Satz 3 (Konvergenzsatz für uneigentliche Riemann-Integrale)

Auf einer offenen Menge \Omega \subset \mathbb{R}^n sei eine Folge stetiger Funktionen
f_k: \Omega \to \mathbb{C} für k = 1, 2, \ldots
gegeben, die auf jeder kompakten Menge K \subset \Omega gleichmäßig gegen eine stetige Funktion f: \Omega \to \mathbb{C} konvergiert. Weiter habe diese Funktionenfolge eine integrierbare, stetige Majorante
(12) \begin{matrix} F: \Omega \to [0, + \infty) \in C^0(\Omega, \mathbb{R})\ mit\ der\ Eigenschaft \\ \int\limits_\Omega F(x)\, dx < + \infty,\ so\ dass\ |f_k(x)| \le F(x)\ f\ddot ur\ alle\ x \in \Omega\ und\ k \in \mathbb{N} \end{matrix}
erfüllt ist. Dann existiert das uneigentliche Integral \int\limits_\Omega f(x)\, dx und es gilt die Identität
(13) \lim_{k \to \infty} \int\limits_\Omega f_k(x)\, dx = \int\limits_\Omega f(x)\, dx.

[Bearbeiten] Beweis

Aus (12) folgt |f(x)| \le F(x) für alle x \in \Omega und Satz 1 impliziert die Existenz des uneigentlichen Integrals \int\limits_\Omega f_k(x)\, dx für k = 1, 2, \ldots sowie \int\limits_\Omega f(x)\, dx. Zu jedem \varepsilon > 0 existiert eine kompakte Teilmenge K = K(\varepsilon) \subset \Omega mit der Eigenschaft

\int\limits_{\Omega \setminus K} |f_k(x)|\, dx \le \int\limits_{\Omega \setminus K} F(x)\, dx für alle k \in \mathbb{N}

sowie

\int\limits_{\Omega \setminus K} |f(x)|\, dx \le \int\limits_{\Omega \setminus K} F(x)\, dx.

Da die Funktionen f_k: K \to \mathbb{C} für k \to \infty gleichmäßig gegen f: K \to \mathbb{C} konvergieren, gibt es nach Satz 2 eine natürliche Zahl N = N(\varepsilon) mit der folgenden Eigenschaft:

\left| \int\limits_K f_k(x)\, dx - \int\limits_K f(x)\, dx \right| < \varepsilon für alle k \ge N.

Insgesamt erhalten wir für alle k \ge N(\varepsilon) die Abschätzung

(14) \begin{matrix} \left| \int\limits_\Omega f_k(x)\, dx - \int\limits_\Omega f(x)\, dx \right| = \left| \int\limits_{\Omega \setminus K} f_k(x)\, dx + \int\limits_K (f_k(x) - f(x))\, dx - \int\limits_{\Omega \setminus K} f(x)\, dx \right| \\ \\ \le \int\limits_{\Omega \setminus K} |f_k(x)|\, dx + \left| \int\limits_K f_k(x)\, dx - \int\limits_K f(x)\, dx \right| + \int\limits_{\Omega \setminus K} |f(x)|\, dx < 3 \varepsilon \end{matrix}

bei beliebigem \varepsilon > 0. Damit ist die obige Identität (13) gezeigt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 4 (Oszillierende Integrale)

Es sei der Exponent \beta \in (0, + \infty) gewählt. Wenn die stetige Funktion f: [1, + \infty) \to \mathbb{C} eine beschränkte Stammfunktion F(x) := \int^x_1 f(t)\, dt,\ x \ge 1 besitzt, so existiert das uneigentliche Integral
(15) \int^{+ \infty}_1 \frac{f(t)}{t^\beta}\, dt.

[Bearbeiten] Beweis

Für alle x > 1 erhalten wir die Identität

\int^x_1 \frac{f(t)}{t^\beta}\, dt = \int^x_1 t^{-\beta} \cdot f(t)\, dt = [t^{-\beta} \cdot F(t)]^x_{t = 1} + \beta \cdot \int^x_1 \frac{F(t)}{t^{\beta + 1}}\, dt

mittels partieller Integration. Da die Funktion F beschränkt ist gemäß

|F(x)| \le c,\ x \ge 1 mit einer Konstante c > 0,

so ermitteln wir

\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{F(t)}{t^\beta} \right]_{t = 1}^x = \lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{F(x)}{x^\beta} - F(1) \right] = 0.

Weiter entnehmen wir obigem Beispiel 1 die Abschätzung

\int^{+ \infty}_1 \left| \frac{F(t)}{t^{\beta + 1}} \right|\, dt \le c \int^{+ \infty}_1 \frac{dt}{t^{\beta + 1}} < + \infty.

Somit existiert das uneigentliche Integral

\int^{+ \infty}_1 \frac{f(t)}{t^\beta}\, dt = \lim_{x \to +\infty} \int^x_1 \frac{f(t)}{t^\beta}\, dt = \beta \int^{+ \infty}_1 \frac{F(t)}{t^{\beta + 1}}\, dt \in \mathbb{R}.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 5 (Transformationsformel für mehrfache Integrale)

Zu einer festen Dimension n \in \mathbb{N} seien \Omega, \Theta \subset \mathbb{R}^n offene Mengen und
y: \Omega \to \Theta vermöge \Omega \ni (x_1, x_2, \ldots, x_n) \mapsto (y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x)) \in \Theta
eine bijektive Abbildung mit den Eigenschaften y \in C^1(\Omega, \mathbb{R}^n) und
J_y(x) := \det \left( \frac{\partial y_i(x)}{\partial x_k} \right)_{i, k = 1, 2, \ldots, n} \neq 0 für alle x \in \Omega.
Wenn für die stetige Funktion f: \Theta \to \mathbb{C} das uneigentliche Integral \int\limits_\Theta |f(y)|\, dy existiert, dann gilt die Transformationsformel
(16) \int\limits_\Theta |f(y)|\, dy = \int\limits_\Omega (f(y(x))) \cdot |J_y(x)|\, dx.

[Bearbeiten] Beweis

Der Beweis wird in §6 geführt.

[Bearbeiten] Definition 5

Die stetige Funktion
f = f(t) = (f_1(t), f_2(t), \ldots, f_m(t)): I \to \mathbb{R}^m \in C^k(I, \mathbb{R}^m)
auf dem offenen Intervall I: = (a,b) mit - \infty \le a < b \le + \infty definiert eine Ck-Kurve \mathcal{K} := \{x \in \mathbb{R}^m: x = f(t), t \in I\}. Dabei haben wir die Raumdimension m \in \mathbb{N} und den Differenzierbarkeitsgrad k \in \mathbb{N}_0 fest gewählt. Im Falle k = 0 sprechen wir von einer stetigen Kurve; für k \ge 1 erhalten wir eine differenzierbare Kurve. Letztere nennen wir eine reguläre Kurve, falls die folgende geometrische Regularitätsbedingung erfüllt ist:
(20) f'(t) \neq 0 für alle t \in I.

Betrachten wir eine beliebige Zerlegung \mathcal{Z} in I gemäß

(21) \begin{matrix} \mathcal{Z}: a < t_0 < t_1 < \ldots < t_{N - 1} < t_N < b\text{ in }N \in \mathbb{N}\text{ Teilintervalle }[t_{k - 1}, t_k] \mathrm{\ f\ddot ur\ } \\ k = 1, \ldots, N \text{ mit } \bigcup_{k = 1}^N [t_{k - 1}, t_k] = [t_0, t_N] \subset \subset (a, b), \end{matrix}

dann beschreibt L(f, \mathcal{Z}) := \sum_{k = 1}^N |f(t_k) - f(t_{k - 1})| die Länge des zugehörigen Polygonzuges durch die Punkte f(t_0), f(t_1), \ldots, f(t_{N - 1}), f(t_N).

[Bearbeiten] Definition 6

Unter der Länge der Kurve \mathcal{K} verstehen wir die Größe
(22) L(\mathcal{K}) := \sup \{L(f, \mathcal{Z}): \mathcal{Z}\ ist\ eine\ Zerlegung\ in\ I\}.
Falls L(\mathcal{K}) < + \infty ausfällt, sprechen wir von einer rektifizierbaren Kurve.

[Bearbeiten] Satz 6 (Bogenlänge)

Es sei durch f: I \to \mathbb{R}^m eine rektifizierbare C1-Kurve \mathcal{K} gegeben. Dann können wir deren Länge durch das folgende uneigentliche Integral der Bogenlänge berechnen:
(23) L(\mathcal{K}) = \int^b_a |f'(t)|\, dt = \int^b_a \sqrt{\sum^m_{\mu = 1} (f_\mu'(t))^2}\, dt.

[Bearbeiten] Beweis

1. Wir betrachten eine beliebige Zerlegung \mathcal{Z} im Intervall I gemäß (21). Die Länge des zugehörigen Polygonzuges im \mathbb{R}^m entnehmen wir der Identität

(24) \begin{matrix} L(f, \mathcal{Z}) = \sum^N_{k = 1} |f(t_k) - f(t_{k - 1})| = \sum^N_{k = 1} \sqrt{\sum^m_{\mu = 1} \Bigl(f_\mu(t_k) - f_\mu(t_{k - 1}) \Bigr)^2} \\ \\ = \sum^N_{k = 1} (t_k - t_{k - 1}) \cdot \sqrt{\sum^m_{\mu = 1} \left( f'_\mu(\tau_{k \mu}) \right)^2} \\ \\ \text{mit gewissen Zwischenwerten } \tau_{k \mu} \in (t_{k - 1}, t_k) \mathrm{\ f\ddot ur\ }k = 1, \ldots, N \end{matrix}

unter Anwendung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung auf jede Komponente fμ für \mu = 1, \ldots, m. Wir führen die Riemann-integrierbare Funktion

(25) \begin{matrix} \Psi(t) := \sqrt{\sum^m_{\mu = 1} \left( f'_\mu(\tau_{k \mu}) \right)^2} \text{ falls } t \in (t_{k - 1}, t_k) \mathrm{\ f\ddot ur\ } k = 1, \ldots, N \\ \\ \Psi(t) := 0 \text{ falls } t \in (a, b) \setminus \bigcup^N_{k = 1} (t_{k - 1}, t_k) \end{matrix}

ein und erhalten

(26) L(f, \mathcal{Z}) = \int^b_a \Psi(t)\, dt.

2. Wählen wir nun eine Folge von Zerlegungen \mathcal{Z}^{(l)}, l = 1, 2, \ldots in I mit den zugehörigen Funktionen \Psi^{(l)}, l = 1, 2, \ldots, so dass

(27) L(\mathcal{K}) = \lim_{l \to \infty} L(f, \mathcal{Z}^{(l)}) = \lim_{l \to \infty} \int^b_a \Psi^{(l)}(t)\, dt

erreicht wird. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit der Ableitungsfunktion f': I \to \mathbb{R}^n auf jedem kompakten Intervall von I konvergiert dort die Folge \{\Psi^{(l)}\}_{l = 1, 2, \ldots} gleichmäßig gegen die stetige Funktion

\Psi(t) := \sqrt{\sum^m_{\mu = 1} \left( f'_\mu(t) \right)^2}, \quad t \in I.

Zumal wir eine konvergente Majorante angeben können liefert obiger Satz 3

(28) L(\mathcal{K}) = \lim_{l \to \infty} \int^b_a \Psi^{(l)}(t)\, dt = \int^b_a \Psi(t)\, dt

und die Identität (23) ist gezeigt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Bemerkungen

1. Es sei F(\tau) := f(t(\tau)), \tau \in (\alpha, \beta) eine äquivalente Darstellung der Kurve \mathcal{K} mit der bijektiven Parametertransformation t = t(\tau): (\alpha, \beta) \to (a, b) der Klasse C^1((\alpha, \beta), \mathbb{R}) mit t'(τ) > 0 für alle \tau \in (\alpha, \beta). Dann liefert die eindimensionale Transformationsformel

\int^\beta_\alpha |F'(\tau)|\, d\tau = \int^\beta_\alpha |f'[t(\tau)]| \cdot t'(\tau)\, d\tau = \int^b_a |f'(t)|\, dt.

Folglich ist für reguläre Kurven die Länge invariant unter Parametertransformation.
2. Beschreibt man in einem Zylindermantel

\mathcal{M} := \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3: x^2 + y^2 = 1, 0 \le z \le 1\}

Polyederflächen P ein und misst deren elementargeometrischen Flächeninhalt | P | , so wird das Supremum unendlich gemäß

(29) \sup\{|P|: P \text{ ist in } \mathcal{M} \text{ einbeschrieben}\} = + \infty.

Diese erstaunliche Beobachtung verdankt man H. A. Schwarz. Sie macht eine einfache Übertragung von Definition 6 auf die höherdimensionale Situation der Flächenmessung unmöglich.

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