Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Der Existenzsatz von Peano (§4)

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Inhaltsverzeichnis

1 Voraussetzung (a):
2 Satz 1 (Gewöhnliche Regularität)
- 2.1 Beweis
- 2.2 Bemerkung
3 Satz 2 (Auswahlsatz von Arzelà-Ascoli)
- 3.1 Beweis
4 Satz 3 (Existenzsatz von Peano)
- 4.1 Beweis
- 4.2 Beispiel 1: Mehrdeutigkeit beim Anfangswertproblem

[Bearbeiten] Voraussetzung (a):

Seien die Zahl $\xi \in \mathbb{R}$ und der Vektor $\eta = (\eta_1, \ldots, \eta_m) \in \mathbb{R}^m$ mit $m \in \mathbb{N}$ vorgegeben. Zu den festen positiven Konstanten $a, b_1, \ldots, b_m \in (0, + \infty)$ betrachten wir das Rechteck

$R := \{(x, y) = (x, y_1, \ldots, y_m) \in \mathbb{R}^{1 + m}: |x - \xi| \le a, |y_i - \eta_i| \le b_i, i = 1, \ldots, m\}$ .

Hierauf sind die beschränkten, stetigen Funktionen

$f_i = f_i(x, y_1, \ldots, y_m): R \to \mathbb{R} \in C^0(R)$ mit $|f_i| \le M$ in

R

für $i = 1, \ldots, m$ mit der Schranke $M > 0$ gegeben. Wir behandeln im folgenden das Anfangswertproblem: Gibt es eine Größe $h \in (0, a]$ und einmal stetig differenzierbare Funktionen

(1) $y_i = y_i(x): [\xi - h, \xi + h] \to [\eta_i - b_i, \eta_i + b_i]$ für $i = 1, \ldots, m$ ,

die das folgende Differentialgleichungssystem

(2) $y'_i(x) = f_i(x, y_1(x), \ldots, y_m(x)), \quad x \in [\xi - h, \xi + h]$ für $i = 1, \ldots, m$

mit den Anfangsbedingungen

(3)

y i (ξ) = η i

für $i = 1, \ldots, m$

lösen? Dieses Anfangswertproblem können wir mit den Setzungen

(4) $y(x) := \begin{pmatrix} y_1(x) \\ \vdots \\ y_m(x) \end{pmatrix}, \eta := \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \vdots \\ \eta_m \end{pmatrix}; f(x, y) := \begin{pmatrix} f_1(x, y_1, \ldots, y_m) \\ \vdots \\ f_m(x, y_1, \ldots, y_m) \end{pmatrix}$

wie folgt zusammenfassen:

(5) $y'(x) = f(x, y(x)), \quad x \in [\xi - h, \xi + h]; \quad y(\xi) = \eta$ .

Nun stellen sich die folgenden drei Fragen:

Existenz: Gibt es eine Lösung des Anfangswertproblems (1) – (3)?
Eindeutigkeit: Ist diese Lösung eindeutig bestimmt?
Stabilität: Bleibt die Lösung in der Umgebung der ursprünglichen Lösung, falls man die Anfangswerte $η i$ und die rechten Seiten $f i$ etwas stört? Hängt die Lösung sogar differenzierbar von den Anfangswerten ab?

[Bearbeiten] Satz 1 (Gewöhnliche Regularität)

Unter der Voraussetzung (a) sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:

I. Es gibt Funktionen $y_i = y_i(x) \in C^1([\xi - h, \xi + h])$ für $i = 1, \ldots, m$ , die das Anfangswertproblem (1) – (3) lösen.

II. Es gibt Funktionen $y_i = y_i(x) \in C^0([\xi - h, \xi + h])$ für $i = 1, \ldots, m$ , die (1) erfüllen und das Integralgleichungssystem

(6) $y_i(x) = \eta_i + \int^x_\xi f_i(t, y_1(t), \ldots, y_m(t))\, dt, \quad x \in [\xi - h, \xi + h], \quad i = 1, \ldots, m$

lösen.

[Bearbeiten] Beweis

$1. \Longrightarrow 2.$ : Die Funktionen $y_i = y_i(x) \in C^1([\xi - h, \xi + h])$ für $i = 1, \ldots, m$ lösen das Anfangswertproblem (1) – (3); somit erhalten wir durch Integration

$y_i(x) = \eta_i + \int^x_\xi f_i(t, y_1(t), \ldots, y_m(t))\, dt, x \in [\xi - h, \xi + h]$ für $i = 1, \ldots, m$ .

$2. \Longrightarrow 1.$ : Die Funktionen $y i (x)$ lösen (6) für $i = 1, \ldots, m$ . Somit folgt $y_i(x) \in C^1([\xi - h, \xi + h])$ sowie $y i (ξ) = η i$ und Differentiation liefert

$y_i(x) = f_i(x, y_1(x), \ldots, y_m(x)), \quad x \in [\xi - h, \xi + h] \quad$ für $\quad i = 1, \ldots, m$ .

[Bearbeiten] Bemerkung

Wir fassen (6) zusammen zu der Identität

$y(x) = \eta + \int^x_\xi f(t, y(t))\, dt$ .

Wir werden eine Lösung dieser Integralgleichung konstruieren, indem wir diese durch eine Folge von Polygonzügen approximieren. Hierzu benötigen wir den fundamentalen Auswahlsatz von Arzelà-Ascoli,den wir für Funktionen in mehreren Veränderlichen bereitstellen. Eine Indizierung der Komponenten ist hierbei überflüssig, so dass wir jeweils die Folgen eindeutig mit den Indizes kennzeichnen können.

[Bearbeiten] Satz 2 (Auswahlsatz von Arzelà-Ascoli)

Seien die Zahlen $m, n \in \mathbb{N}$ fest und die Menge $K \subset \mathbb{R}^n$ kompakt. Die Funktionenfamilie

$\mathcal{F} := \{f_\iota: K \to \mathbb{R}^m \Bigl| \iota \in J\}$ mit der Indexmenge $J$

sei mit den nachfolgenden Eigenschaften gegeben:

I. Die Menge $\mathcal{F}$ ist gleichmäßig beschränkt, d. h. es gibt eine Konstante $N > 0$ , so dass

$|f_\iota(x)| \le N$ für alle $x \in K$ und alle $\iota \in J$

II. Die Menge $\mathcal{F}$ ist gleichgradig stetig, d. h. zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es ein $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$ mit der Eigenschaft:

$x, y \in K, \quad |x - y| < \delta, \quad \iota \in J, \quad \Longrightarrow |f_\iota(x) - f_\iota(y)| < \varepsilon$ .

Behauptung: Dann enthält $\mathcal{F}$ eine auf der Menge $K$ gleichmäßig konvergente Teilfolge

$g^k(x) \in \mathcal{F}, \quad k = 1, 2, \ldots$ ,

welche gleichmäßig gegen die stetige Funktion

$g(x): K \to \mathbb{R}^m \in C^0(K, \mathbb{R}^m)$

konvergiert.

[Bearbeiten] Beweis

1. Wir zählen die rationalen Gitterpunkte in der kompakten Menge $K$ wie folgt ab:

(7) $K \cap \mathbb{Q}^n = \{q_1, q_2, q_3, \ldots\}$ .

Da die Menge

$\{f_\iota(q_1) \in \mathbb{R}^m: \iota \in J\}$

beschränkt ist, gibt es eine Teilfolge

$f_{11}, f_{12}, f_{13}, \ldots \subset \mathcal{F}$ ,

so dass

$g(q_1) := \lim_{k \to \infty} f_{1k}(q_1)$

existiert. Da wiederum die Menge

$\{f_\iota(q_2) \in \mathbb{R}^m: \iota \in J\}$

beschränkt ist, gibt es eine weitere Teilfolge

$\{f_{2k}\}_{k = 1, 2, 3, \ldots} \subset \{f_{1k}\}_{k = 1, 2, 3, \ldots}$ ,

so dass

$g(q_2) := \lim_{k \to \infty} f_{2k}(q_2)$

existiert. Offenbar gilt weiter

$g(q_1) := \lim_{k \to \infty} f_{2k}(q_1)$ .

Wir konstruieren so eine Folge von Teilfolgen

$\{f_{1k}\}_{k = 1, 2, 3, \ldots} \supset \{f_{2k}\}_{k = 1, 2, 3, \ldots} \supset \ldots$ ,

so dass

$g(q_l) := \lim_{k \to \infty} f_{lk}(q_l)$ für alle $l \in \mathbb{N}$

existiert. Durch den Übergang zur Diagonalfolge

$g^k(x) := f_{kk}(x) \in \mathcal{F}, \quad k = 1, 2, 3, \ldots$

erhalten wir eine Folge mit der Eigenschaft

$g(q_l) := \lim_{k \to \infty} g^k(q_l)$ für alle $l \in \mathbb{N}$ .

2. Wir zeigen nun die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge

$g^k(x): K \to \mathbb{R}^m \in C^0(K, \mathbb{R}^m), \quad k = 1, 2, 3, \ldots$ .

Zu vorgegebenem $\varepsilon > 0$ reichen nach dem Heine-Borelschen Überdeckungssatz endlich viele der offenen Mengen

$U_\delta(q_l) := \{y \in \mathbb{R}^m: |y - q_l| < \delta\}, \quad l \in \mathbb{N}$ mit $\delta = \delta(\varepsilon)$

zur Überdeckung der kompakten Menge $K$ aus, also etwa die offenen Kugeln

U δ (q)

mit $q \in \{q_{l_1}, \ldots, q_{l_p}\} =: Q$ .

Da $Q$ eine endliche Menge ist, gibt es eine Zahl $k_* = k_*(\varepsilon) \in \mathbb{N}$ , so dass

$|g^k(q) - g(q)| < \varepsilon$ für alle $k \ge k_*(\varepsilon)$ und alle $q \in Q$

gilt. Nun folgt für alle $x \in K$ und alle $k, l \ge k_*(\varepsilon)$ die Ungleichung

(8) $|g^k(x) - g^l(x)| \le |g^k(x) - g^k(q)| + |g^k(q) - g^l(q)| + |g^l(q) - g^l(x)| \le \varepsilon + \varepsilon + \varepsilon = 3 \varepsilon$ .

Hierbei haben wir zu $x \in K$ einen Punkt $q \in Q$ mit $| x - q | < δ$ ausgewählt, was wegen der obigen Überdeckungseigenschaft möglich ist. Folglich existiert

$g(x) := \lim_{k \to \infty} g^k(x), \quad x \in K$

und es gilt

$|g(x) - g^l(x)| \le 3 \varepsilon$ für alle $x \in K, \quad l \ge k_*(\varepsilon)$ .

Somit konvergiert $\{g^l\}_{l = 1, 2, 3, \ldots}$ gleichmäßig gegen die stetige Funktion

$g(x), \quad x \in K$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Existenzsatz von Peano)

Sei die Voraussetzung (a) erfüllt und die Größe

$h := \min \left\{ a, \frac{b_1}{M}, \ldots, \frac{b_m}{M} \right\}$

erklärt. Dann gibt es Funktionen

$y_i = y_i(x) \in C^1([\xi - h, \xi + h])$ für $i = 1, \ldots , m$ ,

die das Anfangswertproblem (1), (2), (3) lösen.

[Bearbeiten] Beweis

Offenbar reicht es aus, eine Lösung auf dem Intervall $[ξ,ξ + h]$ zu konstruieren.

1. Sei $\mathcal{Z}: \xi =: x_0 < x_1 < \ldots < x_n := \xi + h$ eine beliebige Zerlegung des Intervalls $[ξ,ξ + h]$ in $n \in \mathbb{N}$ Teilintervalle mit dem Feinheitsmaß

$|\mathcal{Z}| := \max_{k = 1, \ldots, n} |x_k - x_{k - 1}|$ .

Zu dieser Zerlegung $\mathcal{Z}$ konstruieren wir nun den Euler-Cauchyschen Polygonzug

$\mathbf{z}(x) = (z_1(x), \ldots, z_m(x)) = \mathbf{z}^\mathcal{Z}: [\xi, \xi + h] \to \mathbb{R}^m$

wie folgt: Auf dem Intervall $[ξ, x 1]$ definieren wir

$\mathbf{z}(x) := \eta + (x - \xi) f(\xi, \eta), \quad \xi \le x \le x_1$

und wir berechnen

$\mathbf{z}'(x) = f(\xi, \eta), \quad \xi \le x \le x_1$ .

Somit folgt

(9) $|z_i(x) - \eta_i| \le |x - \xi| |f_i(\xi, \eta)| \le h \cdot M \le b_i, \quad x \in [\xi, x_1]$ für $i = 1, \ldots, m$ .

Auf dem Intervall $(x 1, x 2]$ definieren wir

$\mathbf{z}(x) := \mathbf{z}(x_1) + (x - x_1) f(x_1, \mathbf{z}(x_1)), \quad x_1 \le x \le x_2$

und wir berechnen

$\mathbf{z}'(x) = f(x_1, \mathbf{z}(x_1)), \quad x_1 \le x \le x_2$ .

Wir schätzen nun wie folgt ab

(10) $\begin{matrix} |z_i(x) - \eta_i| \le \int^x_\xi |z_i'(t)|\, dt = \int^{x_1}_\xi |f_i(\xi, \eta)|\, dt + \int_{x_1}^x |f_i(x_1, \mathbf{z}(x_1))|\, dt \\ \le M \cdot |x - \xi| \le M \cdot h \le b_i, \quad x \in [x_1, x_2] \mathrm{\ f\ddot ur\ } i = 1, \ldots, m. \end{matrix}$

Wir führen nun das Verfahren fort und enden mit

$\mathbf{z}(x) := \mathbf{z}(x_{n - 1}) + (x - x_{n - 1}) f(x_{n - 1}, \mathbf{z}(x_{n - 1})), \quad x_{n - 1} \le x \le x_n$ .

Wir berechnen

$\mathbf{z}'(x) = f(x_{n - 1}, \mathbf{z}(x_{n - 1})), \quad x_{n - 1} \le x \le x_n$

und schätzen nun wie folgt ab:

(11) $\begin{matrix} |z_i(x) - \eta_i| \le \int^x_\xi |z_i'(t)|\, dt = \int^{x_1}_\xi |f_i(\xi, \eta)|\, dt + \int_{x_{n - 1}}^x |f_i(x_{n - 1}, \mathbf{z}(x_))|\, dt \\ \le M \cdot |x - \xi| \le M \cdot h \le b_i, \quad x \in [x_{n - 1}, x_n] \mathrm{\ f\ddot ur\ } i = 1, \ldots, m. \end{matrix}$

Schließlich erklären wir noch die stückweise konstante Funktion

(12) $\zeta(x) := \left\{ \begin{matrix} \mathbf{z}(x_0), \quad x_0 \le x \le x_1 \\ \mathbf{z}(x_1), \quad x_1 < x \le x_2 \\ \vdots \\ \mathbf{z}(x_{n - 1}), \quad x_{n - 1} < x \le x_n \end{matrix} \right.$ .

2. Wir betrachten nun die Funktionenfamilie

(13) $\mathcal{F} := \{\mathbf{z}(x) = \mathbf{z}^\mathcal{Z}(x): [\xi, \xi + h] \to \mathbb{R}^m | \mathcal{Z} \text{ ist Zerlegung von } [\xi, \xi + h]\}$ .

Wie in Teil 1. zeigt man, dass für jedes $\mathbf{z}(x) = (z_1(x), \ldots, z_m(x)) \in \mathcal{F}$ die Abschätzung

(14) $|z_i(x) - z_i(y)| \le M |x - y|$ für alle $x, y \in [\xi, \xi + h]$ mit $i = 1, \ldots, m$

richtig ist. Somit ist $\mathcal{F}$ eine gleichmäßig beschränkte, gleichgradig stetige Funktionenklasse. Auf Grund von Satz 2 können wir nun eine Zerlegungsfolge $\stackrel{k}{\mathcal{Z}}$ vom Intervall $[ξ,ξ + h]$ mit dem Feinheitsmaß

(15) $|\stackrel{k}{\mathcal{Z}}| \to 0$ für $k \to \infty$

finden, so dass für die zugehörigen Euler-Cauchyschen Polygonzüge

(16) $\mathbf{z}^k(x) := \mathbf{z}^\stackrel{k}{\mathcal{Z}}, \quad x \in [\xi, \xi + h], \quad k = 1, 2, 3, \ldots$

folgendes gilt: Die Funktionenfolge $\{\mathbf{z}^k(x)\}_{k = 1, 2, 3, \ldots}$ konvergiert auf dem Intervall $[ξ,ξ + h]$ gleichmäßig gegen die stetige Funktion

$y(x) := \lim_{k \to \infty} \mathbf{z}^k(x), \quad x \in [\xi, \xi + h]$ .

Die zugehörigen Treppenfunktionen bezeichnen wir mit

$\zeta^k(x): [\xi, \xi + h] \to \mathbb{R}^m, \quad k = 1, 2, 3, \ldots$ .

3. Beachten wir nun die Eigenschaften (14) und (15), so konvergiert die Folge von Treppenfunktionen

(17) $\zeta^k(x) \to y(x)$ gleichmäßig auf dem Intervall

[ξ,ξ + h]

für $k \to \infty$ .

Auf Grund der gleichmäßigen Stetigkeit der Funktionen $f_i: R \to \mathbb{R}$ für $i = 1, \ldots, m$ folgt die gleichmäßige Konvergenz von

(18) $\lim_{k \to \infty} f(t, \zeta^k(t)) = f(t, y(t)), \quad t \in [\xi, \xi + h]$ .

Mit einem Konvergenzsatz für Riemannsche Integrale (siehe Satz 2 aus §5 in Kapitel V) erhalten wir die Identität

(19) $\begin{matrix} y(x) - \eta = \lim_{k \to \infty} (\mathbf{z}^k(x) - \eta) = \lim_{k \to \infty} \int^x_\xi f(t, \zeta^k(t))\, dt \\ = \int^x_\xi \lim_{k \to \infty} f(t, \zeta^k(t))\, dt = \int^x_\xi f(t, y(t))\, dt \end{matrix}$