Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Differentialgleichungen höherer Ordnung (§8)

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Wir werden nun die explizite Differentialgleichung

m

-ter Ordnung $(m \in \mathbb{N})$

(1) $y^{(m)}(x) = f \left( x, y(x), y'(x), \ldots, y^{(m - 1)}(x) \right)$

auf ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung zurückführen.
Sei also $y (x)$ eine Lösung von (1). Dann erhalten wir die Funktionen

$y_1(x) := y(x), y_2(x) := y'(x), y_3(x) := y''(x), \ldots, y_m(x) := y^{(m - 1)}(x)$

und wir erhalten folgendes Differentialgleichungssystem

(2) $\begin{matrix} y_1'(x) = y_2(x) && \\ y_2'(x) = y_3(x) && \\ \vdots && \\ y_m'(x) = y^{(m)}(x) & = & f(x, y_1, \ldots, y_m). \end{matrix}$

Haben wir nun umgekehrt eine Lösung des Systems (2), so erhalten wir mit der Funktion $y (x): = y 1 (x)$ eine Lösung von (1) wie folgt:

$y_2(x) = y'(x), y_3(x) = y_2'(x) = y''(x), \ldots, y_m(x) := y^{(m - 1)}(x),$

$y^{(m)}(x) = f \left( x, y(x), y'(x), \ldots, y^{(m - 1)}(x) \right)$ .

Dem Anfangswertproblem für das System (2) mit den Anfangswerten

$y_i(\xi) = \eta_i \in \mathbb{R}$ für $i = 1, \ldots, m$

entspricht das folgende Anfangswertproblem für die Differentialgleichung $m$ -ter Ordnung

(3) $y^{(m)}(x) = f \left( x, y(x), y'(x), \ldots, y^{(m - 1)}(x) \right), y^{(i - 1)}(\xi) = \eta_i$ für $i = 1, \ldots, m$ .

[Bearbeiten] Satz 1 (Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Differentialgleichungen höherer Ordnung)

Voraussetzungen: Die Funktion $f = f(x, y_1, \ldots, y_m): R \to \mathbb{R}$ ist auf dem Rechtflach

$R := \left\{ (x, y_1, \ldots, y_m) \in ^{1 + m}: |x - \xi| \le a, |y_i - \eta_i| \le b_i\ f\ddot ur\ i = 1, \ldots, m \right\}$

stetig und erfüllt $|f(x, y)| \le M$ für alle $(x, y) \in R$ . Dabei sind $\xi \in \mathbb{R}, \eta = (\eta_1,\ldots, \eta_m)^* \in \mathbb{R}^m$ und $a, b_1, \ldots, b_m \in (0, +\infty)$ sowie $M \in (0, +\infty)$ gewählt worden. Weiter erklären wir die Größen

$M^* := \max\{M, b_2 + |\eta_2|, \ldots, b_m + |\eta_m|\}$ und $h := \min \left\{ a, \frac{b_1}{M^*}, \ldots, \frac{b_m}{M^*} \right\}$ .

Behauptung: Dann gibt es eine Funktion $y = y(x) \in C^m((\xi - h, \xi + h))$ mit der Eigenschaft

$\left( x, y(x), y'(x), \ldots, y^{(m - 1)}(x) \right) \in R$ für alle $x \in (\xi - h, \xi + h)$ ,

welche das Anfangswertproblem

(4) $\begin{matrix} y^{(m)}(x) = f\left( x, y(x), y'(x), \ldots, y^{(m - 1)}(x) \right), \quad x \in (\xi - h, \xi + h) \\ y^{(i - 1)}(\xi) = \eta_i, \quad i = 1, \ldots, m \end{matrix}$

für die Differentialgleichung $m$ -ter Ordnung zu den Anfangswerten $\eta_1, \ldots, \eta_m$ löst.

Zusatz: Genügt zusätzlich die rechte Seite $f$ der Lipschitzbedingung

(5) $\begin{matrix} |f(x, \tilde{y}_1, \ldots, \tilde{y}_m) - f(x, y_1, \ldots, y_m)| \le L \sum^m_{k = 1} |\tilde{y}_k - y_k| \\ f\ddot ur\ alle\ Punkte (x, y_1, \ldots, y_m), (x, \tilde{y}_1, \ldots, \tilde{y}_m) \in R \end{matrix}$

mit einer Lipschitzkonstante $L \in (0, +\infty)$ , so ist die Lösung des Anfangswertproblems (4) eindeutig bestimmt.

[Bearbeiten] Beweis

Wir betrachten das dem AWP (4) zugehörige System

$y_i'(x) = g_i(x, y_1, \ldots, y_m), \quad y_i(\xi) = \eta_i$ für $i = 1, \ldots, m$

mit den rechten Seiten $g_i(\ldots) := y_{i + 1}$ für $i = 1, \ldots, m - 1$ und $g_m := f(x, y_1, \ldots, y_m)$ . Die Funktionen $g i$ sind in $R$ stetig und es gilt auf $R$ die Ungleichung

$|g_i| \le \max\{b_2 + |\eta_2|,\ldots, b_m + |\eta_m|, M\} = M^*$ für $i = 1, \ldots, m$ .

Somit liefert der Peanosche Existenzsatz eine Lösung des Systems auf dem Intervall $(ξ - h,ξ + h)$ . Mit den obigen Vorbetrachtungen erhalten wir dann eine Lösung des AWP (4). Erfüllt nun $f$ zusätzlich die Lipschitzbedingung (5), so folgt

$|g_i(x, \tilde{y}_1, \ldots, \tilde{y}_m) - g_i(x, y_1, \ldots, y_m)| \le (L + 1) \sum^m_{k = 1} |\tilde{y}_k - y_k|$

für alle $(x, y_1, \ldots, y_m), (x, \tilde{y}_1, \ldots, \tilde{y}_m) \in R$ und $i = 1, \ldots, m$ . Nach dem Eindeutigkeitssatz für Systeme erhalten wir dann auch Eindeutigkeit für das Anfangswertproblem höherer Ordnung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Reduktion der Ordnung bei Differentialgleichungen $F \left( y, \frac{dy}{dx}, \ldots, \frac{d^my}{dx^m} \right) = 0$

Ist $y'(x) \neq 0$ erfüllt, so können wir gemäß $x = x (y)$ auflösen. Wir erhalten dann

$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x(y)} = \left. y' \right|_{x(y)} = p(y) \Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx} = \frac{dp}{dy} p \Rightarrow \ldots$

$\Rightarrow \frac{d^my}{dx^m} = \Pi \left( p, \frac{dp}{dy}, \ldots, \frac{d^{m - 1}p}{dy^{m - 1}} \right)$ mit einem gewissen Polynom

Π

$\Rightarrow 0 = \tilde F \left( y, p(y), \ldots, \frac{d^{m - 1}p}{dy^{m - 1}} \right)$ .

In dieser Gleichung ist die Ordnung um eins reduziert. Haben wir $p = p (y)$ ermittelt, dann lösen wir $\frac{dy}{dx} = p(y)$ durch Trennung der Variablen. Man nennt diese Differentialgleichungen auch autonom, da sie die Variable $x$ nicht explizit enthalten.

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[Bearbeiten] Satz 1 (Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Differentialgleichungen höherer Ordnung)

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Reduktion der Ordnung bei Differentialgleichungen $F \left( y, \frac{dy}{dx}, \ldots, \frac{d^my}{dx^m} \right) = 0$

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