Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Elementar integrierbare Differentialgleichungen erster Ordnung (§3)

Aus Wikiversity

< Kurs:Analysis II | Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiel 1: Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
2 Beispiel 2: Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen
3 Definition 1
4 Satz 1 (Einfachverhältnis)
5 Satz 2 (Doppelverhältnis)
- 5.1 Beweis

[Bearbeiten] Beispiel 1: Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

Wir betrachten die Differentialgleichung

(1) $A_1(x) A_2(y)\, dx + B_1(x) B_2(y)\, dy = 0$ mit $A_2(y) \neq 0$ und $B_1(x) \neq 0$

mit den stetigen Koeffizientenfunktionen $A 1 (x), A 2 (y), B 1 (x), B 2 (y)$ . Mit Hilfe des integrierenden Faktors

$M(x, y) := \frac{1}{A_2(y) B_1(x)}$

erhalten wir die exakte Differentialgleichung

(2) $\frac{A_1(x)}{B_1(x)}\, dx + \frac{B_2(y)}{A_2(y)}\, dy = 0$ .

Die Stammfunktion erhalten wir dann durch Integration nämlich

(3) $M(x, y) := \int \frac{A_1(x)}{B_1(x)}\, dx + \int \frac{B_2(y)}{A_2(y)}\, dy$ .

Die implizite Form der Lösung wird durch die Niveaulinien

F (x, y) = c o n s t

dargestellt.

[Bearbeiten] Beispiel 2: Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen

Wir betrachten Differentialgleichungen des Typs

(4) $y'(x) = f \left( \frac{y(x)}{x} \right)$

mit der stetigen Funktion $f$ . Diese bringen wir in die Form

(5) $dy - f \left( \frac{y}{x} \right)\, dx = 0$ .

Wir verwenden die Substitution

$u(x) := \frac{y(x)}{x}, x > 0$

und erhalten die Differentialgleichung

(6)

u (x) + x u'(x) = y'(x) = f (u (x))

bzw.

(7) $(u - f(u))\, dx + x\, du = 0$ .

Nun ist

$M(x, u) := \frac{1}{x (u - f(u))}$

ein integrierender Faktor und die Differentialgleichung

(8) $\frac{dx}{x} + \frac{du}{u - f(u)} = 0$

wird exakt. Letztere können wir gemäß Beispiel 1 lösen. Schließlich ist

(9) $M(x, y) := \frac{1}{x f \left( \frac{y}{x} \right) - y}$

ein integrierender Faktor der ursprünglichen Differentialgleichung (5).

[Bearbeiten] Definition 1

Eine Funktion $f = f(x, y): \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}$ heißt homogen vom Grade $k \in \mathbb{R}$ , wenn für alle $λ > 0$ und alle Punkte $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ die Beziehung

f (λ x,λ y) = λ k f (x, y)

erfüllt ist.

[Bearbeiten] Beispiel 3: Homogene Differentialgleichungen

Sei nun die Differentialgleichung

(10) $\begin{matrix} P(x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0 \text{ mit den vom gleichen Grade } k \in \mathbb{R} \\ \text{homogenen Funktionen } Q(x, y) \text{ und } P(x, y)\end{matrix}$

gegeben. Falls $Q \neq 0$ und $x > 0$ gilt, ist diese Differentialgleichung äquivalent zu

$\frac{dy}{dx} = - \frac{P(x, y)}{Q(x, y)} = - \frac{x^kP(1, \frac{y}{x})}{x^kQ(1, \frac{y}{x})} = - \frac{P(1, \frac{y}{x})}{Q(1, \frac{y}{x})} =: f\left( \frac{y}{x} \right)$

bzw.

$dy - f\left( \frac{y}{x} \right)\, dx = 0$ .

Gemäß Beispiel 2 haben wir den integrierenden Faktor

$\tilde{M}(x, y) = \frac{1}{x f \left( \frac{y}{x} \right) - y} = \frac{1}{- x \frac{P(x, y)}{Q(x, y)} - y} = \frac{- Q(x, y)}{x P(x, y) + y Q(x, y)}$

für unsere Differentialgleichung

$0 = dy - f\left( \frac{y}{x} \right)\, dx = dy + \frac{P(x, y)}{Q(x, y)}\, dx$ .

Folglich ist die Differentialgleichung

$\frac{-Q(x, y)}{x P(x, y) + y Q(x, y)}\, dy + \frac{-P(x, y)}{x P(x, y) + y Q(x, y)}\, dx = 0$

exakt. Wir erhalten mit

(11) $M(x, y) = \frac{1}{x P(x, y) + y Q(x, y)}$

einen integrierenden Faktor der homogenen Differentialgleichung (10).

[Bearbeiten] Beispiel 4: Differentialgleichungen der Form $y'(x) = f\left( \frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2} \right)$

Dabei sind $a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2$ reelle Koeffizienten. Wir betrachten die folgenden beiden Möglichkeiten:

[Bearbeiten] 1. Fall:

(12) $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$ .

Es existiert nun ein Punkt $(\xi, \eta) \in \mathbb{R}^2$ , der das eindeutig lösbare Gleichungssystem

(13) $\begin{matrix} a_1\xi + b_1\eta + c_1 = 0 \\ a_2\xi + b_2\eta + c_2 = 0 \end{matrix}$

löst. Aus (13) folgt mit den neuen Variablen $u : = x - ξ, v : = y - η$ das System

(14) $\begin{matrix} a_1u + b_1v = a_1x + b_1y + c_1 \\ a_2u + b_2v = a_2x + b_2y + c_2. \end{matrix}$

Wir erhalten die Differentialgleichung

(15) $\frac{dv}{du} = f \left( \frac{a_1u + b_1v}{a_2u + b_2v} \right) = f \left( \frac{a_1 + b_1 \frac{v}{u}}{a_2 + b_2 \frac{v}{u}} \right) =: g \left( \frac{v}{u} \right)$ ,

welche sich gemäß Beispiel 2 lösen lässt.

[Bearbeiten] 2. Fall

(16) $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$ .

Insofern $b 1 = b 2 = 0$ erfüllt ist, erhalten wir die sofort integrierbare Differentialgleichung

$y'(x) = f\left( \frac{a_1 x + c_1}{a_2 x + c_2} \right)$ .

Sei anderenfalls o. B. d. A. $b_1 \neq 0$ richtig und wir erhalten $a_2 = a_1b_2 \frac{1}{b_1}$ . Dieses liefert die Identitäten

(17) $\begin{matrix} a_1x + b_1y + c_1 = b_1 \left( \frac{a_1}{b_1} x + y \right) + c_1 \\ a_2x + b_2y + c_2 = b_2 \left( \frac{a_1}{b_1} x + y \right) + c_2. \end{matrix}$

Mit der Substitution $\omega = \frac{a_1}{b_1} x + y$ erhalten wir die Differentialgleichung

(18) $\frac{d \omega}{dx} = \frac{a_1}{b_1} + f\left( \frac{b_1 \omega + c_1}{b_2 \omega + c_2} \right) =: g(\omega)$ .

Wir erhalten die Gleichung $dx = \frac{d \omega}{g(\omega)}$ , die wir gemäß $x = \int \frac{d \omega}{g(\omega)}$ integrieren.

[Bearbeiten] Beispiel 5: Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Wir betrachten die Differentialgleichung

(19)

y'(x) + a (x) y (x) + b (x) = 0

mit stetigen Koeffizienten

a (x)

und

b (x)

.

Wir geben zwei Methoden zu ihrer Lösung an.

[Bearbeiten] 1. Methode: Integrierender Faktor

Wir schreiben die Differentialgleichung in die Form

(20) $P(x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$ mit

P (x, y): = a (x) y + b (x)

und

Q (x, y): = 1

.

Mit dem integrierenden Faktor

M (x) = exp(φ(x))

wollen wir die Differentialgleichung (20) exakt machen. Somit erfüllt $M$ die Bedingung

$0 = \frac{M_x}{M} Q - \frac{M_y}{M} P + (Q_x - P_y) = [\log M]_x Q - a(x) = \phi_x - a(x)$

und wir erhalten

$\phi(x) = \int a(x)\, dx$ sowie $M(x) = \exp \left[ \int a(x)\, dx \right]$ .

Die Differentialgleichung

(21) $[a(x)y + b(x)] \exp \left[ \int a(x)\, dx \right]\, dx + \exp \left[ \int a(x)\, dx \right]\, dy = 0$

ist dann exakt. Wir suchen nun eine Stammfunktion $F (x, y)$ , welche folgende Gleichungen erfüllt:

(22) $F_x(x, y) = [a(x)y + b(x)] \exp \left[ \int a(x)\, dx \right]$ und $F_y(x, y) = \exp \left[ \int a(x)\, dx \right]$ .

Hier integrieren wir zunächst die zweite Gleichung und erhalten

$F(x, y) = y \cdot \exp \left[ \int a(x)\, dx \right] + f(x)$

mit der unbestimmten Funktion $f (x)$ . Mit Hilfe der ersten Gleichung in (22) ermitteln wir

$f'(x) = F_x(x, y) - y \cdot a(x) \exp \left[ \int a(x)\, dx \right] = b(x) \exp \left[ \int a(x)\, dx \right]$

und schließlich

$f(x) = \int \left\{ b(x) \exp \left[ \int a(x)\, dx \right] \right\}\, dx$ .

Wir erhalten mit

(23) $F(x, y) = y \cdot \exp \left[ \int a(x)\, dx \right] + \int \left\{ b(x) \exp \left[ \int a(x)\, dx \right] \right\}\, dx$

eine Stammfunktion der Differentialgleichung (21). Die Gesamtheit der Lösungen erhalten wir als Niveaulinien $F (x, y) = c$ wie folgt

(24) $y = c \cdot \exp \left[- \int a(x)\, dx \right] - \exp \left[- \int a(x)\, dx \right] \cdot \int \left\{ b(x) \exp \left[ \int a(x)\, dx \right] \right\}\, dx$ ,

mit einer Konstante $c \in \mathbb{R}$ . Dabei stellt der erste Summand auf der rechten Seite die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung

y'(x) + a (x) y (x) = 0

dar, während der zweite Summand eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

y'(x) + a (x) y (x) + b (x) = 0

angibt.

[Bearbeiten] 2. Methode: Variation der Konstanten

Wir betrachten zunächst die homogene Differentialgleichung

(25)

y'(x) + a (x) y (x) = 0

,

die wir in

$[\log y(x)]' = \frac{y'(x)}{y(x)} = - a(x)$

umformen und gemäß

$\log y(x) = - \int a(x)\, dx$

integrieren. Wir erhalten die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung (25) wie oben in der Gestalt

(26) $y(x) = c \cdot y_0(x)$ mit $y_0(x) := \exp \left[ - \int a(x)\, dx \right]$ und beliebigem $c \in \mathbb{R}$ .

Zur Lösung der inhomogenen Gleichung

(27)

y'(x) + a (x) y (x) + b (x) = 0

machen wir den Ansatz der Variation der Konstanten

$y(x) = c(x) \cdot y_0(x)$ mit der Funktion

c = c (x)

.

Wir ermitteln

(28) $\begin{matrix} 0 = [c(x) \cdot y_0(x)]' + a(x)c(x) \cdot y_0(x) + b(x) \\ = c'(x) \cdot y_0(x) + c(x) \cdot y_0'(x) + a(x)c(x) \cdot y_0(x) + b(x) \\ = c'(x) \cdot y_0(x) + c(x) (y_0'(x) + a(x) \cdot y_0(x)) + b(x) = c'(x) \cdot y_0(x) + b(x) \end{matrix}$

bzw.

$c'(x) = - b(x) \cdot \exp \left[ \int a(x)\, dx \right]$

und schließlich

$c'(x) = - \int \left\{ b(x) \cdot \exp \Bigl[ \int a(x)\, dx \Bigr] \right\}\, dx$ .

Mit

(29) $y_1(x) = - \exp \Bigl[ - \int a(x)\, dx \Bigr] \cdot \int \left\{ b(x) \cdot \exp \Bigl[ \int a(x)\, dx \Bigr] \right\}\, dx$

erhalten wir eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (27). Nun stellt

$\mathcal{L}(y) := y'(x) + a(x)y(x)$

einen linearen Differentialoperator erster Ordnung dar, d. h.

$\mathcal{L}(\alpha y + \beta z) = \alpha \mathcal{L}(y) + \beta \mathcal{L}(z)$ für alle $y(x), z(x) \in C^1(I)$ und $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ .

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung (27) erhalten wir durch Superposition wie folgt

(30)

y (x): = y 1 (x) + c y 0 (x)

mit beliebigem $c \in \mathbb{R}$ .

[Bearbeiten] Satz 1 (Einfachverhältnis)

Sind $z j (x)$ – mit $j = 1,2,3$ – drei Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung (27), so ist das Einfachverhältnis

$\frac{z_3(x) - z_1(x)}{z_2(x) - z_1(x)} = const, \quad x \in I$

in diesem Sinne konstant.

[Bearbeiten] Beweis

Für die drei Lösungen gilt die Darstellung

$z_j(x) = y_1(x) + c_j \cdot y_0(x)$ mit den Konstanten $c_j \in \mathbb{R}, j = 1,2,3$ .

Somit folgt

$\frac{z_3(x) - z_1(x)}{z_2(x) - z_1(x)} = \frac{(c_3 - c_1) \cdot y_0}{(c_2 - c_1) \cdot y_0} = \frac{c_3 - c_1}{c_2 - c_1} =: const$ .

[Bearbeiten] Beispiel 6: Die Bernoullische Differentialgleichung

Wir betrachten nun die Bernoullische Differentialgleichung

(31)

y'(x) + a (x) y (x) + b (x) y (x) n = 0

mit dem Exponenten $n \in \mathbb{Z}$ .

Im Falle $n = 0$ stellt dies eine inhomogene lineare Differentialgleichung dar, während wir im Falle $n = 1$ eine homogene lineare Differentialgleichung erhalten. Ist nun $n \in \mathbb{Z} \setminus \{0, 1\}$ erfüllt, so können wir die Differentialgleichung (31) mittels einer nichtlinearen Transformation auf eine lineare Differentialgleichung zurückführen. Hierzu multiplizieren wir (31) mit der Funktion $y (x) - n$ und erhalten

(32)

y (x) - n y'(x) + a (x) y (x) 1 - n + b (x) = 0

.

Wir verwenden nun die Substitution

$z(x) := \frac{1}{1 - n} y(x)^{1 - n}$

und erhalten mit

(33)

z'(x) + (1 - n) a (x) z (x) + b (x) = 0

eine lineare Differentialgleichung für $z = z (x)$ . Deren Lösung können wir gemäß Beispiel 5 ermitteln und führen schließlich eine Resubstitution durch.

[Bearbeiten] Beispiel 7: Die Riccatische Differentialgleichung

Zum Abschluss dieses Paragraphen betrachten wir die folgende Differentialgleichung

(34)

y'(x) + a (x) y (x) 2 + b (x) y (x) + c (x) = 0

mit stetigen

a (x), b (x), c (x)

.

Diese Riccatische Differentialgleichung reduziert sich für $a = 0$ auf eine lineare und für $c = 0$ auf eine Bernoullische Differentialgleichung, welche über die Substitution

$z(x) = \frac{- 1}{y(x)}$

wiederum auf eine lineare Differentialgleichung führt. Haben wir bereits eine partikuläre Lösung $y 0 (x)$ der Riccatischen Differentialgleichung (34) gefunden, so ermitteln wir alle weiteren Lösungen mit dem folgenden Ansatz

y (x) = y 0 (x) + u (x)

.

Wir berechnen

(35) $\begin{matrix} 0 = y'(x) + a(x)y(x)^2 + b(x)y(x) + c(x) \\ = y_0'(x) + u'(x) + a(x)y_0(x)^2 + 2a(x)u(x)y_0(x) + a(x)u(x)^2 + b(x)y_0(x) \\ +\, b(x)u(x) + c(x) = u'(x) + 2a(x)u(x)y_0(x) + a(x)u(x)^2 + b(x)u(x) \\ = u'(x) + [2a(x)y_0(x) + b(x)] u(x)+ a(x)u(x)^2 \end{matrix}$

Somit genügt $u (x)$ einer Bernoullischen Differentialgleichung; die Riccatische Differentialgleichung (34) wird also lösbar, sofern wir bereits eine partikuläre $y 0 (x)$ kennen.

[Bearbeiten] Satz 2 (Doppelverhältnis)

Sind $z j (x)$ – mit $j = 1,2,3,4$ – vier paarweise verschiedene Lösungen der Riccatischen Differentialgleichung (34), so ist das Doppelverhältnis

$\frac{z_4(x) - z_2(x)}{z_4(x) - z_1(x)} : \frac{z_3(x) - z_2(x)}{z_3(x) - z_1(x)} = const, \quad x \in I$

in diesem Sinne konstant.

[Bearbeiten] Beweis

Wir erhalten mit den Funktionen

$\frac{-1}{z_4(x) - z_1(x)}, \frac{-1}{z_3(x) - z_1(x)}, \frac{-1}{z_2(x) - z_1(x)}$

drei paarweise verschiedene Lösungen der zugehörigen linearen Differentialgleichung. Satz 1 liefert die gesuchte Identität

(36) $\frac{\frac{1}{z_4(x) - z_1(x)} - \frac{1}{z_2(x) - z_1(x)}}{\frac{1}{z_3(x) - z_1(x)} - \frac{1}{z_2(x) - z_1(x)}} = \frac{z_2 - z_4}{(z_4 - z_1) (z_2 - z_1)} : \frac{z_2 - z_3}{(z_3 - z_1) (z_2 - z_1)}$ $= \frac{z_2(x) - z_4(x)}{z_4(x) - z_1(x)} : \frac{z_2(x) - z_3(x)}{z_3(x) - z_1(x)}, \quad x \in I$ .

q.e.d.

Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Elementar integrierbare Differentialgleichungen erster Ordnung (§3)

Aus Wikiversity

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Beispiel 1: Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

[Bearbeiten] Beispiel 2: Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen

[Bearbeiten] Definition 1

[Bearbeiten] Beispiel 3: Homogene Differentialgleichungen

[Bearbeiten] Beispiel 4: Differentialgleichungen der Form $y'(x) = f\left( \frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2} \right)$

[Bearbeiten] 1. Fall:

[Bearbeiten] 2. Fall

[Bearbeiten] Beispiel 5: Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

[Bearbeiten] 1. Methode: Integrierender Faktor

[Bearbeiten] 2. Methode: Variation der Konstanten

[Bearbeiten] Satz 1 (Einfachverhältnis)

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Beispiel 6: Die Bernoullische Differentialgleichung

[Bearbeiten] Beispiel 7: Die Riccatische Differentialgleichung

[Bearbeiten] Satz 2 (Doppelverhältnis)

[Bearbeiten] Beweis

Ansichten

Persönliche Werkzeuge

Suche

Navigation

Aktuell

Werkzeuge