Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Exakte Differentialgleichungen (§2)

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Inhaltsverzeichnis

1 Definition 1
- 1.1 Bemerkungen
2 Definition 2
3 Definition 3
4 Satz 1
- 4.1 Beweis
5 Satz 2 (Integrabilitätsbedingung)
- 5.1 Beweis
- 5.2 Bemerkungen
6 Definition 4
- 6.1 Beispiel 1: Multiplikator der Form M = M(x)

[Bearbeiten] Definition 1

In einer offenen Umgebung $U$ eines Punktes $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ seien die Funktionen $P (x, y)$ und $Q (x, y)$ der Klasse $C^1(U, \mathbb{R})$ mit der Eigenschaft

(1) $P (x, y) 2 + Q (x, y) 2 > 0$ für alle Punkte $(x, y) \in U$

gegeben. Unter der Lösung einer regulären Differentialgleichung

(2) $P(x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$ für alle Punkte $(x, y) \in U$

verstehen wir eine reguläre Kurve

$X(t) = (x(t), y(t)): I \to U$

auf dem Intervall $I : = [t -, t +]$ der Klasse $C^1(I, \mathbb{R}^2)$ , welche die Gleichung

(3) $P (x (t), y (t)) x'(t) + Q (x (t), y (t)) y'(t) = 0$ für alle Parameter $t \in I$

erfüllt; dabei ist $- \infty < t^- < t^+ < + \infty$ richtig.

[Bearbeiten] Bemerkungen

1. Das Lösen der Differentialgleichung (2) bedeutet also, reguläre Kurven

$X(t) = (x(t), y(t)): I \to U$

so zu finden, dass ihr Tangentialvektor

$X'(t) = (x'(t), y'(t)): I \to U$

orthogonal zum vorgegebenem Vektorfeld $(P (x, y), Q (x, y))$ im Punkt $X (t) = (x (t), y (t))$ steht.
2. Nach eventueller Drehung der $x, y$ -Ebene können wir die Lösungskurve lokal in der Form

$X(x) = (x, y(x)), \quad x \in [x^-, x^+] := I$

darstellen. Wir erhalten dann die Differentialgleichung

P (x, y (x)) + Q (x, y (x)) y'(x) = 0

für alle $x \in I$ .

Falls $Q \neq 0$ erfüllt ist, erscheint letztere äquivalent zur folgenden expliziten Differentialgleichung erster Ordnung

(4) $y'(x) = - \frac{P(x, y(x))}{Q(x, y(x))} =: f(x, y(x)), \quad x \in I$ .

3. Auch wenn die Lösungskurve nicht als Graph über der $x, y$ -Ebene darstellbar ist, behält die Differentialgleichung (2) ihre Bedeutung.

[Bearbeiten] Definition 2

Ist in einem Punkt $(x_0, y_0) \in U$ die Gleichung

(P (x 0, y 0), Q (x 0, y 0)) = (0,0)

erfüllt, so nennen wir $(x 0, y 0)$ einen singulären Punkt der Differentialgleichung (2).

[Bearbeiten] Definition 3

Die reguläre Differentialgleichung (2)

$P(x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$ in $U$

heißt exakt, wenn das Vektorfeld

$V(x, y) := (P(x, y), Q(x, y)): U \to \mathbb{R}^2$

auf der offenen Menge $U$ eine Stammfunktion $F: U \to \mathbb{R}$ der Klasse $C 2 (U)$ mit der Eigenschaft

$V = grad\, F$ in $U$

besitzt. Dann gilt also

(5) $F x (x, y) = P (x, y)$ und $F y (x, y) = Q (x, y)$ für alle $(x, y) \in U$ .

[Bearbeiten] Satz 1

Sei die reguläre, exakte Differentialgleichung (2) in der offenen Menge $U \subset \mathbb{R}^2$ mit der Stammfunktion $F = F(x, y) \in C^2(U)$ gegeben. Dann ist die reguläre Kurve

$X(t) = (x(t), y(t)): I \to U$

auf dem Intervall $I : = [t -, t +]$ der Klasse $C^1(I, \mathbb{R}^2)$ eine Lösung der Differentialgleichung genau dann, wenn

$F (x (t), y (t)) = c o n s t$ für alle $t \in I$

gilt.

[Bearbeiten] Beweis

1. Sei $X(t) = (x(t), y(t)): I \to U$ auf dem Intervall $I : = [t -, t +]$ eine Lösung der Differentialgleichung (2). Dann folgt

$\begin{matrix} 0 = P(x(t), y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t))y'(t) \\ = F_x(x(t), y(t))x'(t) + F_y(x(t), y(t))y'(t) = \frac{d}{dt} F(x(t), y(t)). \end{matrix}$

Also folgt

F (x (t), y (t)) = c o n s t

für alle $t \in I$ .

2. Sei

F (x (t), y (t)) = c o n s t

für alle $t \in I$

erfüllt. Dann erhalten wir durch Differentiation

0 = F x (x (t), y (t)) x'(t) + F y (x (t), y (t)) y'(t) = P (x (t), y (t)) x'(t) + Q (x (t), y (t)) y'(t)

.

Somit löst $X (t)$ die Differentialgleichung (2).

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Integrabilitätsbedingung)

Seien der Punkt $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ und das Rechteck

$U := \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x \in (x_0 - \alpha, x_0 + \alpha), y \in (y_0 - \beta, y_0 + \beta)\}$

mit den halben Kantenlängen $α,β > 0$ gegeben. Weiter sei die reguläre Differentialgleichung

$P(x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$ für alle $(x, y) \in U$

auf diesem Rechteck erklärt. Dann ist diese Differentialgleichung genau dann exakt, wenn die Integrabilitätsbedingung

(6) $Q x (x, y) = P y (x, y)$ in $U$

erfüllt ist.

[Bearbeiten] Beweis

1. Sei die Funktion (2) exakt in $U$ . Gemäß Definition 3 existiert dann eine Stammfunktion $F: U \to \mathbb{R}$ der Klasse $C 2 (U)$ mit der Eigenschaft

F x (x, y) = P (x, y)

und

F y (x, y) = Q (x, y)

für alle $(x, y) \in U$

Wir erhalten die Identität

Q x (x, y) = F x y (x, y) = F y x (x, y) = P y (x, y)

für alle $(x, y) \in U$

und somit

Q x (x, y) = P y (x, y)

für alle $(x, y) \in U$ .

2. Sei $Q x (x, y) = P y (x, y)$ in $U$ erfüllt. Wir erklären nun die Funktion

$F(x, y) := \int^x_{x_0} P(t, y_0)\, dt + \int^y_{y_0} P(x, t)\, dt$ für alle $(x, y) \in U$ .

Wir differenzieren dann nach der oberen Grenze und erhalten

$F_x(x, y) = P(x, y_0) + \int^y_{y_0} Q_x(x, t)\, dt = P(x, y_0) + \int^y_{y_0} P_y(x, t)\, dt$

$= P(x, y_0) + \left( P(x, y) - P(x, y_0) \right) = P(x, y)$ in

U

.

Weiter gilt

F y (x, y) = Q (x, y)

in

U

.

Damit folgt $F(x, y) \in C^2(U)$ und

$\nabla F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))$ in

U

.

3. Wir berechnen nun noch

$\frac{d}{dx} \int^y_{y_0} Q(x, t)\, dt = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon} \left\{ \int^y_{y_0} Q(x + \varepsilon, t)\, dt - \int^y_{y_0} Q(x, t)\, dt \right\}$

$= \lim_{\varepsilon \to 0} \left\{ \frac{1}{\varepsilon} \int^y_{y_0} [Q(x + \varepsilon, t) - Q(x, t)]\, dt \right\}$ .

Unter Beachtung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung folgt mit einem Zwischenwert $\varepsilon_t \in (0, \varepsilon)$ für jedes $t \in [y_0, y]$ die Identität

$\frac{d}{dx} \int^y_{y_0} Q(x, t)\, dt = \lim_{\varepsilon \to 0} \left\{ \frac{1}{\varepsilon} \int^y_{y_0} \varepsilon Q_x(x + \varepsilon, t)\, dt \right\}$

$= \lim_{\varepsilon \to 0} \left\{ \int^y_{y_0} Q_x(x + \varepsilon_t, t)\, dt \right\} = \int^y_{y_0} Q_x(x, t)\, dt$ .

Da $Q_x(x + \varepsilon_t, t)$ gleichmäßig auf dem Intervall $[y 0, y]$ für $\varepsilon \to 0$ gegen die Funktion $Q x (x, t)$ konvergiert, kann nach Satz 2 aus Kapitel V, §6 die Integration mit dem Limes vertauscht werden.

q.e.d.

[Bearbeiten] Bemerkungen

1. Wir haben die Stammfunktion $F$ durch Integration über einen bestimmten rechteckigen Weg erhalten. Wir erhalten auch eine Stammfunktion durch die folgende Integration:

$F(x, y) = \int^y_{y_0} Q(x_0, t)\, dt + \int^x_{x_0} P(t, y)\, dt$ .

Wenn wir die Theorie der Kurvenintegrale zur Hilfe nehmen, kann man die Stammfunktion auch durch Integration über einen beliebigen Weg in $U$ vom Punkt $(x 0, y 0)$ zum Punkt $(x, y)$ berechnen. Dann kann man Satz 2 auch auf beliebige einfach zusammenhängende Gebiete verallgemeinern. Wir können die nichtlinearen Gleichungen aber nur lokal lösen und somit reichen Rechtecke hier aus!
2. Die Stammfunktion $F (x, y)$ ist bis auf eine Konstante bestimmt.
3. Man berechnet die Stammfunktion durch unbestimmte Integration wie folgt: Wir integrieren die erste Gleichung in (5) und erhalten

$F(x, y) = \int P(t, y)\, dt + \phi(y)$ .

Dann bestimmen wir mit der zweiten Gleichung die Funktion $φ(y)$ aus der Identität

$\phi'(y) = F_y(x, y) - \frac{d}{dy} \left\{ \int P(t, y)\, dt \right\} = Q(x, y) - \frac{d}{dy} \left\{ \int P(t, y)\, dt \right\}$ .

Entsprechend können wir zunächst die zweite Gleichung in (5) integrieren und dann die erste heranziehen.

Wir betrachten nun auf dem Rechteck $U \subset \mathbb{R}^2$ beliebige reguläre Differentialgleichungen der Gestalt

(7) $P(x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$ für alle $(x, y) \in U$ .

Auch wenn diese Differentialgleichung nicht exakt ist, erwarten wir anschaulich, dass sie in einem hinreichend kleinen Rechteck um den Punkt $(x 0, y 0)$ eine Lösung besitzt. Wir multiplizieren (7) mit einer nullstellenfreien Funktion

$M(x, y): U \to \mathbb{R}$ der Klasse

C 1 (U)

und erhalten die Differentialgleichung

(8) $M(x, y)P(x, y)\, dx + M(x, y)Q(x, y)\, dy = 0$ für alle $(x, y) \in U$ .

Offensichtlich haben die Probleme (7) und (8) die gleichen Lösungskurven. Falls (7) keine exakte Differentialgleichung darstellt, wollen wir nun den Multiplikator so wählen, dass die Differentialgleichung (8) exakt wird.

[Bearbeiten] Definition 4

Die Funktion

$M(x, y): U \to \mathbb{R} \in C^1(U)$ mit $M(x, y) \neq 0$ für alle $(x, y) \in U$

heißt Eulerscher Multiplikator oder integrierender Faktor der Differentialgleichung (7), falls die Differentialgleichung (8) exakt ist. Auf dem Rechteck $U$ gilt dann die Beziehung

(9)

0 = [M (x, y) P (x, y)] y - [M (x, y) Q (x, y)] x = M y P - M x Q + M (P y - Q x)

bzw.

(10) $0 = \frac{M_x}{M} Q - \frac{M_y}{M} P + (Q_x - P_y) = [\log M(x, y)]_x Q - [\log M(x, y)]_y P + (Q_x - P_y)$ .

[Bearbeiten] Beispiel 1: Multiplikator der Form $M = M (x)$

In diesem Spezialfall wird aus (9) die homogene, lineare, gewöhnliche Differentialgleichung

M x Q + M (Q x - P y) = 0

,

die folgendermaßen gelöst werden kann: Wir integrieren die Identität

$[\log M(x)]_x = \frac{M_x}{M} = \frac{P_y - Q_x}{Q}$

und erhalten

$\log M(x) = \int \frac{P_y - Q_x}{Q}\, dx$

bzw.

$M(x) = \exp \left( \int \frac{P_y - Q_x}{Q}\, dx \right)$ .

Entsprechend finden wir einen Multiplikator der Form $M = M (y)$ , falls dieser existiert.

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