Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Verschiedene Typen von Differentialgleichungen (§1)

Beispiel 1: Anfangswertprobleme für Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

Seien die Punkte $a,b\in \mathbb {R}$ mit $a<b$ gegeben. Wir wählen den Anfangspunkt $x_{0}\in I$ im Intervall $I:=(a,b)$ sowie den Anfangswert $\eta =(\eta _{1},\ldots ,\eta _{m})\in \mathbb {R} ^{m}$. Gesucht ist eine Funktion

$y=y(x)=(y_{1}(x),\ldots ,y_{m}(x))\quad a<x<b$

der Klasse $C^{1}(I,\mathbb {R} ^{m})$, welche das Differentialgleichungssystem erster Ordnung

(1) $y'(x)=f(x,y(x)),\quad x\in I$

unter der Anfangsbedingung

(2) $y(x_{0})=\eta$

erfüllt. Hierbei ist $f=f(x,y)=(f_{1}(x,y),\ldots ,f_{m}(x,y))$ die stetige rechte Seite des Differentialgleichungssystems.

Wir können nun mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Differential- und Integralrechnung das Anfangswertproblem (1) und (2) äquivalent überführen in das folgende Integralgleichungsproblem:

(3) $y(x)=\eta +\int _{x_{0}}^{x}f(t,y(t))\,dt,\quad x\in I$ mit der Funktion $f\in C^{0}(I,\mathbb {R} ^{m})$.

Diese Integralgleichung werden wir später mittels sukzessiver Approximation lösen. Nach der Behandlung der Systeme erster Ordnung werden darauf aufbauend gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung $m\in \mathbb {N}$ gelöst. Während eine Gleichung der Form

(4) $F(x,y(x),y'(x),\ldots ,y^{(m)}(x))=0,\quad x\in I$

implizit ist, erhalten wir mit

(5) $y^{(m)}(x)=f(x,y(x),y'(x),\ldots ,y^{(m-1)}(x)),\quad x\in I$

eine explizite Differentialgleichung $m$-ter Ordnung. Besonders einfach lässt sich die Theorie linearer Differentialgleichungen behandeln, welche in jedem Summanden höchstens eine der unbekannten Funktionen $y(x),y'(x),\ldots ,y^{(m-1)}(x)$ als Faktor enthält. Die Differentialgleichung

$y'(x)+a(x)y(x)+b(x)=0$

zum Beispiel ist linear, während etwa

$y'(x)=[y(x)]^{2}$

eine nichtlineare Differentialgleichung darstellt. Die in der Physik oder der Geometrie vorkommenden Differentialgleichungen sind im allgemeinen nichtlinear. Die Lösungen solcher Gleichungen können wir zunächst nur lokal konstruieren, während sich beim globalen Verhalten der Lösungen interessante und schwierige Fragen stellen.