Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§1 Der Weierstraßsche Approximationssatz

Aus Wikiversity

< Kurs:Analysis III | Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten

Inhaltsverzeichnis

1 Satz 1 (Weierstraßscher Approximationssatz)
- 1.1 Beweis
2 Satz 2 (Tietzescher Ergänzungssatz)
- 2.1 Beweis
3 Satz 3 (Zerlegung der Eins)
- 3.1 Beweis
4 Definition 1

[Bearbeiten] Satz 1 (Weierstraßscher Approximationssatz)

Seien $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ eine offene Menge und $f(x) \in C^k(\Omega, \mathbb{C})$ mit $k \in \mathbb{N}_0$ . Dann gibt es eine Folge von Polynomen mit komplexen Koeffizienten vom Grad $N(m) \in \mathbb{N}_0$

$f_m(x) = \sum^{N(m)}_{j_1, \ldots, j_n = 0} c^{(m)}_{j_1 \ldots j_n} x_1^{j_1} \cdot \ldots \cdot x^{j_n}_n, \quad x \in \mathbb{R}^n, \quad m = 1, 2, \ldots$

derart, dass die Relationen

$D^\alpha f_m(x) \to D^\alpha f(x)$ für $m \to \infty, \quad |\alpha| \le k$

gleichmäßig auf jeder kompakten Menge $C \subset \Omega$ erfüllt sind.

[Bearbeiten] Beweis

Wir betrachten eine Folge $\Omega_1 \subset \Omega_2 \subset \ldots \subset \Omega$ beschränkter, offener Mengen, die $Ω$ ausschöpft. Dabei gelte $\overline{\Omega}_j \subset \Omega_{j + 1}$ für alle $j$ . Mit Hilfe der Zerlegung der Eins konstruieren wir eine Folge von Funktionen $\phi_j(x) \in C^\infty_0$ mit $0 \le \phi_j(x) \le 1, x \in \Omega$ und $φ j (x) = 1$ auf $\overline{\Omega}_j$ für $j = 1, 2, \ldots$ . Wir betrachten dann die Funktionenfolge

$f_j(x) := \left\{ \begin{matrix} f(x) \phi_j(x), & x \in \Omega \\ 0, & x \in \mathbb{R} \setminus \Omega \end{matrix} \right.$

mit den folgenden Eigenschaften:

$f_j(x) \in C^k_0(\mathbb{R}^n)$ und $D^\alpha f_j(x) = D^\alpha f(x), \quad x \in \Omega_j, \quad |\alpha| \le k$ .

Da $Ω j$ beschränkt ist, gibt es nun zu jedem $f j (x)$ ein Polynom $p j (x)$ mit

$\sup_{x \in \Omega_j} |D^\alpha p_j(x) - D^\alpha f_j(x)| = \sup_{x \in \Omega_j} |D^\alpha p_j(x) - D^\alpha f(x)| \le \frac{1}{j}, \quad |\alpha| \le k$ .

Für eine beliebige kompakte Menge $C \subset \Omega$ gibt es ein $j_0 = j_0(C) \in \mathbb{N}$ , so dass $C \subset \Omega_j$ für alle $j \ge j_0(C)$ richtig ist. Somit folgt

$\sup_{x \in C} |D^\alpha p_j(x) - D^\alpha f(x)| \le \frac{1}{j}, \quad |\alpha| \le k, \quad j \ge j_0(C)$ .

Im Grenzfall $j \to \infty$ erhalten wir schließlich

$\sup_{x \in C} |D^\alpha p_j(x) - D^\alpha f(x)| \to 0$

für alle $|\alpha| \le k$ und alle kompakten Teilmengen $C \subset \Omega$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Tietzescher Ergänzungssatz)

Sei $C \subset \mathbb{R}^n$ eine kompakte Menge und $f(x) \in C^0(C, \mathbb{C})$ eine auf $C$ stetige Funktion. Dann gibt es eine Erweiterung von $f$ auf den ganzen $\mathbb{R}^n$ , d. h. es gibt eine Funktion $g(x) \in C^0(\mathbb{R}^n, \mathbb{C})$ mit

$f (x) = g (x)$ für alle $x \in C$ .

[Bearbeiten] Beweis

1. Für $x \in \mathbb{R}^n$ erklären wir die Funktion

$d(x) := \min_{y \in C} |y - x|,$

welche die Distanz eines Punktes $x$ zur Menge $C$ misst. Da $C$ kompakt ist, gibt es zu jedem $x \in \mathbb{R}^n$ ein $\overline{y} \in C$ mit

$|\overline{y} - x| = d(x)$ .

Sind nun $x_1, x_2 \in \mathbb{R}^n$ , so folgt für $\overline{y}_2 \in C$ mit $|\overline{y}_2 - x_2| = d(x_2)$ die Ungleichung

$d(x_1) - d(x_2) = \inf_{y \in C} \Bigl( |x_1 - y_1| - |x_2 - \overline{y}_2| \Bigr)$

$\le |x_1 - \overline{y}_2| - |x_2 - \overline{y}_2|$

$\le |x_1 - x_2|$ .

Durch Vertauschen von $x 1$ und $x 2$ erhält man eine analoge Ungleichung, so dass

$|d(x_1) - d(x_2)| \le |x_1 - x_2|$ für alle $x_1, x_2 \in \mathbb{R}^n$

folgt. Insbesondere ist also $d: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ eine stetige Funktion.

2. Für $x \notin C, a \in \mathbb{R}^n$ betrachten wir die Funktion

$\varrho(x, a) := \max \left\{ 2 - \frac{|x - a|}{d(x)}, 0 \right\}$ .

Für festes $a$ ist die Funktion $\varrho(x, a)$ im $\mathbb{R}^n \setminus C$ nach obigen Betrachtungen stetig. Weiter haben wir $0 \le \varrho(x, a) \le 2$ sowie

$\varrho(x, a) = 0$ für $|x - a| \ge 2d(x)$ und $\varrho(x, a) \ge \frac{1}{2}$ für $|x - a| \le \frac{3}{2} d(x)$ .

3. Sei nun $\left\{ a^{(k)} \right\} \subset C$ eine in $C$ dichte Punktfolge. Da $f(x): C \to \mathbb{C}$ beschränkt ist, konvergieren die Reihen

$\sum^\infty_{k = 1} 2^{- k} \varrho \left( x, a^{(k)} \right) f \left( a^{(k)} \right)$ und $\sum^\infty_{k = 1} 2^{- k} \varrho \left( x, a^{(k)} \right)$

gleichmäßig für alle $x \in \mathbb{R}^n \setminus C$ und stellen dort stetige Funktionen in $x$ dar. Ferner wird

$\sum^\infty_{k = 1} 2^{- k} \varrho \left( x, a^{(k)} \right) > 0$ für $x \in \mathbb{R}^n \setminus C$ ,

denn zu jedem $x \in \mathbb{R}^n \setminus C$ gibt es mindestens ein $k$ mit $\varrho \left( x, a^{(k)} \right) > 0$ . Somit ist die Funktion

$h(x) := \frac{\sum^\infty_{k = 1} 2^{- k} \varrho \left( x, a^{(k)} \right) f \left( a^{(k)} \right)}{\sum^\infty_{k = 1} 2^{- k} \varrho \left( x, a^{(k)} \right)} = \sum^\infty_{k = 1} \varrho_k(x) f \left( a^{(k)} \right), \quad x \in \mathbb{R}^n \setminus C$

stetig. Hierbei haben wir

$\varrho_k(x) := \frac{2^{- k} \varrho \left( x, a^{(k)} \right)}{\sum^\infty_{k = 1} 2^{- k} \varrho \left( x, a^{(k)} \right)}$ für $x \in \mathbb{R}^n \setminus C$

gesetzt. Auf $\mathbb{R}^n \setminus C$ gilt weiterhin

$\sum^\infty_{k = 1} \varrho_k(x) \equiv 1$ .

4. Wir erklären nun die Funktion

$g(x) := \left\{ \begin{matrix} f(x), & x \in C \\ h(x), & x \in \mathbb{R}^n \setminus C \end{matrix} \right.$ .

Wir haben nur noch die Stetigkeit von $g$ auf $\partial C$ zu zeigen. Für $z \in C$ und $x \notin C$ gilt die Abschätzung

$|h(x) - f(z)| = \left| \sum^\infty_{k = 1} \varrho_k(x) \left\{ f \left( a^{(k)} \right) - f(z) \right\} \right|$

$\le \sum_{k: |a^{(k)} - x| \le 2d(x)} \varrho_k(x) \left| f \left( a^{(k)} \right) - f(z) \right|$

$\le \sup_{a \in C: |a - x| \le 2d(x)} |f(a) - f(z)|$

$\le \sup_{a \in C: |a - z| \le 2d(x) + |x - z|} |f(a) - f(z)|$

$\le \sup_{a \in C: |a - z| \le 3|x - z|} |f(a) - f(z)|.$

Da $f: C \to \mathbb{C}$ gleichmäßig stetig ist, folgt j

$\lim_{x \to z \atop x \notin C} h(x) = f(z)$ für $z \in \partial C$ und $x \notin C$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Zerlegung der Eins)

Es sei $K \subset \mathbb{R}^n$ eine kompakte Menge und zu jedem Punkt $x \in K$ bezeichne $\mathcal{O}_x \subset \mathbb{R}^n$ eine offene Menge mit $x \in \mathcal{O}_x$ . Wir können dann endlich – genauer $N \in \mathbb{N}$ – viele Punkte $x^{(1)}, \ldots, x^{(N)} \in K$ auswählen, so dass die Überdeckungseigenschaft

$K \subset \bigcup^N_{\nu = 1} \mathcal{O}_{x^{(\nu)}}$

gilt. Weiter finden wir Funktionen

$\chi_\nu = \chi_\nu(x): \mathcal{O}_{x^{(\nu)}} \to [0, + \infty) \in C^\infty_0(\mathcal{O}_{x^{(\nu)}})$ für $\nu = 1, \ldots, N$ ,

so dass die Funktion $\chi(x) := \sum^N_{\nu = 1} \chi_\nu(x), x \in \mathbb{R}^n$ die folgenden Eigenschaften hat:

(a) Wir haben $\chi \in C^\infty_0(\mathbb{R}^n)$ ;

(b) Für alle $x \in K$ gilt $χ(x) = 1$ ;

(c) Für alle $x \in \mathbb{R}^n$ ist $0 \le \chi(x) \le 1$ richtig.

[Bearbeiten] Beweis

1.) Da $K \subset \mathbb{R}^n$ kompakt ist, gibt es ein $R > 0$ mit $K \subset B := B_R(0)$ . Zu jedem $x \in B$ wählen wir nun eine offene Kugel $\stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon(x)}(x)$ vom Radius $\varepsilon(x) > 0$ derart, dass

$B_{\varepsilon(x)}(x) \subset \mathcal{O}_x$ für $x \in K$ und $B_{\varepsilon(x)}(x) \subset \mathbb{R}^n \setminus K$ für $x \in B \setminus K$

erfüllt ist. Das Mengensystem $\left\{ \stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon(x)}(x) \right\}_{x \in B}$ liefert dann eine offene Überdeckung der kompakten Menge $B$ . Nach dem Heine-Borelschen Überdeckungssatz genügen dafür endlich viele offene Mengen, sagen wir

$\stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon_1}(x^{(1)}), \stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon_N}(x^{(N)}), \stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon_{N+1}}(x^{(N+1)}), \stackrel{\circ}{B}_{\varepsilon_{N+M}}(x^{(N+M)})$ .

Hierbei haben wir $x^{(\nu)} \in K$ für $\nu = 1, 2, \ldots, N$ sowie $x^{(\nu)} \in B \setminus K$ für $\nu = N + 1, \ldots, N + M$ gewählt und $\varepsilon_\nu := \varepsilon(x^{(\nu)})$ gesetzt – mit gewissen natürlichen Zahlen $N$ sowie $M$ . Mit den assoziierten Glättungsfunktionen aus (5) betrachten wir nun die nicht negativen Funktionen

$\varphi_\nu(x) := \varphi_{x^{(\nu)}, \varepsilon_\nu}(x), \quad x \in \mathbb{R}^n$

der Regularitätsklasse $\varphi_\nu \in C^\infty_0(\mathcal{O}_{x^{(\nu)}})$ für $\nu = 1, \ldots, N$ bzw. $\varphi_\nu \in C^\infty_0(\mathbb{R}^n \setminus K)$ für $\nu = N + 1, \ldots, N + M$ . Ferner erklären wir die Funktion $\varphi_{N + M + 1}(x) := \omega_R(x)$ , wobei $ω R$ in (4) definiert wurde. Offenbar erhalten wir dann die Positivität $\sum^{N + M + 1}_{\nu = 1} \varphi_\nu(x) > 0$ für alle $x \in \mathbb{R}^n$ .

2.) Wir erklären nun die Funktionen $χ ν$ vermöge

(9) $\chi_\nu(x) := \left[ \sum^{N + M + 1}_{\nu = 1} \varphi_\nu(x) \right]^{-1} \varphi_\nu(x), \quad x \in \mathbb{R}^n$ für $\nu = 1, \ldots, N + M + 1$ .

Dabei gehören die Funktionen $χ ν$ und $\varphi_\nu$ für $\nu = 1, \ldots, N + M + 1$ jeweils der gleichen Regularitätsklasse an. Zusätzlich gilt

$\sum^{N + M + 1}_{\nu = 1} \chi_\nu(x) := \left[ \sum^{N + M + 1}_{\nu = 1} \varphi_\nu(x) \right]^{-1} \cdot \sum^{N + M + 1}_{\nu = 1} \varphi_\nu(x) \equiv 1$ für alle $x \in \mathbb{R}^n$ .

Die Eigenschaften (a), (b) und (c) der Funktion $<math>\chi(x) = \sum^m_{\mu = 1} \chi_\mu(x)$ liest man direkt von der obigen Konstruktion ab.

[Bearbeiten] Definition 1

Die Funktionen $\chi_1, \chi_2, \ldots, \chi_m$ aus Satz 3 nennen wir eine der offenen Überdeckung $\{\mathcal{O}_x\}_{x \in K}$ von $K$ untergeordnete Zerlegung der Eins.

Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§1 Der Weierstraßsche Approximationssatz

Aus Wikiversity

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Satz 1 (Weierstraßscher Approximationssatz)

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 2 (Tietzescher Ergänzungssatz)

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 3 (Zerlegung der Eins)

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Definition 1

Ansichten

Persönliche Werkzeuge

Suche

Navigation

Aktuell

Werkzeuge