Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§2 Parameterinvariante Integrale und Differentialformen

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Inhaltsverzeichnis

1 Satz 1 (Transformationsformel für mehrfache Integrale)
2 Definition 1
3 Definition 2
4 Definition 3
5 Definition 4
6 Definition 5
7 Definition 6 (Äußeres Produkt von Differentialformen)
8 Definition 7

[Bearbeiten] Satz 1 (Transformationsformel für mehrfache Integrale)

Es seien $\Omega, \Theta \subset \mathbb{R}^n, n \in \mathbb{N}$ offene Mengen und $y = (y_1(x_1, \ldots, x_n), \ldots, y_n(x_1, \ldots, x_n)): \Omega \to \Theta$ bezeichne eine bijektive Abbildung der Klasse $C^1(\Omega, \mathbb{R}^n)$ , für die gelte

$J_y(x) := \det \left( \frac{\partial y_i(x)}{\partial x_j} \right)_{i, j = 1, 2, \ldots, n} \neq 0$ für alle $x \in \Omega$ .

Die Funktion $f = f(y): \Theta \to \mathbb{R} \in C^0(\Theta)$ sei vorgelegt und es sei

$\int\limits_\Theta |f(y)|\, dy < + \infty$

für das uneigentliche Riemannsche Integral von $| f |$ erfüllt. Dann gilt die Transformationsformel

$\int\limits_\Theta |f(y)|\, dy = \int\limits_\Omega f(y(x)) |J_y(x)|\, dx.$

[Bearbeiten] Definition 1

Sei die offene Menge $T \subset \mathbb{R}^m$ mit $m \in \mathbb{N}$ als Parameterbereich gegeben. Weiter sei

$X(t) = \begin{pmatrix} x_1(t_1, \ldots, t_m) \\ \vdots \\ x_n(t_1, \ldots, t_m) \end{pmatrix}: T \to \mathbb{R}^n \in C^k(T, \mathbb{R}^n)$

mit $k, n \in \mathbb{N}$ und $m \le n$ eine Abbildung, deren Funktionalmatrix

$\partial X(t) = \Bigl( X_{t_1}(t), \ldots, X_{t_m}(t) \Bigr)$

für alle $t \in T$ den Rang $m$ hat. Dann nennen wir $X$ eine parametrisierte, reguläre Fläche mit der Parameterdarstellung $X(t): T \to \mathbb{R}^n$ .

Sind $X: T \to \mathbb{R}^n$ und $\tilde X: \tilde T \to \mathbb{R}^n$ zwei Parameterdarstellungen, so nennen wir diese äquivalent, wenn es eine topologische Abbildung

$t = t(s) = \Bigl( t_1(s_1, \ldots, s_m), \ldots, t_m(s_1, \ldots, s_m) \Bigr): \tilde T \to T \in C^k(\tilde T, T)$

gibt mit den folgenden Eigenschaften:

$J(s) := \frac{\partial (t_1, \ldots, t_m)}{\partial (s_1, \ldots, s_m)} (s) = \begin{vmatrix} \frac{\partial t_1}{\partial s_1} (s) & \ldots & \frac{\partial t_1}{\partial s_m} (s) \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial t_m}{\partial s_1} (s) & \ldots & \frac{\partial t_m}{\partial s_m} (s) \end{vmatrix} > 0$ für alle $s \in \tilde T$ ;
$\tilde X(s) = X \Bigl( t(s) \Bigr)$ für alle $s \in \tilde T$ .

Man sagt, $\tilde X$ entstehe aus $X$ durch orientierungstreues Umparametrisieren. Die Äquivalenzklasse $[X]$ aller zu $X$ äquivalenten Parameterdarstellungen nennen wir eine offene, orientierte, $m$ -dimensionale, reguläre Fläche der Klasse $C k$ im $\mathbb{R}^n$ . Wir nennen eine Fläche eingebettet in den $\mathbb{R}^n$ , falls zusätzlich $X: T \to \mathbb{R}^n$ injektiv ist.

[Bearbeiten] Definition 2

Unter dem Flächeninhalt einer offenen, orientierten, $m$ -dimensionalen, regulären $C 1$ -Fläche im $\mathbb{R}^n$ mit einer Parameterdarstellung $X(t): T \to \mathbb{R}^n$ verstehen wir das uneigentliche Riemannsche Integral

$A(X) := \int\limits_T \sqrt{\sum_{1 \le i_1, < \ldots < i_m \le n} \left( \frac{\partial (x_{i_1}, \ldots, x_{i_m})}{\partial (t_1, \ldots, t_m)} \right)^2}\, dt_1 \ldots dt_m,$

wobei $T \subset \mathbb{R}^m$ offen und $1 \le m \le n$ erfüllt ist. Falls $A(X) < + \infty$ ausfällt, hat die Fläche $[X]$ einen endlichen Flächeninhalt.

[Bearbeiten] Definition 3

Auf der offenen Menge $\mathcal{O} \subset \mathbb{R}^n$ seien die Funktionen $a_{i_1 \ldots i_m} \in C^k(\mathcal{O}), k \in \mathbb{N}_0$ mit $i_1, \ldots, i_m \in \{1, \ldots, n\}, 1 \le m \le n$ gegeben. Wir erklären die Menge

$\mathcal{F} := \Bigl\{ X | X: T \to \mathbb{R}^n$ ist reguläre, orientierte, $m$ -dimensionale Fläche mit endlichem Flächeninhalt und $X(T) \subset \subset \mathcal{O} \Bigr\}$ .

Unter einer Differentialform vom Grade $m$ der Klasse $C^k(\mathcal{O})$

$\omega := \sum^n_{i_1, \ldots, i_m = 1} a_{i_1 \ldots i_m} (x) \, dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_m}$

oder kurz einer $m$ -Form der Klasse $C^k(\mathcal{O})$ verstehen wir die Funktion $\omega: \mathcal{F} \to \mathbb{R}$ erklärt durch

$\omega(X) := \int\limits_T \sum^n_{i_1, \ldots, i_m = 1} a_{i_1 \ldots i_m} (X(t)) \frac{\partial (x_{i_1}, \ldots, x_{i_m})}{\partial (t_1, \ldots, t_m)}\, dt_1 \ldots dt_m, \quad X \in \mathcal{F}$ .

[Bearbeiten] Definition 4

Eine 0-Form der Klasse $C^k(\mathcal{O})$ ist eine Funktion $f(x) \in C^k(\mathcal{O})$ , d. h.

$\omega = f(x), \quad x \in \mathcal{O}$ .

Zu $1 \le m \le n$ nennen wir

$\beta^m := dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_m}, \quad 1 \le i_1, \ldots, i_m \le n$

eine Basis- $m$ -Form.

[Bearbeiten] Definition 5

Seien $ω,ω 1,ω 2$ $m$ -Formen der Klasse $C^0(\mathcal{O})$ und sei $c \in \mathbb{R}$ . Dann erklären wir die Differentialformen $c ω$ und $ω 1 + ω 2$ durch

$(c ω)(X): = c ω(X)$ für alle $X \in \mathcal{F}$

bzw.

$(ω 1 + ω 2)(X): = ω 1 (X) + ω 2 (X)$ für alle $X \in \mathcal{F}$ .

[Bearbeiten] Definition 6 (Äußeres Produkt von Differentialformen)

Seien die Differentialformen

$\omega_1 := \sum_{1 \le i_1, \ldots, i_l \le n} a_{i_1 \ldots i_l} (x) \, dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_l}$

vom Grade $l$ sowie

$\omega_2 := \sum_{1 \le j_1, \ldots, j_m \le n} b_{j_1 \ldots j_m} (x) \, dx_{j_1} \wedge \ldots \wedge dx_{j_m}$

vom Grade $m$ der Klasse $C^k(\mathcal{O}), k \in \mathbb{N}_0$ gegeben. Dann erklären wir das äußere Produkt von $ω 1$ und $ω 2$ als die $(l + m)$ -Form

$\omega = \omega_1 \wedge \omega_2 := \sum_{1 \le i_1, \ldots, i_l; j_1, \ldots, j_m \le n} a_{i_1 \ldots i_l} (x) b_{j_1 \ldots j_m} (x)\, dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_l} \wedge dx_{j_1} \wedge \ldots \wedge dx_{j_m}$

der Klasse $C^0(\mathcal{O})$ .

[Bearbeiten] Definition 7

Sei

$\omega := \sum_{1 \le i_1, \ldots, i_m \le n} a_{i_1 \ldots i_m} (x) \, dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_m}, \quad x \in \mathcal{O}$

eine stetige Differentialform auf der offenen Menge $\mathcal{O} \subset \mathbb{R}^n, 1 \le m \le n$ . Dann erklären wir das uneigentliche Riemannsche Integral der Differentialform $ω$ über die Fläche $[X] \subset \mathcal{O}$

$\int\limits_{[X]} \omega := \int\limits_T \sum_{1 \le i_1, \ldots, i_m \le n} a_{i_1 \ldots i_m} \Bigl( X(t) \Bigr) \frac{\partial (x_{i_1}, \ldots, x_{i_m})}{\partial (t_1, \ldots, t_m)}\, dt_1 \ldots dt_m,$

falls $ω$ absolut integrierbar ist über $X$ , also

$\int\limits_{[X]} |\omega| := \int\limits_T \left| \sum_{1 \le i_1, \ldots, i_m \le n} a_{i_1 \ldots i_m} \Bigl( X(t) \Bigr) \frac{\partial (x_{i_1}, \ldots, x_{i_m})}{\partial (t_1, \ldots, t_m)} \right|\, dt_1 \ldots dt_m,$

erfüllt ist.

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