- Seien und die Menge gegeben. Wir nennen eine -dimensionale -Mannigfaltigkeit, falls es zu jedem ein und offene Umgebungen von und von sowie eine reguläre eingebettete Fläche
- gibt, so dass
und
- richtig ist; dabei ist gewählt worden. Wir nennen eine Karte der Mannigfaltigkeit. Die Gesamtheit aller Karten
- bildet einen Atlas der Mannigfaltigkeit. Sind zwei Karten von , so dass
- richtig ist, dann betrachten wir die Parametertransformation . Falls für solche beliebige Karten aus dem Atlas jeweils für die Funktionaldeterminante auf gilt, so ist die Mannigfaltigkeit durch den Atlas orientiert.
- Sei eine beschränkte -dimensionale, orientierte -Mannigfaltigkeit im mit . Den topologischen Abschluss der Punktmenge bezeichnen wir mit und die Menge der Randpunkte mit . Wir nennen einen regulären Punkt der Mannigfaltigkeit , wenn folgendes gilt:
- Es gibt einen Halbwürfel im mit und , eine reguläre eingebettete Fläche
,
- so dass zum orientierten Atlas von gehört und eine offene Umgebung von mit den folgenden Eigenschaften:
- Die Menge der regulären Randpunkte bezeichnen wir mit .
- Für die beschränkte Mannigfaltigkeit aus Definition 2 erklären wir die Menge der singulären Randpunkte gemäß
- Im Falle erhalten wir eine kompakte Mannigfaltigkeit mit regulärem Rand. Falls zusätzlich gilt, sprechen wir von einer geschlossenen Mannigfaltigkeit.
- Der singuläre Rand der Mannigfaltigkeit hat die Kapazität Null, falls es zu jedem und jeder kompakten Menge eine Funktion gibt mit den folgenden Eigenschaften:
- Für alle gilt .
- Es gilt
- Dabei bezeichnet das -dimensionale Oberflächenelement auf und wir setzen
.
Satz 1 (Stokesscher Integralsatz für Mannigfaltigkeiten)[Bearbeiten]
Voraussetzungen:
- 1. Sei eine beschränkte, orientierte, -dimensionale -Mannigfaltigkeit im mit dem Atlas . Durch den induzierten Atlas wird der reguläre Rand zu einer beschränkten, orientierten, -dimensionalen -Mannigfaltigkeit. Wir fordern, dass der reguläre Rand endlichen Flächeninhalt hat, d. h. es gelte
- Weiter habe der singuläre Rand die Kapazität Null.
- 2. Sei
- eine -dimensionale Differentialform der Klasse , so dass absolut integrierbar ist, d. h.
Behauptung:
- Dann gilt die Identität
1. Sei zunächst erfüllt. Wie oben wählen wir eine Zerlegung der Eins auf , die dem überdeckenden Kartensystem untergeordnet ist. Nun folgt
2. Sei nun beliebig. Wir wählen dann eine Folge , welche die Mannigfaltigkeit ausschöpft und die Eignschaft
für
besitzt. Wir erhalten für gemäß Teil 1
(1)
Zunächst gilt
für
.
Weiter gilt
für
.
Es folgt also
Wegen folgt
Insgesamt erhalten wir durch Grenzübergang in (1) die Gleichung
was der Behauptung entspricht.
q.e.d.