Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§4 Der Stokessche Integralsatz für Mannigfaltigkeiten

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

Seien 1 \le m \le n und die Menge \mathcal{M} \subset \mathbb{R}^n gegeben. Wir nennen \mathcal{M} eine m-dimensionale Ck-Mannigfaltigkeit, falls es zu jedem \xi \in \mathcal{M} ein \eta \in \mathbb{R}^m und offene Umgebungen U \subset \mathbb{R}^n von \xi \in U und V \subset \mathbb{R}^m von \eta \in V sowie eine reguläre eingebettete Fläche
x = \Phi(y): V \to U \in C^k(V)
gibt, so dass
ξ = Φ(η) und \Phi(V) = \mathcal{M} \cap U
richtig ist; dabei ist k \in \mathbb{N} gewählt worden. Wir nennen (Φ,V) eine Karte der Mannigfaltigkeit. Die Gesamtheit aller Karten
\mathcal{A} := \{(\Phi_\iota, V_\iota): \iota \in J\}
bildet einen Atlas der Mannigfaltigkeit. Sind \Phi_j: V_j \to U_j \cap \mathcal{M}, j = 1, 2 zwei Karten von \mathcal{A}, so dass
W_{1, 2} := \mathcal{M} \cap U_1 \cap U_2 \neq \emptyset
richtig ist, dann betrachten wir die Parametertransformation \Phi_{2, 1} := \Phi^{- 1}_2 \circ \Phi_1. Falls für solche beliebige Karten aus dem Atlas jeweils für die Funktionaldeterminante J_{\Phi_{2, 1}} > 0 auf \Phi^{- 1}_1(W_{1, 2}) gilt, so ist die Mannigfaltigkeit durch den Atlas orientiert.

[Bearbeiten] Definition 2

Sei \mathcal{M} eine beschränkte (m + 1)-dimensionale, orientierte C1-Mannigfaltigkeit im \mathbb{R}^n mit n > m. Den topologischen Abschluss der Punktmenge \mathcal{M} bezeichnen wir mit \overline{\mathcal{M}} und die Menge der Randpunkte mit \dot{\mathcal{M}} := \overline{\mathcal{M}} \setminus \mathcal{M}. Wir nennen \xi \in \dot{\mathcal{M}} einen regulären Punkt der Mannigfaltigkeit \mathcal{M}, wenn folgendes gilt:
Es gibt einen Halbwürfel Hr(η) im \mathbb{R}^{m + 1} mit \eta \in \mathbb{E}^m und r > 0, eine reguläre eingebettete Fläche
\Phi(y): \overline{H_r(\eta)} \to \mathbb{R}^n \in C^1 \left( \overline{H_r(\eta)} \right),
so dass \Phi \bigr|_{H_r(\eta)} zum orientierten Atlas \mathcal{A} von \mathcal{M} gehört und eine offene Umgebung U \subset \mathbb{R}^n von \xi \in U mit den folgenden Eigenschaften:
\Phi(\eta) = \xi, \quad \Phi \Bigl( S_r(\eta) \Bigr) = \dot{\mathcal{M}} \cap U, \quad \Phi \Bigl( H_r(\eta) \Bigr) = {\mathcal{M}} \cap U.
Die Menge der regulären Randpunkte bezeichnen wir mit \partial \mathcal{M}.

[Bearbeiten] Definition 3

Für die beschränkte Mannigfaltigkeit \mathcal{M} aus Definition 2 erklären wir die Menge der singulären Randpunkte \Delta \mathcal{M} gemäß
\Delta \mathcal{M} := \dot{\mathcal{M}} \setminus \partial \mathcal{M}.
Im Falle \Delta \mathcal{M} = \emptyset erhalten wir eine kompakte Mannigfaltigkeit mit regulärem Rand. Falls zusätzlich \partial \mathcal{M} = \emptyset gilt, sprechen wir von einer geschlossenen Mannigfaltigkeit.

[Bearbeiten] Definition 4

Der singuläre Rand \Delta \mathcal{M} der Mannigfaltigkeit \mathcal{M} hat die Kapazität Null, falls es zu jedem \varepsilon > 0 und jeder kompakten Menge K \subset \mathcal{M} \cup \partial \mathcal{M} eine Funktion \chi \in C^1_0(\mathcal{M} \cup \partial \mathcal{M}, [0, 1]) gibt mit den folgenden Eigenschaften:
  1. Für alle x \in K gilt χ(x) = 1.
  2. Es gilt
\int\limits_\mathcal{M} \sqrt{\nabla(\chi, \chi)}\, d^{m + 1} \sigma \le \varepsilon.
Dabei bezeichnet dm + 1σ das (m + 1)-dimensionale Oberflächenelement auf \mathcal{M} und wir setzen
\nabla(\chi, \chi) \Bigl|_x := \sup \left\{ |\nabla \chi \cdot \xi|^2: \xi \in T_\mathcal{M}(x), |\xi| = 1 \right\}.

[Bearbeiten] Satz 1 (Stokesscher Integralsatz für Mannigfaltigkeiten)

Voraussetzungen:

1. Sei \mathcal{M} eine beschränkte, orientierte, (m + 1)-dimensionale C1-Mannigfaltigkeit im \mathbb{R}^n, n > m mit dem Atlas \mathcal{A}. Durch den induzierten Atlas \partial \mathcal{A} wird der reguläre Rand \partial \mathcal{M} zu einer beschränkten, orientierten, m-dimensionalen C1-Mannigfaltigkeit. Wir fordern, dass der reguläre Rand endlichen Flächeninhalt hat, d. h. es gelte
\int\limits_{\partial \mathcal{M}} d^m\sigma < + \infty.
Weiter habe der singuläre Rand \Delta \mathcal{M} die Kapazität Null.
2. Sei
\omega = \sum_{1 \le i_1 < \ldots < i_m \le n} a_{i_1 \ldots i_m} (x) dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_m}, \quad x \in \overline{\mathcal{M}}
eine m-dimensionale Differentialform der Klasse C^1(\mathcal{M}) \cap C^0(\overline{\mathcal{M}}), so dass dω absolut integrierbar ist, d. h.
\int\limits_\mathcal{M} |d\omega| < + \infty.

Behauptung:

Dann gilt die Identität
\int\limits_\mathcal{M} d\omega = \int\limits_{\partial \mathcal{M}} \omega

[Bearbeiten] Beweis

1. Sei zunächst \omega \in C^1(\mathcal{M}) \cap C^0_0(\mathcal{M} \cup \partial \mathcal{M}) erfüllt. Wie oben wählen wir eine Zerlegung der Eins \{\alpha_k\}, k = 1, \ldots, k_0 auf \operatorname{supp}\, \omega \subset \mathcal{M} \cup \partial \mathcal{M}, die dem überdeckenden Kartensystem untergeordnet ist. Nun folgt

\int\limits_{\partial \mathcal{M}} \omega = \sum^{k_0}_{k = 1} \int\limits_{\partial \mathcal{M}} \alpha_k \omega = \sum^{k_0}_{k = 1} \int\limits_{\mathcal{M}} d(\alpha_k \omega) = \int\limits_{\mathcal{M}} d\omega.

2. Sei nun ω beliebig. Wir wählen dann eine Folge \{\beta_k\}_{k = 1, 2, \ldots}, welche die Mannigfaltigkeit \mathcal{M} ausschöpft und die Eignschaft

\int\limits_\mathcal{M} \sqrt{\nabla (\beta_k, \beta_k)}\, d^{m + 1}\sigma \to 0 für k \to \infty

besitzt. Wir erhalten für k = 1, 2, \ldots gemäß Teil 1

(1) \int\limits_{\partial \mathcal{M}} \beta_k \omega = \int\limits_{\mathcal{M}} d(\beta_k \omega) = \int\limits_{\mathcal{M}} \beta_k d\omega + \int\limits_{\mathcal{M}} d\beta_k \wedge \omega.

Zunächst gilt

\left| \int\limits_{\mathcal{M}} d\beta_k \wedge \omega \right| \le c \int\limits_\mathcal{M} \sqrt{\nabla (\beta_k, \beta_k)}\, d^{m + 1}\sigma \to 0 für k \to \infty.

Weiter gilt

\int\limits_{\partial \mathcal{M}} |\beta_k \omega| \le \int\limits_{\partial \mathcal{M}} |\omega| \le \int\limits_{\partial \mathcal{M}} d^{m + 1}\sigma < + \infty für k = 1, 2, \ldots.

Es folgt also

\lim_{k \to \infty} \int\limits_{\partial \mathcal{M}} \beta_k \omega =: \int\limits_{\partial \mathcal{M}} \omega < + \infty.

Wegen \int\limits_{\mathcal{M}} |d\omega| < + \infty folgt

\lim_{k \to \infty} \int\limits_{\partial \mathcal{M}} \beta_k d\omega =: \int\limits_{\partial \mathcal{M}} d\omega < + \infty.

Insgesamt erhalten wir durch Grenzübergang k \to \infty in (1) die Gleichung

\int\limits_{\partial \mathcal{M}} \omega = \int\limits_{\mathcal{M}} d\omega,

was der Behauptung entspricht.

q.e.d.

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