Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§6 Kurvenintegrale

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Inhaltsverzeichnis

1 Definition 1
2 Definition 2
3 Definition 3
4 Satz 1 (Erster Hauptsatz über Kurvenintegrale)
- 4.1 Beweis
5 Definition 4
6 Definition 5
7 Satz 2 (Zweiter Hauptsatz über Kurvenintegrale)
- 7.1 Beweis
8 Definition 6
9 Definition 7
10 Satz 3 (Kurvenintegrale in einfach zusammenhängenden Gebieten)
- 10.1 Beweis

[Bearbeiten] Definition 1

Seien $\Omega \subset \mathbb{R}^n, n \ge 2$ ein Gebiet und $P, Q \in \Omega$ zwei Punkte. Dann definieren wir die Klasse $\mathcal{C}(\Omega, P, Q)$ der stückweise stetig differenzierbaren Wege in $Ω$ von $P$ nach $Q$ gemäß

$\mathcal{C}(\Omega, P, Q) := \Bigl\{ X(t): [a, b] \to \Omega \in C^0([a, b]): - \infty < a < b < + \infty,$

$X(a) = P, X(b) = Q;\ es\ gibt\ eine\ Zerlegung\ a = t_0 < t_1 < \ldots < t_N = b,\ so\ dass$

$X \bigl|_{[t_i, t_{i + 1}]} \in C^1([t_i, t_{i + 1}], \Omega)\ f\ddot ur\ i = 0, \ldots, N - 1\ gilt \Bigr\}.$

Mit

$\mathcal{C}(\Omega) := \bigcup_{P \in \Omega} \mathcal{C}(\Omega, P, P)$

erhalten wir die Menge der geschlossenen Wege in $Ω$ . Falls $X(t) \equiv P, a \le t \le b$ gilt, so sprechen wir von einer Punktkurve.

[Bearbeiten] Definition 2

Seien

$\omega = \sum^n_{i = 1} f_i(x)\, dx_i, \quad x \in \Omega$

eine stetige Pfaffsche Form in dem Gebiet $Ω$ und $X \in \mathcal{C}(\Omega, P, Q)$ ein stückweise stetig differenzierbarer Weg zwischen den Punkten $P, Q \in \Omega$ . Mit

$X^{(j)} := X|_{[t_j, t_{j + 1}]} \in C^1([t_j, t_{j + 1}]), \quad j = 0, \ldots, N - 1$

setzen wir

$\int\limits_X \omega := \sum^{N - 1}_{j = 0} \int\limits_{X^{(j)}} \omega = \sum^{N - 1}_{j = 0} \int\limits^{t_{j + 1}}_{t_j} \sum^n_{i = 1} f_i \Bigl( X(t) \Bigr) x_i'(t)\, dt$

für das Wegintegral von $Ω$ über $X$ .

[Bearbeiten] Definition 3

Sei

$\omega = \sum^n_{i = 1} f_i(x)\, dx_i, \quad x \in \Omega$

eine stetige Pfaffsche Form im Gebiet $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ . Wir nennen dann $F(x) \in C^1(\Omega)$ eine Stammfunktion von $ω$ , falls

$d F = ω$ in $Ω$

bzw.

$F_{x_i}(x) = f_i(x)$ für $x \in \Omega$ und $i = 1, \ldots, n$

gilt. Falls $ω$ eine Stammfunktionen besitzt, sprechen wir von einer exakten Pfaffschen Form.

[Bearbeiten] Satz 1 (Erster Hauptsatz über Kurvenintegrale)

Seien $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ein Gebiet und $ω$ eine stetige Pfaffsche Form in $Ω$ . Genau dann besitzt $ω$ eine Stammfunktion $F$ in $Ω$ , wenn für jede geschlossene Kurve $X \in \mathcal{C}(\Omega, P, P)$ mit einem $P \in \Omega$ die Identität

$\int\limits_X \omega = 0$

richtig ist. In diesem Fall erhalten wir eine Stammfunktion wie folgt: Für ein festes $P \in \Omega$ und ein beliebiges $Q \in \Omega$ gilt

$F(Q):= \gamma + \int\limits_Y \omega, \quad Y \in \mathcal{C}(\Omega, P, Q),$

wobei $\gamma \in \mathbb{R}$ eine Konstante ist.

[Bearbeiten] Beweis

1. $ω$ besitzt eine Stammfunktion $F$ , das heißt

$\omega = \sum^n_{i = 1} f_i(x)\, dx_i = \sum^n_{i = 1} F_{x_i}(x)\, dx_i, \quad x \in \Omega.$

Seien nun $X \in \mathcal{C}(\Omega, P, P)$ mit $P \in \Omega$ sowie

$X^{(j)} := X \bigl|_{[t_j, t_{j + 1}]} \in C^1([t_j, t_{j + 1}]), \quad j = 0, \ldots, N - 1$

gegeben. Dann folgt

$\int\limits_X \omega = \sum^{N - 1}_{j = 0} \int\limits_{X^{(j)}} \omega = \sum^{N - 1}_{j = 0} \int\limits^{t_{j + 1}}_{t_j} \left( \sum^n_{i = 1} F_{x_i} \Bigl( X(t) \Bigr) x_i'(t)\, dt \right)$

$= \sum^{N - 1}_{j = 0} \int\limits^{t_{j + 1}}_{t_j} \frac{d}{dt} F \Bigl( X(t) \Bigr)\, dt = \sum^{N - 1}_{j = 0} \Bigl\{ F \Bigl( X(t_{j + 1}) \Bigr) - F \Bigl( X(t_j) \Bigr) \Bigr\}$

$= F \Bigl( X(t_N) \Bigr) - F \Bigl( X(t_0) \Bigr) = F(P) - F(P) = 0.$

2. Nun sei

$\int\limits_X \omega = 0$ für alle $X \in \mathcal{C}(\Omega, P, P)$ mit $P \in \Omega$

erfüllt. Zu festem $P \in \Omega$ und beliebigem $Q \in \Omega$ wählen wir einen Weg

$X \in \mathcal{C}(\Omega, P, Q)$

und erklären

$F(Q) := \int\limits_X \omega.$

Wir haben die Unabhängigkeit dieser Definition von der Auswahl der Kurve $X$ zu zeigen. Sei also

$Y \in \mathcal{C}(\Omega, P, Q)$

eine weitere Kurve, so müssen wir

$\int\limits_X \omega = \int\limits_Y \omega$

nachweisen. Zu $X: [a, b] \to \mathbb{R}^n$ und $Y: [c, d] \to \mathbb{R}^n$ betrachten wir die Kurve

$Z(t) := \left\{ \begin{matrix} X(t), t \in [a, b] \\ Y(b + d - t), t \in [b, b + d - c] \end{matrix} \right.$ .

Offensichtlich gilt $Z \in \mathcal{C}(\Omega, P, P)$ und es folgt

$0 = \int\limits_Z \omega = \int\limits_X \omega - \int\limits_Y \omega,$

also

$\int\limits_X \omega = \int\limits_Y \omega.$

3. Schließlich haben wir noch

$F_{x_i}(Q) = f_i(Q), \quad i = 1, \ldots, n$

zu zeigen. Hierzu gehen wir bei festem $i \in \{1, \ldots, n\}$ von $Q$ zu

$Q_\varepsilon := Q + \varepsilon e_i, \quad e_i := (0, \ldots, \underbrace{1}_{\text{i-te}}, \ldots, 0)$

auf dem Weg

$Y(t) := [0, \varepsilon ] \to \mathbb{R}, \quad Y(t) = Q + te_i.$

Nun ist

$F(Q_\varepsilon) = F(Q) + F(Q_\varepsilon) - F(Q) = F(Q) + \int\limits_Y \omega$

$= F(Q) + \int\limits^\varepsilon_0 \sum^n_{i = 1} f_i \Bigl( Y(t) \Bigr) y_i'(t)\, dt$

$= F(Q) + \int\limits^\varepsilon_0 f_i(Q + te_i)\, dt$

und wir erhalten schließlich

$\frac{d}{dx_i} F \bigl|_Q = \frac{d}{d\varepsilon} F(Q_\varepsilon) \bigr|_{\varepsilon = 0} = f_i(Q), \quad i = 1, \ldots, n,$

weshalb die Behauptung folgt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 4

Eine $m$ -Form $\omega \in C^1(\Omega)$ in einem Gebiet $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ heißt geschlossen, falls $d ω = 0$ in $Ω$ gilt.

[Bearbeiten] Definition 5

Sei $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ein Gebiet. Zwei geschlossene Kurven

$X(t): [a, b] \to \Omega, \quad Y(t): [a, b] \to \Omega, \quad X, Y \in \mathcal{C}(\Omega)$

heißen homotop in $Ω$ , falls es eine Abbildung

$Z(t, s): [a, b] \times [0, 1] \to \Omega \in C^0([a, b] \times [0, 1], \mathbb{R}^n)$

mit den Eigenschaften

$Z (a, s) = Z (b, s)$ für alle $s \in [0, 1]$

sowie

$Z(t, 0) = X(t), \quad Z(t, 1) = Y(t)$ für alle $t \in [a, b]$

gibt.

[Bearbeiten] Satz 2 (Zweiter Hauptsatz über Kurvenintegrale)

Sei $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ein Gebiet, in dem die beiden geschlossenen Kurven $X, Y \in \mathcal{C}(\Omega)$ zueinander homotop sind. Schließlich sei

$\omega = \sum^n_{i = 1} f_i(x)\, dx_i, \quad x \in \Omega$

eine geschlossene Pfaffsche Form der Klasse $C 1 (Ω)$ . Dann gilt

$\int\limits_X \omega = \int\limits_Y \omega.$

[Bearbeiten] Beweis

1. Seien $X, Y \in \mathcal{C}(\Omega)$ zwei zueinander homotope, geschlossene Kurven. Dann gibt es eine stetige Funktion

$Z(t, s): [a, b] \times [0, 1] \to \Omega \in C^0([a, b] \times [0, 1], \mathbb{R}^n)$

mit den Eigenschaften

Z (a, s) = Z (b, s)

für alle $s \in [0, 1]$

sowie

$Z(t, 0) = X(t), \quad Z(t, 1) = Y(t)$ für alle $t \in [a, b]$ .

Wir setzen $Z$ auf das Rechteck $[a, b] \times [- 2, 3]$ fort zu

$\Phi(t, s) := \left\{ \begin{matrix} X(t), (t, s) \in [a, b] \times [- 2, 0] \\ Z(t, s), (t, s) \in [a, b] \times [0, 1] \\ Y(t), (t, s) \in [a, b] \times [1, 3] \end{matrix} \right.$ .

Mittels

$\Phi \Bigl( t + k (b - a), s \Bigr) = \Phi(t, s)$ für $t \in \mathbb{R}, \quad s \in [- 2, 3]$ und $k \in \mathbb{Z}$

setzen wir die Funktion auf den Streifen $\mathbb{R} \times [- 2, 3]$ fort zu einer stetigen, in der ersten Variablen periodischen Funktion mit der Periode $(b - a)$ .

2. In dem Quader $Q := [a, b] \times [- 1, 2]$ betrachten wir die Funktion

$\Phi^\varepsilon(u, v) := \int\limits^{+ \infty}_{- \infty} \int\limits^{+ \infty}_{- \infty} \Phi(\xi, \eta) \chi_{u, \varepsilon}(\xi) \chi_{v, \varepsilon}(\eta)\, d\xi d\eta$ für alle $0 < \varepsilon < 1$ .

Nun ist $\Phi^\varepsilon \in C^\infty(Q)$ erfüllt und es gilt

$\Phi^\varepsilon(u, v) \to \Phi(u, v)$ für $\varepsilon \to 0$ gleichmäßig in $[a, b] \times [- 1, 2]$ .

Somit folgt $\Phi^\varepsilon(Q) \subset \Omega, 0 < \varepsilon < \varepsilon_0$ . Weiter ist

$\Phi^\varepsilon \Bigl( u + k (b - a), v \Bigr) = \Phi^\varepsilon(u, v)$ für alle $(u, v) \in \mathbb{R} \times [- 1, 2], \quad k \in \mathbb{Z}$

erfüllt und für $a \le u \le b$ haben wir

$\Phi^\varepsilon(u, -1) = \int\limits^{+ \infty}_{- \infty} \int\limits^{+ \infty}_{- \infty} \Phi(\xi, \eta) \chi_{u, \varepsilon}(\xi) \chi_{-1, \varepsilon}(\eta)\, d\xi d\eta$

$= \int\limits^{+ \infty}_{- \infty} \int\limits^{+ \infty}_{- \infty} X(\xi) \chi_{u, \varepsilon}(\xi) \chi_{-1, \varepsilon}(\eta)\, d\xi d\eta$

$= \int\limits^{+ \infty}_{- \infty} X(\xi) \chi_{u, \varepsilon}(\xi)\, d\xi = X^\varepsilon(u)$

und ebenso

$\Phi^\varepsilon(u, 2) = Y^\varepsilon(u), \quad a \le u \le b.$

3. Mit dem Stokesschen Integralsatz für den Quader $Q$ erhalten wir für alle $0 < \varepsilon < \varepsilon_0$

$\int\limits_{X^\varepsilon} \omega - \int\limits_{Y^\varepsilon} \omega = \oint\limits_{\partial Q} \omega_{\Phi^\varepsilon} = \int\limits_Q d(\omega_{\Phi^\varepsilon}) = \int\limits_Q (d\omega)_{\Phi^\varepsilon} = 0.$

Für $\varepsilon \to 0+$ ergibt sich mit

$0 = \lim_{\varepsilon \to 0+} \left( \int\limits_{X^\varepsilon} \omega - \int\limits_{Y^\varepsilon} \omega \right) = \int\limits_X \omega - \int\limits_Y \omega$

die Behauptung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 6

Seien das Gebiet $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ sowie die Punkte $P, Q \in \Omega$ gegeben. Zwei Kurven

$X(t), Y(t): [a, b] \to \Omega \in \mathcal{C}(\Omega, P, Q)$

heißen homotop in $Ω$ mit festem Anfangspunkt $P$ und Endpunkt $Q$ , falls es eine stetige Abbildung

$Z(t, s): [a, b] \times [0, 1] \to \Omega$

mit den folgenden Eigenschaften gibt:

$Z(a, s) = P, \quad Z(b, s) = Q$ für alle $s \in [0, 1]$

sowie

$Z(t, 0) = X(t), \quad Z(t, 1) = Y(t)$ für alle $t \in [a, b]$ .

[Bearbeiten] Definition 7

Ein Gebiet $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ heißt einfach zusammenhängend, falls jede geschlossene Kurve $X(t) \in \mathcal{C}(\Omega)$ homotop zu einer Punktkurve in $Ω$ ist, jede geschlossene Kurve sich also auf einen Punkt zusammenziehen lässt.

[Bearbeiten] Satz 3 (Kurvenintegrale in einfach zusammenhängenden Gebieten)

Seien $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und

$\omega = \sum^n_{i = 1} f_i(x)\, dx_i, \quad x \in \Omega$

eine Pfaffsche Form der Klasse $C 1 (Ω)$ . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. $ω$ ist eine exakte Pfaffsche Form, besitzt also eine Stammfunktion $F$ .

2. Für alle $X \in \mathcal{C}(\Omega, P, P)$ mit einem $P \in \Omega$ gilt

$\int\limits_X \omega = 0.$

3. $ω$ ist eine geschlossene Pfaffsche Form, d. h. es gilt

$d ω = 0$ in $Ω$

bzw. die Matrix

$\left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (x) \right)_{i, j = 1, \ldots, n}$

ist symmetrisch für alle $x \in \Omega$ .

[Bearbeiten] Beweis

Nach dem ersten Hauptsatz über Kurvenintegrale gilt die Äquivalenz „ $1. \Leftrightarrow 2.$ “. Die Aussage „ $1. \Rightarrow 3.$ “ ergeben die Überlegungen vor der Definition 4. Wir haben nur noch die Richtung „ $3. \Rightarrow 2.$ “ zu zeigen. Sei dazu

$X(t) \in \mathcal{C}(\Omega, P, P)$

eine geschlossene Kurve, so ist diese Kurve $X$ nach Voraussetzung an das Gebiet $Ω$ homotop zu einer Punktkurve

$Y(t) \equiv P, \quad a \le t \le b.$

Anwendung von Satz 2 liefert uns schließlich

$\int\limits_X \omega = \int\limits_Y \omega = \int\limits^b_a \sum^n_{i = 1} f_i \Bigl( Y(t) \Bigr) y_i'(t)\, dt = 0,$

woraus der Satz folgt.

q.e.d.

Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§6 Kurvenintegrale

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

[Bearbeiten] Definition 2

[Bearbeiten] Definition 3

[Bearbeiten] Satz 1 (Erster Hauptsatz über Kurvenintegrale)

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Definition 4

[Bearbeiten] Definition 5

[Bearbeiten] Satz 2 (Zweiter Hauptsatz über Kurvenintegrale)

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Definition 6

[Bearbeiten] Definition 7

[Bearbeiten] Satz 3 (Kurvenintegrale in einfach zusammenhängenden Gebieten)

[Bearbeiten] Beweis

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