Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§7 Das Poincarésche Lemma

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

Eine stetige m-Form, 1 \le m \le n, in einer offenen Menge \Omega \subset \mathbb{R}^n, n \in \mathbb{N}
\omega = \sum_{1 \le i_1 < \ldots < i_m \le n} a_{i_1 \ldots i_m} (x)\, dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_m}, \quad x \in \Omega
heißt exakt, wenn es eine (m − 1)-Form
\lambda = \sum_{1 \le i_1 < \ldots < i_{m - 1} \le n} b_{i_1 \ldots i_{m - 1}} (x)\, dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_{m - 1}}, \quad x \in \Omega
der Klasse C1(Ω) gibt mit der Eigenschaft
dλ = ω in Ω.

[Bearbeiten] Definition 2

Sei \Omega \subset \mathbb{R}^n ein Gebiet mit dem zugehörigen Zylinder
\hat{\Omega} := \Omega \times [0, 1] \subset \mathbb{R}^{n + 1}.
Weiter gebe es ein x_0 \in \Omega und eine Abbildung
F = F(x, t) = \Bigl( f_1(x_1, \ldots, x_n, t), \ldots, f_n(x_1, \ldots, x_n, t) \Bigr): \hat{\Omega} \to \Omega
der Klasse C^2(\hat{\Omega}, \mathbb{R}^n), so dass folgendes gilt:
F(x, 0) = x_0, \quad F(x, 1) = x für alle x \in \Omega.
Dann nennen wir das Gebiet Ω (auf den Punkt x0) zusammenziehbar.

[Bearbeiten] Satz 1 (Das Poincarésche Lemma)

Seien \Omega \subset \mathbb{R}^n ein zusammenziehbares Gebiet und 1 \le m \le n. Dann ist jede geschlossene m-Form ω in Ω exakt.

[Bearbeiten] Beweis

1. Da Ω zusammenziehbar ist, gibt es eine Abbildung

F = F(x, t): \hat{\Omega} \to \Omega \in C^2(\hat{\Omega})

mit

F(x, 0) = x_0, \quad F(x, 1) = x für alle x \in \Omega.

Wir betrachten auf \hat{\Omega} = \Omega \times [0, 1] die transformierte Differentialform

\hat{\omega}(x, t) := \omega \circ F(x, t) = \sum_{1 \le i_1 < \ldots < i_m \le n} a_{i_1 \ldots i_m} (F(x, t))\, df_{i_1} \wedge \ldots \wedge df_{i_m}
= \sum_{1 \le i_1 < \ldots < i_m \le n} a_{i_1 \ldots i_m} (F(x, t))\, d_x f_{i_1} \wedge \ldots \wedge d_x f_{i_m} + dt \wedge \omega_2(x, t) = \omega_1 + dt \wedge \omega_2.

Dabei haben wir

df_{i_k} = d_x f_{i_k} + \dot{f}_{i_k}\, dt für k = 1, \ldots, m

benutzt. Die Differentialformen ω1(x,t) und ω2(x,t) sind unabhängig von dt und haben den Grad m bzw. (m − 1). Weiter gelten

ω1(x,0) = 0 und ω1(x,1) = ω(x).

2. Wir berechnen

0 = (d\omega) \circ F = d(\omega \circ F) = d \hat \omega = d\omega_1 + d(dt \wedge \omega_2)
= d_x \omega_1 + dt \wedge \dot \omega_1 - dt \wedge d\omega_2 = d_x \omega_1 + dt \wedge \dot \omega_1 - dt \wedge (d_x \omega_2 + dt \wedge \dot \omega_2)
= d_x \omega_1 + dt \wedge (\dot \omega_1 - d_x \omega_2).

Somit folgt

\dot \omega_1 = d_x \omega_2.

3. Wir erklären nun die (m − 1)-Form

\lambda := \int\limits^1_0 \omega_2(x, t)\, dt.

Wir berechnen

d\lambda = \int\limits^1_0 \Bigl( d_x \omega_2(x, t) \Bigr)\, dt = \int\limits^1_0 \dot \omega_1(x, t)\, dt = \omega_1(x, 1) - \omega_1(x, 0) = \omega(x),

womit alles gezeigt ist.

q.e.d.

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