Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§2 Fortsetzung des Daniell-Integrals zum Lebesgue-Integral

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Inhaltsverzeichnis

1 Definition 1
2 Definition 2
3 Definition 3
4 Definition 4
5 Satz 1 (Rechenregeln für Lebesgue-integrierbare Funktionen)
- 5.1 Beweis
6 Satz 2 (Satz über monotone Konvergenz von B. Levi)
- 6.1 Beweis
7 Satz 3 (Konvergenzsatz von Fatou)
- 7.1 Beweis
8 Satz 4 (Satz über majorisierte Konvergenz von H. Lebesgue)
- 8.1 Beweis

[Bearbeiten] Definition 1

Es sei $V (X)$ die Menge aller Funktionen $f: X \to \mathbb{R} \cup \{+ \infty\}$ , die schwach monoton steigend aus $M (X)$ approximiert werden können, d. h. zu $f$ gibt es eine Folge $\{f_n\}_{n = 1, 2, \ldots}$ aus $M (X)$ mit der Eigenschaft

$f_n(x) \uparrow f(x)$ für $n \to \infty$ und für alle $x \in X$ .

Für $f \in V$ setzen wir dann

$I(f) := \lim_{n \to \infty} I(f_n),$

womit $I(f) \in \mathbb{R} \cup \{+ \infty\}$ gilt.

[Bearbeiten] Definition 2

Wir setzen

$- V := \Bigl\{ f: X \to \mathbb{R} \cup \{- \infty\}: -f \in V \Bigr\}$

und definieren

$I(f) := - I(- f) \in \mathbb{R} \cup \{- \infty\}$ für alle $f \in - V$ .

[Bearbeiten] Definition 3

Für eine beliebige Funktion $f: X \to \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ setzen wir

$I^+(f) := \inf \Bigl\{ I(h): h \in V, h \ge f \Bigr\}, \quad I^-(f) := \sup \Bigl\{ I(g): g \in - V, g \le f \Bigr\}.$

Wir nennen $I + (f)$ das obere und $I - (f)$ das untere Daniellsche Integral von $f$ .

[Bearbeiten] Definition 4

Eine Funktion $f: X \to \overline{\mathbb{R}}$ gehört zur Klasse $L = L (X) = L (X, I)$ genau dann, wenn

$- \infty < I^-(f) = I^+(f) < + \infty$

gilt. Wir setzen dann

I (f): = I - (f) = I + (f)

und sagen, $f$ ist Lebesgue-integrierbar (bezüglich $I$ ).

[Bearbeiten] Satz 1 (Rechenregeln für Lebesgue-integrierbare Funktionen)

Für die Menge $L (X)$ der Lebesgue-integrierbaren Funktionen gelten folgende Aussagen:

a) Es ist

$f \in L(X)$ für jedes $f \in V(X)$ mit $I(f) < + \infty$

richtig und die in den Definitionen 1 und 4 erklärten Integrale stimmen überein. Somit ist $I: M(X) \to \mathbb{R}$ auf $L(X) \supset M(X)$ fortgesetzt. Weiter gilt

$I(f) \ge 0$ für alle $f \in L(X)$ mit $f \ge 0$ .

b) Der Raum $L (X)$ ist linear, d. h. es gilt

$c_1 f_1 + c_2 f_2 \in L(X)$ für alle $f_1, f_2 \in L(X)$ und $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$ .

Ferner ist $I: L(X) \to \mathbb{R}$ ein lineares Funktional. Es ist also

$I (c 1 f 1 + c 2 f 2) = c 1 I (f 1) + c 2 I (f 2)$ für alle $f_1, f_2 \in L(X), \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R}$

erfüllt.

c) Mit $f \in L(X)$ ist auch $|f| \in L(X)$ und es gilt $|I(f)| \le I(|f|)$ .

[Bearbeiten] Beweis

a) Sei $f \in V(X)$ mit $I(f) < + \infty$ . Dann gibt es eine Folge $\{f_n\}_{n = 1, 2, \ldots} \subset M(X)$ mit $f_n \uparrow f$ . Setzen wir $g n : = f n$ und $h n : = f$ für alle $n \in \mathbb{N}$ , so gelten $g_n \le f \le h_n$ mit $g_n \in -V, h_n \in V$ sowie $I(h_n) - I(g_n) = I(f) - I(f_n) \to 0$ . Es gilt somit $f \in L(X)$ und nach Definition 4 gilt

$- \infty < I(f) := I^-(f) = I^+(f) = \lim_{n \to \infty} I(f_n) < + \infty.$

Ist $0 \le f \in L(X)$ , so ist mit $0 \in -V$ offensichtlich $0 \le I^-(f) = I(f)$ erfüllt.

b) Wir zeigen zunächst: Ist $f \in L(X)$ , so gelten $-f \in L(X)$ sowie $I ( - f) = - I (f)$ .

Sei $f \in L(X)$ , so gibt es zu jedem $\varepsilon > 0$ Funktionen $g \in -V$ und $h \in V$ mit $g \le f \le h$ und $I(h) - I(g) < \varepsilon$ . Daraus lassen sich $- h \le - f \le - g, - h \in -V$ sowie $- g \in V$ ablesen und mit $I ( - g) = - I (g)$ bzw. $I ( - h) = - I (h)$ erhalten wir

$I(- g) - I(- h) = - I(g) + I(h) < \varepsilon$ für alle $\varepsilon > 0$ ,

somit also $-f \in L(X)$ und $I ( - f) = - I (f)$ .

Wir zeigen nun: Mit $f \in L(X)$ und $c > 0$ gelten $cf \in L(X)$ sowie $I (c f) = c I (f)$ .

Seien also $f \in L(X), c > 0$ , so gibt es zu jedem $\varepsilon > 0$ Funktionen $g \in -V$ und $h \in V$ mit $g \le f \le h$ und $I(h) - I(g) < \varepsilon$ , woraus $cg \le cf \le ch, cg \in -V, ch \in V$ und schließlich auch

$I(ch) - I(cg) = c \Bigl( I(h) - I(g) \Bigr) < c \varepsilon$

folgen. Es gelten also $cf \in L(X)$ sowie $I (c f) = c I (f)$ .

Schließlich zeigen wir noch: Aus $f_1, f_2 \in L(X)$ folgen $f_1 + f_2 \in L(X)$ und $I (f 1 + f 2) = I (f 1) + I (f 2)$ .

Für $f_1, f_2 \in L(X)$ gibt es zu jedem $\varepsilon > 0$ Funktionen $g_1, g_2 \in -V$ und $h_1, h_2 \in V$ mit $g_i \le f_i \le h_i$ und $I(h_i) - I(g_i) < \varepsilon, i = 1, 2$ . Daraus folgen sofort $h_1 + h_2 \in V, g_1 + g_2 \in - V, g_1 + g_2 \le f_1 + f_2 \le h_1 + h_2$ und

$I(h_1 + h_2) - I(g_1 + g_2) < 2 \varepsilon.$

Also ist $f_1 + f_2 \in L(X)$ und es gilt $I (f 1 + f 2) = I (f 1) + I (f 2)$ .

Insgesamt erhalten wir also, dass $I: L(X) \to \mathbb{R}$ ein lineares Funktional auf dem linearen Raum $L (X)$ ist.

c) Sei $f \in L(X)$ , so gibt es zu jedem $\varepsilon > 0$ Funktionen $g \in -V$ und $h \in V$ mit $g \le f \le h$ sowie $I(h) - I(g) < \varepsilon$ und somit $g^+ \le f^+ \le h^+$ . Weiter gibt es Folgen $g_n \downarrow g$ und $h_n \uparrow h$ in $M (X)$ , woraus wir $g_n^+ \downarrow g^+$ und $h_n^+ \uparrow h^+$ erhalten. Somit sind $h^+ \in V, g^+ \in - V$ und $h^+ - g^+ \in V$ . Wegen $h \ge g$ folgt $h^+ - g^+ \le h - g$ und es gilt

I (h +) - I (g +) = I (h +) + I ( - g +) = I (h + - g +)

$\le I(h - g) = I(h) - I(g).$

Wir haben also $f^+ \in L(X)$ und $|f| = f^+ + (-f)^+ \in L(X)$ . Nun gehören mit $f \in L(X)$ auch $- f$ und $| f |$ zu $L (X)$ und mit $f \le |f|$ und $- f \le |f|$ folgen $I(f) \le I(|f|), -I(f) = I(-f) \le I(|f|)$ bzw. $|I(f)| \le I(|f|)$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Satz über monotone Konvergenz von B. Levi)

Sei $\{f_n\}_{n = 1, 2, \ldots} \subset L(X)$ eine Folge mit

$f_n(x) \neq \pm \infty$ für alle $x \in X$ und alle $n \in \mathbb{N}$ .

Weiter seien

$f_n(x) \uparrow f(x), \quad x \in X$ und $I(f_n) \le C, \quad n \in \mathbb{N}$

mit einem $C \in \mathbb{R}$ richtig. Dann gelten $f \in L(X)$ und

$\lim_{n \to \infty} I(f_n) = I(f).$

[Bearbeiten] Beweis

Wegen $f_k(x) \in \mathbb{R}$ ist das Assoziativgesetz für die Addition gültig. Setzen wir

$\varphi_k(x) := (f_k(x) - f_{k - 1}(x)) \in L(x), \quad k = 2, 3, \ldots,$

so folgen $\varphi_k \ge 0$ und

$\sum^n_{k = 2} \varphi_k(x) = f_n(x) - f_1(x), \quad x \in X.$

Nun ergibt sich

$C - I(f_1) \ge I(f_n) - I(f_1) = \sum^n_{k = 2} I(\varphi_k)$ für alle $n \ge 2$ .

Dann folgt

$f - f_1 = \sum^\infty_{k = 2} \varphi_k \in L(X)$

sowie

$\lim_{n \to \infty} I(f_n) - I(f_1) = \sum^\infty_{k = 2} I(\varphi_k) = I \left( \sum^\infty_{k = 2} \varphi_k \right) = I(f - f_1) = I(f) - I(f_1).$

Somit folgt $f \in L(X)$ und es gilt

$\lim_{n \to \infty} I(f_n) = I(f).$

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Konvergenzsatz von Fatou)

Sei $\{f_n\}_{n = 1, 2, \ldots} \subset L(X)$ eine Folge von Funktionen mit

$0 \le f_n(x) < + \infty$ für alle $x \in X$ und alle $n \in \mathbb{N}$ .

Ferner sei

$\liminf_{n \to \infty} I(f_n) < + \infty.$

Dann gehört die Funktion $g(x) := \liminf_{n \to \infty} f_n(x)$ zu $L (X)$ und es gilt

$I(g) \le \liminf_{n \to \infty} I(f_n).$

[Bearbeiten] Beweis

Wir beachten

$g(x) = \liminf_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \left( \inf_{m \ge n} f_m(x) \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \lim_{k \to \infty} g_{n, k}(x) \right)$

mit

$g_{n, k}(x) := \min \Bigl( f_n(x), f_{n + 1}(x), \ldots, f_{n + k}(x) \Bigr) \in L(X).$

Definieren wir

$g(x) := \inf_{m \ge n} f_m(x),$

so gelten $g_{n, k} \downarrow g_n$ sowie $- g_{n, k} \uparrow - g_n$ für $k \to \infty$ . Weiter erhalten wir $I(- g_{n, k}) \le 0$ wegen $f_n(x) \ge 0$ . Nach Satz 2 folgen $- g_n \in L(X)$ und somit auch $g_n \in L(X)$ für alle $n \in \mathbb{N}$ . Weiter gilt $g_n(x) \le f_m(x), x \in X$ für alle $m \ge n$ und deshalb ist