Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§3 Messbare Mengen

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

Eine Teilmenge A \subset X nennen wir endlich messbar (oder auch integrierbar), falls ihre charakteristische Funktion \chi_A \in L(X) erfüllt. Wir nennen
μ(A): = I(χA)
das Maß der Menge A bezüglich dem Integral I. Die Menge aller messbaren Mengen in X bezeichnen wir mit \mathcal{S}(X).

[Bearbeiten] Hilfssatz 1 (σ-Additivität des Maßes)

Sei \{A_i\}_{i = 1, 2, ...} \subset \mathcal{S}(X) eine Folge paarweise disjunkter Mengen. Dann gehört auch die Menge
A := \bigcup^\infty_{i = 1} A_i
zu \mathcal{S}(X) und es gilt
\mu(A) = \sum^\infty_{i = 1} \mu(A_i).

[Bearbeiten] Satz 1 (Stetige Kombination beschränkter L-Funktionen)

Seien f_k(x) \in L(X), k = 1, \ldots, \kappa endlich viele beschränkte Funktionen, d. h. es gibt eine Konstante c \in (0, + \infty), so dass die Abschätzung
|f_k(x)| \le c für alle x \in X und alle k \in \{1, \ldots, \kappa\}
gilt. Weiter sei \Phi = \Phi(y_1, \ldots, y_\kappa): \mathbb{R}^\kappa \to \mathbb{R} \in C^0(\mathbb{R}^\kappa, \mathbb{R}) gegeben. Dann gehört die Funktion
g(x) := \Phi \Bigl( f_1(x), \ldots, f_\kappa(x) \Bigr), \quad x \in X
zur Klasse L(X) und ist beschränkt.

[Bearbeiten] Beweis

1. Sei f: X \to \mathbb{R} \in L(X) eine beschränkte Funktion. Wir zeigen zunächst, dass dann auch f^2 \in L(X) gilt. Wegen f2(x) = {f(x) − λ}2 + 2λf(x) − λ2 folgt

f^2(x) \ge 2 \lambda f(x) - \lambda^2 für alle \lambda \in \mathbb{R}

und die Gleichheit gilt nur für λ = f(x). Wir können dafür

f^2(x) = \sup_{\lambda \in \mathbb{R}} \Bigl( 2 \lambda f(x) - \lambda^2 \Bigr)

schreiben. Da die Funktion \lambda \mapsto (2 \lambda f(x) - \lambda^2) für jedes feste x \in X stetig bezüglich λ ist, genügt es, das Supremum über die rationalen Zahlen zu bilden. Weiter gilt \mathbb{Q} = \{\lambda_l\}_{l = 1, 2, \ldots} und es folgt

f^2(x) = \sup_{l \in \mathbb{N}} \Bigl( 2 \lambda_l f(x) - \lambda_l^2 \Bigr) = \lim_{m \to \infty} \left( \max_{1 \le l \le m} \Bigl( 2 \lambda_l f(x) - \lambda_l^2 \Bigr) \right).

Mit

\varphi_m(x) := \max_{1 \le l \le m} \Bigl( 2 \lambda_l f(x) - \lambda_l^2 \Bigr)

erhalten wir

f^2(x) = \lim_{m \to \infty} \varphi_m(x) = \lim_{m \to \infty} \varphi_m^+(x),

wobei die letzte Gleichheit aus der Positivität von f2(x) folgt. Da f \in L(X), sind wegen der Linearität und der Abgeschlossenheit bezüglich der Maximumsbildung von L(X) auch die \varphi_m und somit auch die \varphi_m^+ aus L(X). Weiter gilt für alle x \in X und alle m \in \mathbb{N} die Abschätzung

0 \le \varphi_m^+(x) \le f^2(x) \le c

mit einer Konstante c \in (0, + \infty). Da wegen f_0(x) \equiv 1 \in L(X) auch f_c(x) \equiv c \in L(X) gilt, haben die Funktionen \varphi_m^+ eine integrable Majorante und der Lebesguesche Konvergenzsatz liefert

f^2(x) = \lim_{m \to \infty} \varphi_m^+(x) \in L(X).

2. Sind f, g \in L(X) beschränkte Funktionen, so ist auch f \cdot g eine beschränkte Funktion. Wegen Teil 1 sowie

fg = \frac{1}{4} (f + g)^2 - \frac{1}{4} (f - g)^2

gilt dann auch fg \in L(X).

3. Auf dem Quader

Q := \Bigl\{ y = (y_1, \ldots, y_\kappa) \in \mathbb{R}^\kappa: |y_k| \le c, k = 1, \ldots, \kappa \Bigr\}

können wir die stetige Funktion Φ gleichmäßig durch Polynome

\Phi_l = \Phi_l(y_1, \ldots, y_\kappa), \quad l = 1, 2, \ldots

approximieren. Wegen Teil 2 sich die Funktionen

g_l(x) := \Phi_l \Bigl( f_1(x), \ldots, f_\kappa(x) \Bigr), \quad x \in X

beschränkt und aus der Klasse L(X). Es gilt

|g_l(x)| \le C für alle x \in X und alle l \in \mathbb{N}

mit einer festen Konstante C \in (0, + \infty). Da die Funktion \varphi(x) \equiv C \in L(X) ist, liefert der Lebesguesche Konvergenzsatz

g(x) := \Phi \Bigl( f_1(x), \ldots, f_\kappa(x) \Bigr) = \lim_{l \to \infty} g_l(x) \in L(X).

q.e.d.

[Bearbeiten] Hilfssatz 2 (σ-Subadditivität)

Sei \{A_i\}_{i = 1, 2, ...} \subset \mathcal{S}(X) eine Folge von Mengen. Dann gehört auch die Menge
A := \bigcup^\infty_{i = 1} A_i
zu \mathcal{S}(X) und es gilt
\mu(A) \le \sum^\infty_{i = 1} \mu(A_i) \in [0, +\infty].

[Bearbeiten] Definition 2

Ein System \mathcal{A} von Teilmengen einer Menge X heißt σ-Algebra, wenn:
  1. X \in \mathcal{A}.
  2. Mit B \in \mathcal{A} ist auch B^c = (X \setminus B) \in \mathcal{A}.
  3. Für jede Folge von Mengen \{B_i\}_{i = 1, 2, \ldots} aus \mathcal{A} liegt auch \bigcup^\infty_{i = 1} B_i in \mathcal{A}.

[Bearbeiten] Definition 3

Eine Funktion \mu: \mathcal{A} \to [0, + \infty] auf einer σ-Algebra \mathcal{A} heißt Maß, wenn
  1. \mu(\emptyset) = 0
  2. \mu \left( \bigcup^\infty_{i = 1} B_i \right) = \sum^\infty_{i = 1} \mu(B_i) für paarweise disjunkte Mengen \{B_i\}_{i = 1, 2, \ldots} \subset \mathcal{A}
gilt. Wir nennen das Maß endlich, falls \mu(X) < + \infty gilt.

[Bearbeiten] Definition 4

Eine Menge A \subset X heißt Nullmenge, falls A \in \mathcal{S}(X) und μ(A) = 0 gelten.

[Bearbeiten] Definition 5

Eine Eigenschaft gilt fast überall in X (in Zeichen: f. ü.), wenn es eine Nullmenge N \subset X gibt, so dass diese Eigenschaft für alle x \in X \setminus N richtig ist.

[Bearbeiten] Satz 2 (f. ü.-Endlichkeit von L-Funktionen)

Sei die Funktion f \in L(X) gegeben. Dann ist die Menge
N := \Bigl\{ x \in X: |f(x)| = + \infty \Bigr\}
eine Nullmenge.

[Bearbeiten] Beweis

Sei f \in L(X). Dann ist auch |f| \in L(X) und es gibt eine Funktion h \in V(X) mit 0 \le |f(x)| \le h(x) in X und mit I(h) < + \infty. Weiter ist h(x) = + \infty in N und damit ist N eine Nullmenge.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Allgemeiner Konvergenzsatz von B. Levi)

Sei \{f_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset L(X) eine Folge mit f_k \uparrow f f. ü. in X. Weiter gelte I(f_k) \le c für alle k \in \mathbb{N} und eine Konstante c \in \mathbb{R}. Dann folgen f \in L(X) und
\lim_{k \to \infty} I(f_k) = I(f).

[Bearbeiten] Beweis

Wir betrachten die Nullmengen

N_k := \Bigl\{ x \in X: |f_k(x)| = + \infty \Bigr\} für k \in \mathbb{N}

sowie

N_0 := \Bigl\{ x \in X: f_k(x) \uparrow f(x) \mathrm{\ ist\ nicht\ erf\ddot ullt} \Bigr\}.

Sei die Nullmenge

N := \bigcup^\infty_{k = 0} N_k

erklärt, so ändern wir f,fk auf N zu 0 ab und erhalten Funktionen \tilde f_k \in L(X) mit

I(\tilde f_k) = I(f_k) \le c für alle k \in \mathbb{N}

und \tilde f mit \tilde f_k \uparrow \tilde f. Nach Satz 2 aus §2 ist dann \tilde f \in L(X) und es gilt

\lim_{k \to \infty} I(\tilde f_k) = I(\tilde f).

Es folgt nun f \in L(X) und

I(f) = I(\tilde f) = \lim_{k \to \infty} I(\tilde f_k) = \lim_{k \to \infty} I(f_k).

[Bearbeiten] Satz 4 (Allgemeiner Konvergenzsatz von Fatou)

Sei \{f_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset L(X) eine Funktionenfolge mit f_k(x) \ge 0 f. ü. in X für alle k \in \mathbb{N} und es gelte
\liminf_{k \to \infty} I(f_k) < + \infty.
Dann gehört auch die Funktion
g(x) := \liminf_{k \to \infty} f_k(x)
zu L(X) und es gilt
I(g) \le \liminf_{k \to \infty} I(f_k).

[Bearbeiten] Satz 5 (Allgemeiner Konvergenzsatz von Lebesgue)

Sei \{f_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset L(X) eine Folge mit f_k \to f f. ü. auf X und |f_k(x)| \le F(x) f. ü. in X für alle k \in \mathbb{N}, wobei F \in L(X) gilt. Dann folgt f \in L(X) und es gilt
\lim_{k \to \infty} I(f_k) = I(f).
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