Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§4 Messbare Funktionen

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Inhaltsverzeichnis

1 Definition 1
2 Satz 1 (f. ü.-Konvergenz)
- 2.1 Beweis
3 Satz 2 (Kombination von messbaren Funktionen)
- 3.1 Beweis
4 Definition 2
5 Definition 3
6 Satz 3 (Lebesguescher Auswahlsatz)
- 6.1 Beweis
7 Satz 4 (f. ü.-Approximation)
- 7.1 Beweis
8 Satz 5 (Egorov)
- 8.1 Beweis
9 Satz 6 (Lusin)
- 9.1 Beweis

[Bearbeiten] Definition 1

Eine Funktion $f: X \to \overline{\mathbb{R}}$ heißt messbar, wenn für alle $a \in \mathbb{R}$ die oberhalb des Niveaus $a$ gelegene Punktmenge

$\mathcal{O}(f, a) := \Bigl\{ x \in X: f(x) > a \Bigr\}$

messbar ist.

[Bearbeiten] Satz 1 (f. ü.-Konvergenz)

Sei $\{f_k\}_{k = 1, 2, \ldots}$ eine Folge messbarer Funktionen mit der Eigenschaft $f_k(x) \to f(x)$ f. ü. in $X$ . Dann ist $f$ messbar.

[Bearbeiten] Beweis

Seien $a, b \in \mathbb{R}$ mit $a < b$ . Dann gehören die Funktionen $(f k) a, b$ zu $L (X)$ für alle $k \in \mathbb{N}$ und es gelten

$|(f_k)_{a, b}(x)| \le \max(|a|, |b|)$ und $(f_k)_{a, b} \to f_{a, b}$ f. ü. in

X

.

Der allgemeine Lebesguesche Konvergenzsatz liefert $f_{a, b} \in L(X)$ . Damit ist $f$ messbar.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Kombination von messbaren Funktionen)

Es gelten die folgenden Aussagen:

a) Lineare Kombination: Seien $f$ und $g$ messbar sowie $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ , so sind auch $α f + β g$ , $max(f, g)$ , $min(f, g)$ und $| f |$ messbar.

b) Nichtlineare Kombination: Seien mit $f_1, \ldots, f_\kappa, \kappa \in \mathbb{N}$ endlichwertige, messbare Funktionen und $\phi = \phi(y_1, \ldots, y_\kappa) \in C^0(\mathbb{R}^\kappa, \mathbb{R})$ gegeben. Dann ist die Funktion $g(x) := \phi \Bigl( f_1(x), \ldots, f_\kappa(x) \Bigr), x \in X$ messbar.

[Bearbeiten] Beweis

a) Es gilt $f_{-p, p}, g_{- p, p} \in L(X)$ für alle $p \in \mathbb{R}$ . Beachten wir weiter $f = \lim_{p \to \infty} f_{-p, p}$ , so liefert Satz 1 und die Linearität des Raumes $L (X)$ , dass

$\alpha f + \beta g = \lim_{p \to + \infty} (\alpha f_{-p, p} + \beta g_{-p, p})$

für alle $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ messbar ist. Genauso sind

$\max(f, g) = \lim_{p \to + \infty} \max(f_{-p, p}, g_{-p, p})$

und

$\min(f, g) = \lim_{p \to + \infty} \min(f_{-p, p}, g_{-p, p})$

messbar und wegen $| f | = max(f, - f)$ auch $| f |$ .

b) Für alle $p > 0$ und $k = 1, \ldots, \kappa$ sind $(f_k)_{- p, p} \in L(X)$ beschränkte Funktionen. Nach §3, Satz 1 und §4, Satz 1 gehört dann die Funktion $\phi \Bigl( (f_1)_{- p, p}(x), \ldots, (f_\kappa)_{- p, p}(x) \Bigr)$ zu $L (X)$ . Weiter gilt

$g(x) = \lim_{p \to + \infty} \phi \Bigl( (f_1)_{- p, p}(x), \ldots, (f_\kappa)_{- p, p}(x) \Bigr)$

für alle $x \in X$ und Satz 1 liefert die Messbarkeit von $g$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 2

Für eine nicht negative, messbare Funktion $f$ setzen wir

$I(f) := \lim_{N \to + \infty} I(f_{0, N}) \in [0, + \infty].$

[Bearbeiten] Definition 3

Eine Funktion $g: X \to \overline{\mathbb{R}}$ heißt einfach, wenn es endlich viele paarweise disjunkte Mengen $A_1, \ldots, A_{n^*} \in \mathcal{S}(X)$ und $\eta_1, \ldots, \eta_{n^*} \in \mathbb{R}$ mit $n^* \in \mathbb{N}$ gibt, so dass in $X$ die folgende Darstellung gilt:

$g = \sum^{n^*}_{k = 1} \eta_k \chi_{A_k}.$

[Bearbeiten] Satz 3 (Lebesguescher Auswahlsatz)

Sei $\{f_k\}_{k = 1, 2, \ldots}$ eine Folge aus $L (X)$ mit

$\lim_{k, l \to \infty} I(|f_k - f_l|) = 0.$

Dann gibt es eine Nullmenge $N \subset X$ und eine monoton wachsende Teilfolge $\{k_m\}_{m = 1, 2, \ldots}$ , so dass die Funktionenfolge $\{f_{k_m}(x)\}_{m = 1, 2, \ldots}$ für alle $x \in X \setminus N$ konvergiert und für den Grenzwert gilt

$\lim_{m \to \infty} f_{k_m}(x) =: f(x) \in L(X).$

Aus einer Cauchy-Folge bez. dem Integral $I$ können wir also eine f. ü. konvergente Teilfolge auswählen.

[Bearbeiten] Beweis

Auf der Nullmenge

$N_1 := \bigcup^\infty_{k = 1} \Bigl\{ x \in X: |f_k(x)| = + \infty \Bigr\}$

ändern wir die Funktionen $f k$ zu

$\tilde f_k(x) := \left\{ \begin{matrix} f_k(x), x \in X \setminus N_1 \\ 0, x \in N_1 \end{matrix} \right.$

ab. So können wir o. E. die Funktionen $\{f_k\}_{k = 1, 2, \ldots}$ als endlichwertig annehmen. Wegen

$\lim_{p, l \to \infty} I(|f_p - f_l|) = 0$

gibt es eine Teilfolge $k_1 < k_2 < \ldots$ mit der Eigenschaft

$I(|f_p - f_l|) \le \frac{1}{2^m}$ für alle $p, l \ge k_m, \quad m = 1, 2, \ldots$ .

Insbesondere folgen nun

$I(|f_{k_{m + 1}} - f_{k_m}|) \le \frac{1}{2^m}, \quad m = 1, 2, \ldots$

und

$\sum^\infty_{m = 1} I(|f_{k_{m + 1}} - f_{k_m}|) \le 1.$

Nach dem Satz von Levi gehört die Funktion

$g(x) := \sum^\infty_{m = 1} |f_{k_{m + 1}}(x) - f_{k_m}(x)|, \quad x \in X$

zu $L (X)$ und $N_2 := \{x \in X \setminus N_1: |g(x)| = + \infty\}$ ist eine Nullmenge. Also konvergiert die Reihe

$\sum^\infty_{m = 1} |f_{k_{m + 1}}(x) - f_{k_m}(x)|$ für alle $x \in X \setminus N$ mit $N := N_1 \cup N_2$

und folglich auch die Reihe

$\sum^\infty_{m = 1} \Bigl( f_{k_{m + 1}}(x) - f_{k_m}(x) \Bigr).$

Der Grenzwert

$\lim_{m \to \infty} \Bigl( f_{k_m}(x) - f_{k_1}(x) \Bigr) =: f(x) - f_{k_1}(x)$

existiert also für alle $x \in X \setminus N$ und somit ist die Folge $\{f_{k_m}\}_{m = 1, 2, \ldots}$ auf $X \setminus N$ konvergent gegen $f$ . Wegen $g \in L(X)$ und

$|f_{k_m}(x) - f_{k_1}(x)| \le |g(x)|$

ist der Lebesguesche Konvergenzsatz anwendbar. Es folgen $f \in L(X)$ und

$I(f) = \lim_{m \to \infty} I(f_{k_m}).$

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 4 (f. ü.-Approximation)

Sei $f$ eine messbare Funktion mit $|f(x)| \le c, x \in X, c \in (0, + \infty)$ . Dann gibt es eine Folge $\{f_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset M(X)$ mit $|f_k(x)| \le c, x \in X, k \in \mathbb{N}$ , so dass $f_k(x) \to f(x)$ f. ü. in $X$ gilt.

[Bearbeiten] Beweis

Da $f$ messbar ist und durch die konstante Funktion $c \in L(X)$ majorisiert wird, ist $f \in L(X)$ . Nun gibt es eine Folge $\{g_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset M(X)$ mit $I(|f - g_k|) \to 0$ für $k \to \infty$ . Wir setzen

h k (x): = (g k) - c, c (x)

und beachten $h_k \in M(X), |h_k(x)| \le c$ für alle $x \in X$ und alle $k \in \mathbb{N}$ . Wegen

$|h_k - f| = |(g_k)_{- c, c} - f_{- c, c}| = |(g_k - f)_{- c, c}| \le |g_k - f|$

folgt

$\lim_{k \to \infty} I(|h_k - f|) \le \lim_{k \to \infty} I(|g_k - f|) = 0.$

Wegen

$I(|h_k - h_l|) \le I(|h_k - f|) + I(|f - h_l|) \to 0$ für $k, l \to \infty$

liefert der Lebesguesche Auswahlsatz eine Nullmenge $N_1 \subset X$ und eine monoton wachsende Teilfolge $\{k_m\}_{m = 1, 2, \ldots}$ , so dass

$h(x) := \lim_{m \to \infty} h_{k_m}(x)$

für alle $x \in X \setminus N_1$ existiert. Wir setzen $h$ auf die Nullmenge fort durch $h (x): = 0$ für alle $x \in N_1$ . Nun gilt

$\lim_{m \to \infty} |h_{k_m}(x) - f(x)| = |h(x) - f(x)|$ in $X \setminus N_1$ .

Der Satz von Fatou liefert

$I(|h - f|) \le \lim_{m \to \infty} I(|h_{k_m} - f|) = 0.$

Somit gibt es eine Nullmenge $N_2 \subset X$ , so dass

f (x) = h (x)

für alle $x \in X \setminus N_2$

gilt. Setzen wir $N := N_1 \cup N_2$ und $f_m(x) := h_{k_m}(x)$ , so ist offensichtlich $f_m(x) \in M(X), |f_m(x)| \le c$ für alle $x \in X$ und alle $m \in \mathbb{N}$ und es gilt

$\lim_{m \to \infty} f_m(x) = \lim_{m \to \infty} h_{k_m}(x) \stackrel{x \notin N_1}{=} h(x) \stackrel{x \notin N_2}{=} f(x)$ für alle $x \in X \setminus N$ .

Somit folgt $f_m(x) \to f(x)$ für alle $x \in X \setminus N$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 5 (Egorov)

Seien die messbare Menge $B \subset X$ und die messbaren f. ü. endlichwertigen Funktionen $f: B \to \overline{\mathbb{R}}$ und $f_k: B \to \overline{\mathbb{R}}, k \in \mathbb{N}$ mit der Eigenschaft $f_k(x) \to f(x)$ f. ü. in $B$ gegeben. Dann gibt es zu jedem $δ > 0$ eine abgeschlossene Menge $A \subset B$ mit $\mu(B \setminus A) < \delta$ , so dass $f_k(x) \to f(x)$ gleichmäßig auf $A$ gilt.

[Bearbeiten] Beweis

Wir betrachten die Nullmenge

$N := \Bigl\{ x \in B: f_k(x) \to f(x) \mathrm{\ ist \ nicht\ erf\ddot ullt} \Bigr\}$

$= \left\{ x \in B: \mathrm{zu\ } m \in \mathbb{N} \mathrm{\ und\ f\ddot ur\ alle\ } l \in \mathbb{N} \mathrm{\ existiert\ ein\ } k \ge l \mathrm{\ mit\ } |f_k(x) - f(x)| > \frac{1}{m} \right\}$

$= \bigcup^\infty_{m = 1} \bigcap^\infty_{l = 1} \bigcup_{k \ge l} \left\{ x \in B: |f_k(x) - f(x)| > \frac{1}{m} \right\} = \bigcup^\infty_{m = 1} B_m,$

wobei

$B_m := \bigcap^\infty_{l = 1} \bigcup_{k \ge l} \left\{ x \in B: |f_k(x) - f(x)| > \frac{1}{m} \right\}$

gesetzt wurde. Es gilt $B_m \subset N$ und somit $μ(B m) = 0$ für alle $m \in \mathbb{N}$ . Mit

$B_{m, l} := \bigcup_{k \ge l} \left\{ x \in B: |f_k(x) - f(x)| > \frac{1}{m} \right\}$

folgt $B_{m, l} \supset B_{m, l+1}$ für alle $m, l \in \mathbb{N}$ . Aus

$B_m = \bigcap^\infty_{l = 1} B_{m, l}$

erhalten wir dann

$0 = \mu(B_m) = \lim_{l \to \infty} \mu(B_{m, l}).$

Somit gibt es zu jedem $m \in \mathbb{N}$ ein $l_m \in \mathbb{N}$ mit $l m < l m + 1$ , so dass

$\mu \left( \bigcup_{k \ge l_m} \left\{ x \in B: |f_k(x) - f(x)| > \frac{1}{m} \right\} \right) = \mu(B_{m, l_m}) < \frac{\delta}{2^{m + 1}}$

gilt. Wir setzen

$\hat B_m := B_{m, l_m}$ und $\hat B := \bigcup^\infty_{m = 1} \hat B_m$ .

Offenbar ist $\hat B$ messbar und es ist

$\mu(\hat B) \le \sum^\infty_{m = 1} \mu(\hat B_m) \le \frac{\delta}{2}$

erfüllt. Erklären wir noch $\hat A := B \setminus \hat B$ , so finden wir

$\hat A = B \cap \left( \bigcup^\infty_{m = 1} \hat B_m \right)^c = B \cap \left( \bigcap^\infty_{m = 1} \hat B_m^c \right)$

$= \bigcap^\infty_{m = 1} \left\{ x \in B: |f_k(x) - f(x)| \le \frac{1}{m} \mathrm{\ f\ddot ur\ alle\ } k \ge l_m \right\}.$

Für alle $x \in \hat A$ gibt es also zu vorgegebenem $m \in \mathbb{N}$ ein $l_m \in \mathbb{N}$ , so dass

$|f_k(x) - f(x)| \le \frac{1}{m}$

für alle $k \ge l_m$ gilt. Folglich konvergiert $\left\{ f_k \bigl|_\hat A \right\}_{k = 1, 2, \ldots}$ gleichmäßig gegen $f \bigl|_\hat A$ . Gemäß §3, Satz 5 wählen wir nun eine abgeschlossene Menge $A \subset \hat A$ mit

$\mu(\hat A \setminus A) < \frac{\delta}{2}.$

Dann konvergiert wegen $A \subset \hat A$ auch $\left\{ f_k \bigl|_A \right\}_{k = 1, 2, \ldots}$ gleichmäßig gegen $f \bigl|_A$ . Beachten wir noch $B \setminus \hat A = \hat B$ , so folgt

$\mu(B \setminus A) = \mu(B \setminus \hat A) + \mu(\hat A \setminus A) < \frac{\delta}{2} + \frac{\delta}{2} = \delta.$

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 6 (Lusin)

Sei $f: B \to \mathbb{R}$ eine messbare Funktion auf der messbaren Menge $B \subset X$ . Dann gibt es zu jedem $δ > 0$ eine abgeschlossene Menge $A \subset X$ mit $\mu(B \setminus A) < \delta$ , so dass $f \bigl|_A A \to \mathbb{R}$ stetig ist.

[Bearbeiten] Beweis

Für $j = 1, 2, \ldots$ betrachten wir die abgeschnittenen Funktionen

$f_j(x) := \left\{ \begin{matrix} - j, & f(x) \in [- \infty, - j] \\ f(x), & f(x) \in [- j, + j] \\ + j, & f(x) \in [+j, + \infty] \end{matrix}. \right.$

Die Funktionen $f_j: B \to \mathbb{R}$ sind messbar und es gilt

$|f_j(x)| \le j$ für alle $x \in B$ .

Nach Satz 9 und wegen $M(X) \subset C^0(X)$ existiert für jedes $j \in \mathbb{N}$ eine Folge stetiger Funktionen $f_{j, k}: B \to \mathbb{R}$ mit

$\lim_{k \to \infty} f_{j, k}(x) = f_j(x)$ f. ü. in

B

.

Nach dem Egorovschen Satz gibt es nun zu $j = 1, 2, \ldots$ eine abgeschlossene Menge $A_j \subset B$ mit

$\mu(B \setminus A_j) < \frac{\delta}{2^{j + 1}},$

so dass die Funktionenfolgen $\left\{ f_{j, k} \bigl|_{A_j} \right\}_{k = 1, 2, \ldots}$ gleichmäßig gegen $f_j \bigl|_{A_j}$ konvergieren. Nach dem Weierstraßschen Konvergenzsatz ist dann $f_j \bigl|_{A_j}$ für alle $j \in \mathbb{N}$ stetig. Die Menge