Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§5 Das Riemannsche und Lebesguesche Integral auf Quadern

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[Bearbeiten] Satz 1 (Fubini)

Sei f(x, y): Q \times R \to [0, + \infty] eine messbare Funktion. Dann gibt es eine Nullmenge E \subset Q, so dass für alle x \in Q \setminus E die Funktion f(x, y), y \in R messbar ist. Setzen wir nun
\varphi(x) := \left\{ \begin{matrix} \int\limits_R f(x, y)\, dy, & x \in Q \setminus E \\ 0, & x \in E \end{matrix}, \right.
so ist \varphi eine nichtnegative messbare Funktion und es gilt
\iint\limits_{Q \times R} f(x, y)\, dxdy = \int\limits_Q \varphi(x)\, dx.

[Bearbeiten] Beweis

Für n = 1, 2, \ldots betrachten wir

f_n(x, y) := \left\{ \begin{pmatrix} f(x, y), & \text{falls } f(x, y) \in [0, n] \\ n, & \text{sonst} \end{pmatrix} \right.

mit f_n \in L(Q \times R). Zu jedem n \in \mathbb{N} gibt es nach §4, Satz 9 eine Nullmenge N_n \subset Q \times R und eine Funktionenfolge f_{n, m}(x, y) \in C^0_0(Q \times R) mit |f_{n, m}| \le n auf Q \times R, so dass folgendes gilt:

\lim_{m \to \infty} f_{n, m}(x, y) = f_n(x, y) für alle (x, y) \in (Q \times R) \setminus N_n.

Für jedes feste n \in \mathbb{N} gibt es eine Nullmenge E_n \subset Q, so dass für alle x \in Q \setminus E_n die Menge \{y \in R: (x, y) \in N_n\} \subset R eine Nullmenge ist. Der Lebesguesche Konvergenzsatz liefert nun

\iint\limits_{Q \times R} f_n(x, y)\, dxdy = \lim_{m \to \infty} \iint\limits_{Q \times R} f_{n, m}(x, y)\, dxdy
= \lim_{m \to \infty} \int\limits_Q \left( \int\limits_R f_{n, m}(x, y)\, dy \right)\, dx = \lim_{m \to \infty} \int\limits_{Q \setminus E_n} \left( \int\limits_R f_{n, m}(x, y)\, dy \right)\, dx
= \int\limits_{Q \setminus E_n} \left( \int\limits_R \underbrace{f_n(x, y)}_{\in L(R)}\, dy \right)\, dx.

Nun ist auch

E := \bigcup^\infty_{n = 1} E_n \subset Q

eine Nullmenge und es gilt

\iint\limits_{Q \times R} f_n(x, y)\, dxdy = \int\limits_{Q \setminus E} \left( \int\limits_R f_n(x, y)\, dy \right)\, dx.

Der Satz 6 aus §4 liefert nun

\iint\limits_{Q \times R} f(x, y)\, dxdy = \lim_{n \to \infty} \left( \iint\limits_{Q \times R} f_n(x, y)\, dxdy \right)
= \lim_{n \to \infty} \int\limits_{Q \setminus E} \left( \int\limits_R f_n(x, y)\, dy \right)\, dx = \int\limits_{Q \setminus E} \left( \int\limits_R f(x, y)\, dy \right)\, dx
= \int\limits_Q \varphi(x)\, dx.
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