Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§6 Banach- und Hilberträume

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Inhaltsverzeichnis

1 Definition 1
2 Definition 2
3 Definition 3
4 Definition 4
5 Definition 5
6 Satz 1 (Projektionssatz)
- 6.1 Beweis
7 Definition 6
8 Definition 7
9 Definition 8
10 Satz 2 (Darstellungssatz von Fréchet-Riesz)
- 10.1 Beweis
11 Definition 9
12 Definition 10
13 Definition 11

[Bearbeiten] Definition 1

Sei $\mathcal{M}$ ein reeller (bzw. komplexer) linearer Raum, d. h.

$f, g \in \mathcal{M}, \alpha, \beta \in \mathbb{R}$ (bzw. $\mathbb{C}$ ) $\Longrightarrow \alpha f + \beta g \in \mathcal{M}$ .

Dann nennen wir $\mathcal{M}$ einen normierten reellen (bzw. komplexen) linearen Raum oder normierten Vektorraum, wenn eine Funktion

$\|\cdot\|: \mathcal{M} \to [0, + \infty)$

existiert mit den folgenden Eigenschaften:

(N1) $\|f\| = 0 \Longleftrightarrow f = 0;$

(N2) Dreiecksungleichung: $\|f + g\| \le \|f\| + \|g\|$ für alle $f, g \in \mathcal{M}$ ;

(N3) Homogenität: $\|\lambda f\| = |\lambda| \|f\|$ für alle $f \in \mathcal{M}, \lambda \in \mathbb{R}$ (bzw. $\mathbb{C}$ ).

Die Funktion $\|\cdot\|$ nennen wir die Norm auf $\mathcal{M}$ .

[Bearbeiten] Definition 2

Der normierte Vektorraum $\mathcal{M}$ heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in $\mathcal{M}$ konvergiert, d. h. ist $\{f_n\} \subset \mathcal{M}$ eine Folge mit

$\lim_{k, l \to \infty} \|f_k - f_l\| = 0,$

so gibt es ein $f \in \mathcal{M}$ mit

$\lim_{k \to \infty} \|f - f_k\| = 0.$

[Bearbeiten] Definition 3

Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt Banachraum.

[Bearbeiten] Definition 4

Ein komplexer linearer Raum $\mathcal{H}'$ heißt Prä-Hilbertraum, falls in $\mathcal{H}'$ ein Skalarprodukt definiert ist, d. h. eine Funktion

$(\cdot, \cdot): \mathcal{H}' \times \mathcal{H}' \to \mathbb{C}$

mit den folgenden Eigenschaften:

(H1) $(f + g, h) = (f, h) + (g, h)$ für alle $f, g, h \in \mathcal{H}'$ ;

(H2) $(f,λ g) = λ(f, g)$ für alle $f, g \in \mathcal{H}', \lambda \in \mathbb{C}$ ;

(H3) Hermitescher Charakter: $(f, g) = \overline{(g, h)}$ für alle $f, g \in \mathcal{H}'$ ;

(H4) Positive Definitheit: $(f, f) > 0$ , falls $f \neq 0$ .

[Bearbeiten] Definition 5

Ein Prä-Hilbertraum $\mathcal{H}$ nennen wir einen Hilbertraum, falls $\mathcal{H}$ mit der Norm

$\|f\| := \sqrt{(f, f)}, \quad f \in \mathcal{H}$

vollständig, d. h. ein Banachraum ist.

[Bearbeiten] Satz 1 (Projektionssatz)

Sei $\mathcal{M} \subset \mathcal{H}$ ein abgeschlossener, linearer Teilraum eines Hilbertraumes $\mathcal{H}$ . Dann gilt für alle Elemente $f \in \mathcal{H}$ die folgende Darstellung:

$f = g + h$ mit $g \in \mathcal{M}$ und $h \in \mathcal{M}^\perp$ .

Die Elemente $g$ und $h$ sind dabei eindeutig bestimmt.

[Bearbeiten] Beweis

1. Wir zeigen zunächst die Eindeutigkeit. Sei ein Element $f \in \mathcal{H}$ mit

$f = g_1 + h_1 = g_2 + h_2, \quad g_j \in \mathcal{H}, h_j \in \mathcal{H}^\perp$

gegeben. Zunächst sehen wir

0 = f - f = (g 1 - g 2) + (h 1 - h 2).

Die Eindeutigkeit folgt nun aus

$0 = \|(g_1 - g_2) + (h_1 - h_2)\|^2 = ((g_1 - g_2) + (h_1 - h_2), (g_1 - g_2) + (h_1 - h_2))$

$= \|g_1 - g_2\|^2 + \|h_1 - h_2\|^2.$

2. Es bleibt die Existenz der gewünschten Darstellung zu zeigen. Zu vorgegebenem $f \in \mathcal{H}$ lösen wir folgendes Variationsproblem: Finde ein $g \in \mathcal{M}$ , so dass

$\|f - g\| = \inf_{\tilde g \in \mathcal{M}} \|f - \tilde g\| =: d$

gilt. Wir wählen zunächst eine Folge $\{g_k\} \subset \mathcal{M}$ mit der Eigenschaft

$\lim_{k \to \infty} \|f - g_k\| = d.$

Wir zeigen, dass diese Folge gegen ein $g \in \mathcal{M}$ konvergiert. Hierzu benutzen wir die Parallelogrammgleichung

$\left\| \frac{\varphi + \psi}{2} \right\|^2 + \left\| \frac{\varphi - \psi}{2} \right\|^2 = \frac{1}{2} \left( \|\varphi\|^2 + \|\psi\|^2 \right)$ für alle $\varphi, \psi \in \mathcal{H}$ ,

die man durch Ausrechnen der Skalarprodukte auf beiden Seiten leicht überprüft. Diese wenden wir nun auf die Elemente

$\varphi = f - g_k, \psi = f - g_l, \quad k, l \in \mathbb{N}$

an und erhalten

$\left\| f - \frac{g_k + g_l}{2} \right\|^2 + \left\| \frac{g_k - g_l}{2} \right\|^2 = \frac{1}{2} \left( \|f - g_k\|^2 + \|f - g_l\|^2 \right).$

Umstellen dieser Gleichungen bringt

$0 \le \left\| \frac{g_k - g_l}{2} \right\|^2 = \frac{1}{2} \left( \|f - g_k\|^2 + \|f - g_l\|^2 \right) - \left\| f - \frac{g_k + g_l}{2} \right\|^2$

$\le \frac{1}{2} \left( \|f - g_k\|^2 + \|f - g_l\|^2 \right) - d^2.$

Nach Ausführen des Grenzübergangs $k, l \to \infty$ folgt nun die Cauchy-Folgen-Eigenschaft für die Folge ${g k}$ . Aus der Abgeschlossenheit des linearen Teilraumes $\mathcal{M}$ folgt damit, dass ein Grenzwert $g \in \mathcal{M}$ der Folge ${g k}$ existiert.
Wir zeigen schließlich $h = (f - g) \in \mathcal{M}^\perp$ und erhalten dann die gewünschte Darstellung

f = g + (f - g) = g + h .

Sei $\varphi \in \mathcal{M}$ beliebig gewählt und $\varepsilon \in (- \varepsilon_0, \varepsilon_0)$ , so folgt

$\|(f - g) + \varepsilon \varphi\|^2 \ge d^2 = \|f - g\|^2.$

Zunächst ist nun

$\|f - g\|^2 + 2\varepsilon \operatorname{Re}(f - g, \varphi) + \varepsilon^2 \|\varphi\|^2 \ge \|f - g\|^2,$

also

$2\varepsilon \operatorname{Re}(f - g, \varphi) + \varepsilon^2 \|\varphi\|^2 \ge 0$

und zwar für alle $\varphi \in \mathcal{M}$ und alle $\varepsilon \in (- \varepsilon_0, \varepsilon_0)$ . Es muss also

$\operatorname{Re}(f - g, \varphi) = 0$ für alle $\varphi \in \mathcal{M}$

gelten. Ersetzen wir $\varphi$ durch $i \varphi$ , so erhalten wir $(f - g, \varphi) = 0$ . Da $\varphi$ beliebig aus $\mathcal{M}$ gewählt wurde, ist $(f - g) \in \mathcal{M}^\perp$ gezeigt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 6

Seien $\{\mathcal{M}_1, \|\cdot\|_1\}$ und $\{\mathcal{M}_2, \|\cdot\|_2\}$ zwei normierte lineare Räume und $A: \mathcal{M}_1 \to \mathcal{M}_2$ eine lineare Abbildung. Dann heißt $A$ stetig im Punkte $f \in \mathcal{M}_1$ , wenn es für alle $\varepsilon > 0$ ein $\delta = \delta(\varepsilon, f) > 0$ gibt, so dass gilt

$g \in \mathcal{M}_1: \|g - f\|_1 < \delta \quad \Rightarrow \quad \|A(g) - A(f)\|_2 < \varepsilon.$

[Bearbeiten] Definition 7

Für ein beschränktes, lineares Funktional $A: \mathcal{M} \to \mathbb{C}$ auf dem normierten, linearen Raum $\mathcal{M}$ nennen wir

$\|A\| := \sup_{f \in \mathcal{M}, \|f\| \le 1} |A(f)|$

die Norm des Funktionals $A$ .

[Bearbeiten] Definition 8

Mit

$\mathcal{M}^* := \Bigl\{ A: \mathcal{M} \to \mathbb{C}: A\ ist\ beschr\ddot ankt\ auf\ \mathcal{M} \Bigr\}$

bezeichnen wir den Dualraum des normierten, linearen Raumes $\mathcal{M}$ .

[Bearbeiten] Satz 2 (Darstellungssatz von Fréchet-Riesz)

Jedes beschränkte, lineare Funktional $A: \mathcal{H} \to \mathbb{C}$ auf einem Hilbertraum $\mathcal{H}$ lässt sich in der Form

$A (f) = (g, f)$ für alle $f \in \mathcal{H}$

mit einem eindeutig bestimmten, erzeugenden Element $g \in \mathcal{H}$ darstellen.

[Bearbeiten] Beweis

1. Wir zeigen zunächst die Eindeutigkeit. Seien $f \in \mathcal{H}$ und $g_1, g_2 \in \mathcal{H}$ zwei erzeugende Elemente. Dann gilt

A (f) = (g 1, f) = (g 2, f)

für alle $f \in \mathcal{H}$ .

Wir subtrahieren beide Gleichungen voneinander und erhalten

(g 1, f) - (g 2, f) = (g 1 - g 2, f) = 0

für alle $f \in \mathcal{H}$ .

Wählen wir nun $f = g 1 - g 2$ , so folgt $g 1 = g 2$ wegen

$0 = (g_1 - g_2, g_1 - g_2) = \|g_1 - g_2\|^2.$

2. Zum Nachweis der Existenz von $g$ betrachten wir

$\mathcal{M} := \Bigl\{ f \in \mathcal{H}: A(f) = 0 \Bigr\} \subset \mathcal{H}.$

$\mathcal{M}$ ist ein abgeschlossener linearer Teilraum von $\mathcal{H}$ .

i.) Sei $\mathcal{M} = \mathcal{H}$ . Dann folgt für $g = 0 \in \mathcal{H}$ unmittelbar die Identität

A (f) = (g, f) = 0

für alle $f \in \mathcal{H}$ .

ii.) Sei $\mathcal{M} \subsetneqq \mathcal{H}$ . Nach dem Projektionssatz gilt $\mathcal{H} = \mathcal{M} \oplus \mathcal{M}^\perp$ mit $\{0\} \neq \mathcal{M}^\perp$ . Es existiert also ein $h \in \mathcal{M}^\perp$ mit $h \neq 0$ . Wir bestimmen nun ein $\alpha \in \mathbb{C}$ , so dass für

g = α h

die Identität

A (h) = (g, h)

oder, was äquivalent dazu ist,

$A(h) = (g, h) = (\alpha h, h) = \overline{\alpha}(h, h) = \overline{\alpha} \|h\|^2$

bzw.

$g = \frac{\overline{A(h)}}{\|h\|^2} h.$

Nun gilt

A (f) = (g, f)

für alle $f \in \mathcal{M}$ und für

f = h

. Für beliebiges $f \in \mathcal{H}$ setze nun $c := \frac{A(f)}{A(h)}$ . Dann gelten für $\tilde f := f - ch$ die Identität

$A(\tilde f) = A(f) - c A(h) = A(f) - \frac{A(f)}{A(h)} A(h) = 0$

und somit $\tilde f \in \mathcal{M}$ . Wir haben also für $f \in \mathcal{H}$ die Darstellung $f = \tilde f + ch$ , wobei $\tilde f \in \mathcal{M}$ und $ch \in \mathcal{M}^\perp$ gelten. Damit wird

$A(f) = A(\tilde f) + c A(h) = (g, \tilde f) + c (g, h) = (g, \tilde f + ch) = (g, f)$

richtig für alle $f \in \mathcal{H}$ .

[Bearbeiten] Definition 9

Einen Banachraum nennen wir separabel, falls es eine Folge $\{f_k\} \subset \mathcal{B}$ gibt, die in $\mathcal{B}$ dicht liegt, d. h. zu jedem $f \in \mathcal{B}$ und jedem $\varepsilon > 0$ gibt es ein $k \in \mathbb{N}$ mit

$\|f - f_k\| < \varepsilon.$

[Bearbeiten] Definition 10

Sei $\mathcal{H}'$ ein Prä-Hilbertraum. Ein System von abzählbar unendlich vielen Elementen $\{\varphi_1, \varphi_2, \ldots\} \subset \mathcal{H}'$ nennen wir orthonormiert, falls

$(\varphi_i, \varphi_j) = \delta_{ij}, \quad i, j \in \mathbb{N}$

richtig ist.

[Bearbeiten] Definition 11

Ein Orthonormalsystem $\{\varphi_k\}$ heißt vollständig, kurz v. o. n. S., wenn für jedes $f \in \mathcal{H}'$ des Prä-Hilbertraumes $\mathcal{H}'$ die Vollständigkeitsrelation

$\|f\|^2 = \sum^\infty_{k = 1} |(\varphi_k, f)|^2$

erfüllt ist.

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