Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§8 Beschränkte lineare Funktionale auf L^p(X) und schwache Konvergenz

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Satz 1 (Fortsetzungssatz)

Seien p \in [0, +\infty) und A: M^\infty(X) \to \mathbb{R} ein lineares Funktional mit folgender Eigenschaft: Es gibt eine Konstante \alpha \in [0, +\infty), so dass
|A(f)| \le \alpha \|f\|_{L^p(X)} für alle f \in M^\infty(X)
gilt. Dann gibt es genau ein beschränktes lineares Funktional \hat A: L^p(X) \to \mathbb{R} mit
\|\hat A\| \le \alpha und \hat A(f) = A(f) für alle f \in M^\infty(X).
Somit ist das Funktional \hat A von M^\infty(X) auf Lp(X) eindeutig fortsetzbar.

[Bearbeiten] Beweis

A ist ein beschränktes, lineares Funktional auf \{M^\infty(X), \| \cdot \|_{L^p(X)}\} und somit stetig. Nun gibt es zu jedem f \in L^p(X) eine Folge \{f_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset M^\infty(X) mit

\|f_k - f\|_{L^p(X)} \to 0 für k \to \infty.

Wir setzen dann

\hat A(f) := \lim_{k \to \infty} A(f_k).

Man prüft leicht nach, dass \hat A unabhängig von der gewählten Folge \{f_k\}_{k = 1, 2, \ldots} erklärt ist und dass \hat A: L^p(X) \to \mathbb{R} linear ist. Weiter gilt

\|\hat A\| = \sup_{f \in L^p \atop \|f\|_p \le 1} |\hat A(f)| = \sup_{f \in M^\infty \atop \|f\|_p \le 1} |A(f)| \le \alpha.

Sind \hat A und \hat B zwei Fortsetzungen von A auf Lp(X), so folgt \hat A = \hat B auf M^\infty(X). Da \hat A und \hat B stetig sind und M^\infty(X) dicht in Lp(X) ist, erhalten wir \hat A = \hat B auf Lp(X).

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Regularitätssatz im Lp(X))

Seien 1 \le p < + \infty und g \in L^1(X). Weiter gebe es eine Konstante \alpha \in [0, + \infty ), so dass
(1) |A_g(f)| = |I(fg)| \le \alpha \|f\|_p für alle f \in M^\infty(X)
gilt. Dann folgen g \in L^q(X) und \|g\|_q \le \alpha.

[Bearbeiten] Beweis

1. Zunächst folgern wir aus (1) die Ungleichung

(2) |I(fg)| \le \alpha \|f\|_p für alle f messbar, beschränkt.

Nun existiert nämlich zu einer beschränkten, messbaren Funktion f: X \to \mathbb{R} eine Funktionenfolge \{f_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset M^\infty(X) mit

f_k(x) \to f(x) f. ü. in X

und

\sup_X |f_k(x)| \le \sup_X |f(x)| =: c \in [0, + \infty).

Mit dem Lebesgueschen Konvergenzsatz folgt

|I(fg)| = \lim_{k \to \infty} |I(f_kg)| \le \lim_{k \to \infty} \alpha \|f_k\|_p = \alpha \|f\|_p.

2. Sei zunächst 1 < p < + \infty. Wir betrachten die Funktionen

g_k(x) := \begin{matrix} g(x), & x \in X \text{ mit } |g(x)| \le k \\ 0, & x \in X \text{ mit } |g(x)| > k \end{matrix}.

Die Funktionen

f_k(x) = |g_k(x)|^\frac{q}{p} \sgn g_k(x), \quad x \in X

sind dann messbar und beschränkt. Somit können wir fk(x) in (2) einsetzen und erhalten

I(f_kg) = I \left( |g_k|^{1 + \frac{q}{p}} \right) = I(|g_k|^q) = \|g_k\|^q_q,

nach (2) also

I(f_kg) \le \alpha \|f_k\|_p = \alpha (I(|g_k|^q))^\frac{1}{p} = \alpha \|g_k\|^\frac{q}{p}_q.

Wir haben also für k = 1, 2, \ldots die Abschätzung

\alpha \ge \|g_k\|^{q - \frac{q}{p}}_q = \|g_k\|_q, \quad \alpha^q \ge I(|g_k|^q).

Der Fatousche Satz liefert

|g(x)|^q \stackrel{\mathrm{f.\ \ddot u.}}{=} \liminf_{k \to \infty } |g_k(x)|^q \in L(X)

sowie

\alpha^q \ge I(|g|^q), also \|g\|_q \le \alpha.

3. Sei p = 1. Zu \varepsilon > 0 betrachten wir die Menge

E := \Bigl\{ x \in X: |g(x)| \ge \alpha + \varepsilon \Bigr\}.

Wir setzen f = χEsgng in (2) ein und erhalten

\alpha \mu(E) = \alpha \|f\|_1 \ge |I(fg)| \ge (\alpha + \varepsilon) \mu(E)

und damit μ(E) = 0 für alle \varepsilon > 0 sowie schließlich \|g\|_\infty \le \alpha.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 1

Ein Daniellsches Integral
J: M^\infty(X) \to \mathbb{R},
das die Bedingungen (M1) bis (M3) und (D1) bis (D3) aus §7 erfüllt und auf L^1(X, J) \supset L^\infty(X) fortsetzbar ist, nennen wir absolut stetig bezüglich I, falls folgendes gilt:
(D4) Jede I-Nullmenge ist eine J-Nullmenge.

[Bearbeiten] Satz 4 (Radon-Nikodym)

Sei das Daniellsche Integral J absolut stetig bezüglich I. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion g \in L^1(X), so dass
J(f) = I(fg) für alle f \in M^\infty(X)
gilt.

[Bearbeiten] Beweis

1. Sei f \in L^\infty(X) gegeben, so gibt es eine Nullmenge N \subset X und eine Konstante c \in [0, + \infty), so dass

|f(x)| \le c für alle x \in X \setminus N

erfüllt ist. Wegen (D4) ist N auch eine J-Nullmenge und es folgt f \in L^\infty(X, J). Für eine Folge \{f_k\}_{k = 1,2, \ldots} \subset L^\infty(X) mit f_k \downarrow 0\ (k \to \infty) f. ü. auf X folgt

f_k \downarrow 0 J-f. ü. auf X für k \to \infty

aus (D4). Nach dem Satz von Levi auf dem Raum L1(X,J) gilt dann

\lim_{k \to \infty} J(f_k) = 0.

Also ist J: L^\infty(X) \to \mathbb{R} ein Daniellsches Integral. Wir betrachten nun das Daniellsche Integral

(3) K(f) := I(f) + J(f), \quad f \in L^\infty(X).

Dieses setzen wir wie in §2 auf den Raum L1(X,K) fort; hierzu reichen die f. ü.-Eigenschaften aus. Wir beachten L^1(X, K) \supset L^p(X, K) für alle p \in [1, + \infty].

2. Für f \in M^\infty(X) und p, q \in [1, + \infty] mit p − 1 + q − 1 = 1 gilt

|J(f)| \le J(|f|) \le K(|f|) \le \|f\|_{L^p(X, K)} \|1\|_{L^q(X, K)} = (I(1) + J(1))^\frac{1}{q} \|f\|_{L^p(X, K)}.

J ist somit ein lineares Funktional auf dem Raum Lp(X,K) für beliebiges p \in [0, + \infty). Für den Hilbertraum L2(X,K) können wir den Darstellungssatz von Frechet-Riesz anwenden und erhalten

J(f) = K(fh) für alle f \in M^\infty(X)

mit einem h \in L^2(X, K). Nun können wir Satz 2 mit p = 1 anwenden und wir sehen h \in L^\infty(X, K). Da J nicht negativ ist, folgt h(x) \ge 0 K-f. ü. auf X. Da ferner wegen (3) und Voraussetzung (D4) die K-Nullmengen mit den I-Nullmengen übereinstimmen, erhalten wir

h(x) \ge 0 f. ü. in X.

3. Für f \in M^\infty(X) können wir somit (4) und (3) iterieren

J(f) = K(fh) = I(fh) + J(fh) = I(fh) + K(fh^2) = I(fh) + I(fh^2) + J(fh^2) = \ldots

und erhalten

(5) J(f) = I \left( f \sum^l_{k = 1} h^k \right) + J(fh^l), \quad l = 1, 2, \ldots.

Seien

A := \Bigl\{ x \in X: h(x) \ge 1 \Bigr\}

und f = χA. Durch Approximation sieht man leicht ein, dass dieses f in (5) eingesetzt werden kann. Wir erhalten

+ \infty > J(f) \ge I \left( f \sum^l_{k = 1} h^k \right) \ge l I(\chi_A) für alle l \in \mathbb{N}

bzw. I(χA) = 0. Somit folgen 0 \le h(x) < 1 f. ü. in X und

(6) h^l(x) \downarrow 0 f. ü. in X für l \to \infty.

Durch den Grenzübergang l \to \infty in (5) erhalten wir mit dem Satz von Levi

J(f) = I \left( f \sum^\infty_{k = 1} h^k \right) für alle f \in M^\infty(X),

wenn wir noch f = f + − f − beachten. Speziell für f(x) \equiv 1 in X folgt, dass

g(x) = \sum^\infty_{k = 1} h^k(x) \stackrel{\mathrm{f.\ \ddot u.}}{=} \frac{h(x)}{1 - h(x)} \in L^1(X)

erfüllt ist.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 4 (Zerlegungssatz von Jordan-Hahn)

Sei A: M^\infty(X) \to \mathbb{R} ein beschränktes lineares Funktional auf dem linearen normierten Raum \{M^\infty(X), \|\cdot\|_p\}, wobei p \in [1, + \infty) gelte. Dann gibt es zwei nicht negative beschränkte lineare Funktionale A^\pm: M^\infty(X) \to \mathbb{R} mit A = A + − A − , d. h. es gilt
A(f) = A + (f) − A − (f) für alle f \in M^\infty(X)
mit
A^\pm(f) \ge 0 für alle f \in M^\infty(X) mit f \ge 0.
Ferner sind
\|A^\pm\| \le 2 \|A\|, \quad \|A^-\| \le 3 \|A\|
erfüllt. Dabei gelten
\|A\| := \sup_{f \in M^\infty \atop \|f\|_p \le 1} |A(f)|, \quad \|A^\pm\| := \sup_{f \in M^\infty \atop \|f\|_p \le 1} |A^\pm(f)|.

[Bearbeiten] Beweis

1. Für f \in M^\infty(X) mit f \ge 0 setzen wir

A^+(f) := \sup \Bigl\{ A(g): g \in M^\infty(X), 0 \le g \le f\Bigr\}.

Offenbar ist A^+(f) \ge 0 für f \ge 0 und für alle f \ge 0 und c \ge 0 gilt

A^+(cf) = \sup \Bigl\{ A(g): 0 \le g \le cf \Bigr\} = \sup \Bigl\{ A(cg): 0 \le g \le f \Bigr\}
= c \sup \Bigl\{ A(g): 0 \le g \le f \Bigr\} = c A^+(f).

Seien nun f_j \in M^\infty(X) mit f_j \ge 0, j = 1, 2, so folgt

A^+(f_1) + A^+(f_2) = \sup \Bigl\{ A(g_1): 0 \le g_1 \le f_1 \Bigr\} + \sup \Bigl\{ A(g_2): 0 \le g_2 \le f_2 \Bigr\}
= \sup \Bigl\{ A(g_1 + g_2): 0 \le g_1 \le f_1, 0 \le g_2 \le f_2 \Bigr\}
\le \sup \Bigl\{ A(g): 0 \le g \le f_1 + f_2 \Bigr\} = A^+(f_1 + f_2).

Zu gegebenem g mit 0 \le g \le f_1 + f_2 setzen wir

g1: = min(g,f1) und g2: = (g − f1).

Dann gelten g_j \le f_j, j = 1, 2 sowie g1 + g2 = g. Damit erhält man sofort

A^+(f_1 + f_2) \le A^+(f_1) + A^+(f_2)

und schließlich

A + (f1 + f2) = A + (f1) + A + (f2).

Weiter gilt für alle f \in M^\infty(X) mit f \ge 0

|A^+(f)| = \left| \sup \Bigl\{ A(g): g \in M^\infty(X), 0 \le g \le f\Bigr\} \right|
\le \sup \Bigl\{ |A(g)|: g \in M^\infty(X), 0 \le g \le f\Bigr\}
\le \sup \Bigl\{ \|A\| \|g\|_p: g \in M^\infty(X), 0 \le g \le f\Bigr\} \le \|A\| \|f\|_p.

2. Wir erweitern nun A^+: M^\infty(X) \to \mathbb{R} wie folgt:

M^\infty(X) \ni f(x) = f^+(x) - f^-(x) mit f^\pm(x) \ge 0

und setzen

A + (f): = A + (f + ) − A + (f − ).

Somit wird A^+: M^\infty (X) \to \mathbb{R} eine lineare Abbildung, die beschränkt ist. Es gilt nämlich für alle f \in M^\infty(X)

|A^+(f)| \le |A^+(f^+)| + |A^+(f^-)|
\le \|A\| (\|f^+\|_p + \|f^-\|_p) \le 2 \|A\| \|f\|_p,

also \|A^+\| \le 2 \|A\|.

3. Wir setzen nun

A − (f): = A + (f) − A(f) für alle f \in M^\infty(X).

Offenbar ist A − ein beschränktes lineares Funktional, denn es gilt

|A^-(f)| \le |A^+(f)| + |A(f)| \le 2 \|A\| \|f\|_p + \|A\| \|f\|_p,

also \|A^-\| \le 3 \|A\|. Schließlich ist für alle f \in M^\infty(X) mit f \ge 0

A^-(f) := A^+(f) - A(f) = \sup \Bigl\{ A(g): 0 \le g \le f \Bigr\} - A(f) \ge 0

erfüllt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 5 (Rieszscher Darstellungssatz)

Sei 1 \le p < + \infty. Zu jedem beschränkten linearen Funktional A \in (\mathcal{L}^p(X))^* gibt es genau ein g \in \mathcal{L}^q(X) mit der Eigenschaft
A(f) = I(fg) für alle f \in \mathcal{L}^p(X).
Dabei ist p − 1 + q − 1 = 1 für den konjugierten Exponenten q \in (1, + \infty] erfüllt.

[Bearbeiten] Beweis

Wir führen den Beweis in zwei Schritten.
1. Eindeutigkeit: Seien Funktionen g_1, g_2 \in \mathcal{L}^q(X) mit

A(f) = I(fg1) = I(fg2) für alle f \in \mathcal{L}^p(X)

gegeben, so folgt

0 = I \Bigl( f(g_1 - g_2) \Bigr) für alle f \in \mathcal{L}^p(X).

Wir erhalten 0 = \|g_1 - g_2\|_{\mathcal{L}^q(X)}, woraus g1 = g2 in \mathcal{L}^q(X) folgt.

2. Existenz: Für das Funktional A: M^\infty(X) \to \mathbb{R} gilt

(8) |A(f)| \le \alpha \|f\|_p für alle f \in M^\infty(X)

mit einem \alpha \in [0, + \infty). Nach dem Zerlegungssatz von Jordan-Hahn gibt es nicht negative, beschränkte lineare Funktionale A^\pm: M^\infty(X) \to \mathbb{R} mit

\|A^\pm\| \le 3\|A\| \le 3\alpha und A = A + − A − ,

wobei M^\infty(X) mit der \|\cdot\|_p-Norm ausgestattet ist. Insbesondere gilt |A^\pm(f)| < + \infty für f(x) = 1, x \in X. Eine Folge \{f_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset M^\infty(X) mit f_k \downarrow 0 in X konvergiert nach dem Dinischen Satz kompakt gleichmäßig gegen 0. Wir erhalten dann

|A^\pm(f_k)| \le 3\alpha \|f_k\|_p \to 0 für k \to \infty.

Wir haben also mit A^\pm zwei Daniellsche Integrale, die absolut stetig bezüglich I sind. Ist nämlich N eine I-Nullmenge, so gilt

|A^\pm(\chi_N)| \le 3\alpha \|\chi_N\|_p = 0,

und somit ist N auch eine Nullmenge für die Daniellschen Integrale A^\pm. Nach dem Satz von Radon-Nikodym gibt es g^\pm \in \mathcal{L}^1(X), so dass

A^\pm(f) = I(fg^\pm) für alle f \in M^\infty(X)

richtig ist. Somit folgt

A(f) = A + (f) − A − (f) = I(fg + ) − I(fg − ) = I(fg) für alle f \in M^\infty(X),

wobei g := g^+ - g^- \in \mathcal{L}^1(X). Wegen (8) liefert der Regularitätssatz g \in \mathcal{L}^q(X). Setzen wir noch das Funktional stetig auf \mathcal{L}^p(X) fort, so erhalten wir

A(f) = I(fg) für alle f \in \mathcal{L}^p(X)

mit einer Funktion g \in \mathcal{L}^q(X).

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 2

Eine Folge \{x_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset \mathcal{B} in einem Banachraum \mathcal{B} heißt schwach konvergent gegen ein Element x \in \mathcal{B}, in Zeichen x_k \rightharpoondown x, wenn für jedes stetige lineare Funktional A \in \mathcal{B}^* die Relation
\lim_{k \to \infty} A(x_k) = A(x)
richtig ist.

[Bearbeiten] Satz 6 (Schwache Konvergenz)

Seien 1 < p < + \infty und \{f_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset L^p(X) eine beschränkte Folge mit
\|f_k\|_p \le c für ein c \in [0, + \infty) und alle k \in \mathbb{N}.
Dann gibt es eine Teilfolge \{f_{k_l}\}_{l = 1, 2, \ldots} und ein f \in L^p(X), so dass f_{k_l} \rightharpoondown f in Lp(X) gilt.

[Bearbeiten] Beweis

1. Nach dem Rieszschen Darstellungssatz gilt f_l \rightharpoondown f genau dann, wenn I(f_lg) \to I(fg) für alle g \in L^q(X) richtig ist; dabei ist wieder p − 1 + q − 1 = 1. Nach §7, Satz 5 ist der Raum Lq(X) separabel, es gibt also eine Folge \{g_m\}_{m = 1, 2, \ldots} \subset L^q(X), die in Lq(X) dicht liegt. Aus der beschränkten Folge \{f_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset L^p(X) mit \|f_k\|_p \le c für alle k \in \mathbb{N} wählen wir nun sukzessive Teilfolgen

\{f_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \supset \{f_{k_l^{(1)}}\}_{l = 1, 2, \ldots} \supset \{f_{k_l^{(2)}}\}_{l = 1, 2, \ldots} \supset \ldots

aus, so dass

\lim_{l \to \infty} I(f_{k_l^{(m)}} g_m) =: \alpha_m \in \mathbb{R}, \quad m = 1, 2, \ldots

gilt. Wir wenden nun das Cantorsche Diagonalverfahren an und gehen zur Diagonalfolge f_{k_l} := f_{k_l^{(l)}}, l = 1, 2, \ldots über. Es gilt dann

\lim_{l \to \infty} I(f_{k_l} g_m) = \alpha_m, \quad m = 1, 2, \ldots

2. Sei mit

\mathcal{D} := \left\{ g \in L^q(X): \begin{matrix} \text{Es gibt ein } N \in \mathbb{N} \text{ sowie } c_1, \ldots, c_N \in \mathbb{R} \\ \text{und } 1 \le i_1 < \ldots < i_N < + \infty \text{ mit } \sum\limits^N_{k = 1} c_k g_{i_k} \end{matrix} \right\}

der lineare Raum der endlichen Linearkombinationen von \{g_m\}_{m = 1, 2, \ldots} bezeichnet. Offenbar existiert

A(g) := \lim_{l \to \infty} I(f_{k_l} g) für alle g \in \mathcal{D}.

A: \mathcal{D} \to \mathbb{R} ist ein lineares beschränktes Funktional auf dem in Lq(X) dichten Raum \mathcal{D} mit

|A(g)| \le c \|g\|_q für alle g \in \mathcal{D}.

Wie in Satz 1 setzen wir A von \mathcal{D} auf den Raum Lq(X) fort und erhalten mit dem Darstellungssatz von Riesz ein f \in L^p(X) mit

A(g) = I(fg) für alle g \in L^q(X).

3. Wir zeigen nun, dass f_{k_l} \rightharpoondown f in Lp(X) gilt. Zu jedem g \in L^q(X) finden wir eine Folge \{\tilde g_j\}_{j = 1, 2, \ldots} \subset \mathcal{D} mit

g \stackrel{L^q}{=} \lim_{j \to \infty} \tilde g_j \in L^q(X).

Wir erhalten

|I(fg) - I(f_{k_l}g)| \le |I(f(g - \tilde g_j))| + |I((f - f_{k_l})\tilde g_j)| + |I(f_{k_l}(\tilde g_j - g))|
\le 2C \|g - \tilde g_j\|_q + |I((f - f_{k_l})\tilde g_j)| \le \varepsilon

für hinreichend großes, aber festes j und l \ge l_0.

q.e.d.

Von „http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Analysis_III/Kapitel_II:_Grundlagen_der_Funktionalanalysis/%C2%A78_Beschr%C3%A4nkte_lineare_Funktionale_auf_L%5Ep(X)_und_schwache_Konvergenz“
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