Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§9 BV-Funktionen und Stieltjes-Integral

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Wir wollen uns ein weiteres Daniell-Integral, das Stieltjes-Integral, anschauen. Dazu müssen wir zuvor Funktionen beschränkter Variation behandeln.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

Eine Funktion \varrho: \mathbb{R} \to \mathbb{R} heißt Funktion von beschränkter Variation in \mathbb{R}, in Zeichen \varrho \in BV(\mathbb{R}), wenn für alle Zerlegungen
\mathcal{Z}: -\infty < x_0 < x_1 < \ldots < x_n < +\infty, \quad n = n(\mathcal{Z}) \in \mathbb{N}
von \mathbb{R} die Ungleichung
\sum^n_{k=1} |\varrho(x_k) - \varrho(x_{k-1})| \le M
mit einer Konstanten M < +\infty richtig ist.

[Bearbeiten] Bemerkung 1

Für eine Zerlegung \mathcal{Z} in \mathbb{R} und k = 1, \ldots, n(\mathcal{Z}) setzen wir

J_k := [x_{k-1}, x_k], \quad |J_k| := x_k - x_{k-1}, \quad \varrho(J_k) := \varrho(x_k) - \varrho(x_{k-1}).

Wir erklären dann

(1) \int\limits^{+\infty}_{-\infty} |d\varrho(x)| := \sup_\mathcal{Z} \sum^{n(\mathcal{Z})}_{k=1} |\varrho(J_k)|

und erhalten die Aussage

(2) \varrho \in BV(\mathbb{R}) \Leftrightarrow \int^{+ \infty}_{- \infty} |d\varrho(x)| < +\infty.

[Bearbeiten] Satz 1

Eine Funktion \varrho \in BV(\mathbb{R}) ist beschränkt und es existieren die Grenzwerte \varrho(\pm \infty) := \lim_{x \to \pm \infty} \varrho(x). Weiter gilt die Ungleichung
|\varrho(b) - \varrho(a)| \le \int\limits^{+\infty}_{-\infty} |d\varrho(x)|
für beliebige a, b \in \mathbb{R} mit a < b, insbesondere also
|\varrho(+\infty) - \varrho(-\infty)| \le \int\limits^{+\infty}_{-\infty} |d\varrho(x)|.
In (3) tritt Gleichheit genau dann ein, wenn die Funktion \varrho: \mathbb{R} \to \mathbb{R} schwach monoton steigend bzw. fallend ist.

[Bearbeiten] Beweis

1. Für eine beliebige Zerlegung \mathcal{Z} in \mathbb{R} mit a = x0 und b = xn gilt

(4) \begin{matrix} |\varrho(b) - \varrho(a)| = |\varrho(x_n) - \varrho(x_0)| = \left| \sum\limits^{n(\mathcal{Z})}_{k=1} (\varrho(x_k) - \varrho(x_{k-1})) \right| \le \sum\limits^{n(\mathcal{Z})}_{k=1} |\varrho(x_k) - \varrho(x_{k-1})| \\ = \sum\limits^{n(\mathcal{Z})}_{k=1} \varrho(J_k) \stackrel{(1)}{\le} \int\limits^{+\infty}_{-\infty} |d\varrho(x)| \stackrel{(2)}{<} +\infty. \end{matrix}

Damit existiert insbesondere eine Konstante K < +\infty mit der Eigenschaft

(5) |\varrho(x)| \le K \quad \forall x \in \mathbb{R},

so dass \varrho beschränkt ist.

2. Wegen (5) gibt es eine Folge \xi_l \uparrow +\infty mit

(6) \lim_{l \to \infty} \varrho(\xi_l) = \varrho_* \in [-K,+K].

Nun gilt für jede weitere Folge \{\eta_l\}_{l=1, 2, \ldots} \subset \mathbb{R} mit \eta_l \uparrow +\infty, dass

\lim_{l \to \infty} \varrho(\eta_l) = \varrho_*

richtig ist.
Indirekter Beweis: Anderenfalls gibt es ein \varepsilon > 0, ein l_0 \in \mathbb{N} und eine Folge \eta_l \uparrow +\infty mit

|\varrho(\eta_l) - \varrho_*| \ge 2\varepsilon \quad \forall l \ge l_0.

Wegen (6) gibt es ein l_1 \in \mathbb{N}, so dass

|\varrho(\xi_l) - \varrho_*| \le \varepsilon \quad \forall l \ge l_1.

gilt. Aus den Punktmengen

Y := \{\eta_l\}_{l \ge l_0} und X := \{\xi_l\}_{l \ge l_1}

konstruieren wir nun eine Zerlegung {x0,x1,...,xn} in \mathbb{R} mit der Eigenschaft

x_0 < x_1 < \ldots < x_n und x_k \in \begin{cases} Y, & k \text{ gerade} \\ X, & k \text{ ungerade} \end{cases},

wobei n \in \mathbb{N} beliebig ist. Seien nun ηi = xk − 1 und ξj = xk (bzw. umgekehrt) zwei benachbarte Elemente der so konstruierten Folge, so erhält man

\varrho(J_k)| = |\varrho(x_{k-1}) - \varrho(x_k)| = |\varrho(\eta_i) - \varrho(\xi_j)| = |(\varrho(\eta_i) - \varrho_*) - (\varrho(\xi_j) - \varrho_*)|
\ge ||\varrho(\eta_i) - \varrho_*| - |\varrho(\xi_j) - \varrho_*|| \ge \varepsilon.

Aufsummierung über k ergibt

\int\limits^{+\infty}_{-\infty} |d\varrho(x)| = \sup_\mathcal{Z} \sum^n_{k=1} |\varrho(J_k)| \ge \sum^n_{k=1} |\varrho(J_K)| \ge n\varepsilon.

Da n beliebig war, erhalten wir mit (2) einen Widerspruch zur Voraussetzung \varrho \in BV(\mathbb{R}). Also existiert \varrho(+\infty). Analog zeigt man die Existenz des Grenzwertes \varrho(- \infty).

3. Da die Ungleichung

|\varrho(b) - \varrho(a)| \le \int\limits^{+\infty}_{-\infty} |d\varrho(x)| \quad \forall -\infty < a < b < +\infty

nach (4) gilt und die Limites \varrho(\pm \infty) existieren, folgt nach Grenzübergang

|\varrho(+\infty) - \varrho(-\infty)| \le \int\limits^{+\infty}_{-\infty} |d\varrho(x)|.

Falls nun \varrho: \mathbb{R} \to \mathbb{R} schwach monoton ist, gilt in (4) wegen \varrho(x_k) - \varrho(x_{k-1}) \ge 0 (bzw. \le 0) für alle k = 1, 2, \ldots das Gleichheitszeichen, also

|\varrho(x_n) - \varrho(x_0)| = \sum^{n(\mathcal{Z})}_{k=1} |\varrho(J_k)|

für alle Zerlegungen \mathcal{Z}. Nun folgt

|\varrho(+\infty) - \varrho(-\infty)| = \sup_\mathcal{Z} |\varrho(x_n) - \varrho(x_0)| = \int\limits^{+\infty}_{-\infty} |d\varrho(x)|.

4. Falls dagegen \varrho: \mathbb{R} \to \mathbb{R} nicht schwach monoton ist, können wir ein \varepsilon > 0 und eine Zerlegung in \mathbb{R} so finden, dass

|\varrho(x_n) - \varrho(x_0)| \le \sum^n_{k=1} |\varrho(J_k)| - 3\varepsilon

sowie

|\varrho(x_n) - \varrho(+\infty)| \le \varepsilon, \quad |\varrho(x_0) - \varrho(-\infty)| \le \varepsilon

gelten. Somit folgt

|\varrho(+\infty) - \varrho(-\infty)| \le |\varrho(+\infty) - \varrho(x_n)| + |\varrho(x_n) - \varrho(x_0)| + |\varrho(x0) - \varrho(-\infty)| \le \sum^n_{k=1} |\varrho(J_k)| - \varepsilon,

woraus sich

|\varrho(+\infty) - \varrho(-\infty)| < |\varrho(+\infty) - \varrho(-\infty)| + \varepsilon \le \int\limits^{+\infty}_{-\infty} |d\varrho(x)|

ergibt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 2

Für beliebige Zahlen a, b \in \overline{\mathbb{R}} mit -\infty \le a < b \le +\infty erklären wir die Funktionen beschränkter Variation im Intervall [a,b] wie folgt:
BV[a, b] := \{\varrho \in BV(\mathbb{R}): \varrho(x) = \varrho(a)\ falls\ x < a, \varrho(x) = \varrho(b)\ falls\ x > b\}, \quad BV[-\infty, +\infty0] = BV(\mathbb{R}).
Seien ferner \varrho \in BV(\mathbb{R}) und \hat \varrho \in BV[a, b], -\infty \le a < b \le +\infty mit \varrho(x) = \hat \varrho(x) für alle x \in [a, b], so setzen wir
(7) \int\limits_a^b |d\varrho(x)| := \int\limits_{- \infty}^{+\infty} |d\hat \varrho(x)|.

[Bearbeiten] Hilfssatz 1

Seien \varrho \in BV(\mathbb{R}) und − 1 < x < y < + 1, so gilt
\int\limits^x_{-\infty} |d\varrho(t)| + \int\limits^y_x |d\varrho(t)| = \int\limits^y_{-\infty} |d\varrho(t)|.

[Bearbeiten] ohne Beweis

[Bearbeiten] Satz 2 (Zerlegungssatz für BV-Funktionen)

Jede Funktion \varrho \in BV(\mathbb{R}) lässt sich in der Form
(8) \varrho(x) = \varrho_1(x) - \varrho_2(x), \quad x \in \mathbb{R}
darstellen. Dabei sind \varrho_1, \varrho_2: \mathbb{R} \to \mathbb{R} monoton nicht fallende, beschränkte Funktionen.

[Bearbeiten] Beweis

Nach Hilfssatz 1 ist

\varrho_1(x) := \int\limits_{-\infty}^x |d\varrho(t)|, \quad x \in \mathbb{R}

monoton nicht fallend. Ferner gilt

0 \le \varrho_1(x) \le \int\limits^{+\infty}_{-\infty} |d\varrho(t)| < +\infty (Beschränktheit).

Betrachten wir zusätzlich die Funktion

\varrho_2(x) := \int\limits_{-\infty}^x |d\varrho(t)| - \varrho(x) = \varrho_1(x) - \varrho(x), \quad x \in \mathbb{R},

so haben wir die gewünschte Zerlegung (8), wenn wir noch die schwache Monotonie und Beschränktheit von \varrho_2 zeigen. Da \varrho und \varrho_1 beschränkt sind, gilt dies auch für \varrho_2. Für -\infty < x < y < +\infty gilt die folgende Ungleichung

\varrho_2(y) - \varrho_2(x) = \int\limits_{-\infty}^y |d\varrho(t)| - \varrho(y) - \int\limits_{-\infty}^x |d\varrho(t)| + \varrho(x) \stackrel{\text{HS 1}}{=} \int\limits_x^y |d\varrho(t)| - (\varrho(y) - \varrho(x)) \stackrel{(7),(3)}{\ge} |\varrho(y) - \varrho(x)| - (\varrho(y) - \varrho(x)) \ge 0,

womit die schwache Monotonie bewiesen ist.

q.e.d.

Da eine Funktion beschränkter Variation gemäß (8) in schwach monotone Funktionen zerlegbar ist, wollen wir uns nun mit monotonen Funktionen befassen.

[Bearbeiten] Satz 3 (Unstetigkeitsstellen monotoner Funktionen)

Sei \varrho: \mathbb{R} \to \mathbb{R} eine monoton nicht fallende, beschränkte Funktion.
(i) \varrho ist genau dann in einem Punkt \xi \in \mathbb{R} unstetig, wenn für die Sprunghöhe
\delta \varrho(\xi) := \varrho(\xi+) - \varrho(\xi-) > 0
gilt. Dabei sind
\varrho(\xi \pm) := \lim_{x \to \xi \pm 0} \varrho(x)
die rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerte.
(ii) Die Funktion \varrho hat höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen.

[Bearbeiten] ohne Beweis

An vielen Stellen in der Analysis sind Auswahlsätze von entscheidender Bedeutung. Sie lassen sich in der Regel als Kompaktheitskriterien interpretieren. Für kompakte Mengen im \mathbb{R}^n haben wir den Weierstraßschen Satz, für die Klasse der gleichgradig stetigen Funktionen den Satz von Arzelà-Ascoli und für die Klasse der BV-Funktionen die folgende Aussage.

[Bearbeiten] Satz 4 (Hellyscher Auswahlsatz)

Sei \{\varrho_k\}_{k=1, 2, \ldots} \subset BV(\mathbb{R}) eine gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge mit gleichmäßig beschränkter Variation, d.h. es gibt eine Konstante C, so dass
|\varrho_k(x)| \le C für alle x \in \mathbb{R}, \quad k \in \mathbb{N}
und
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} |d\varrho_k(x)| \le C für alle k \in \mathbb{N}
gelten. Dann gibt es eine Teilfolge \{\varrho_{k_l}\}_{l=1, 2, \ldots} mit k_1 < k_2 < \ldots, welche in jedem Punkt x \in \mathbb{R} gegen eine beschr¨ankte Funktion \varrho = \varrho(x) konvergiert, d.h.
\lim_{l \to \infty} \varrho_{k_l} (x) = \varrho(x) für alle x \in \mathbb{R}.
\varrho ist wiederum eine Funktion aus BV(\mathbb{R}).

[Bearbeiten] ohne Beweis

Für Funktionen \varrho \in BV(\mathbb{R}) und f \in C^0_0(\mathbb{R}), eine Zerlegung \mathcal{Z} = \{x_0, \ldots, x_n\} in \mathbb{R} und Zwischenwerte \xi_k \in J_k, k = 1, \ldots, n erklären wir die Riemann-Stieltjes-Summe wie folgt:

(9) \sum (\mathcal{Z}, f, \xi; \varrho) := \sum^{n(\mathcal{Z})}_{k = 1} f(\xi_k) \varrho(J_k) = \sum^{n(\mathcal{Z})}_{k=1} f(\xi_k) [\varrho(x_k) - \varrho(x_{k - 1})].

Eine Zerlegungsfolge \{\mathcal{Z}^{(p)}\}_{p=1, 2, \ldots} nennen wir ausgezeichnet, falls

\lim_{p \to \infty} x^{(p)}_0 = -\infty, \quad \lim_{p \to \infty} x^{(p)}_{n^{(p)}} = +\infty und \lim_{p \to \infty} \sup_{k=1, \ldots, n^{(p)}} |J^{(p)}_k| = 0

gelten.

[Bearbeiten] Definition 3 (Stieltjes-Integral)

Seien \varrho \in BV(\mathbb{R}) und f \in C^0_0(\mathbb{R}). Dann erklären wir gemäß
(10) \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) d\varrho(x) := \lim_{p \to \infty} \sum (\mathcal{Z}^{(p)}, f, \xi^{(p)}; \varrho)
das Stieltjes-Integral von f bzgl. \varrho. Dabei ist \{\mathcal{Z}^{(p)}\}_{p=1, 2, \ldots} eine beliebige ausgezeichnete Zerlegungsfolge und \xi^{(p)} = \xi^{(p)}_k: k = 1, \ldots, n^{(p)}\} sind beliebige Zwischenwerte.

[Bearbeiten] Bemerkung 2

1. Man kann zeigen, dass der in (10) verwendete Grenzwert existiert und von der Wahl der ausgezeichneten Zerlegungsfolge und der Zwischenwerte unabhängig ist, so dass die Definition des Stieltjes-Integral gerechtfertigt ist.

2. Seien \varrho \in BV(\mathbb{R}) gegeben und -\infty \le a < b \le +\infty. Setzen wir in (10) die Funktion

\hat \varrho \in BV [a, b] mit \hat \varrho(x) = \varrho(x) \quad \forall x \in [a, b]

ein, so erhalten wir mit

\int\limits^b_a f(x)\, d\varrho(x) := \int\limits^{+\infty}_{-\infty} f(x) d\hat \varrho(x)

das Stieltjes-Integral über das Intervall [a,b].

3. Sei \varrho: \mathbb{R} \to [0, 1] eine monoton nicht fallende Funktion mit

\varrho(-\infty) = 0 und \varrho(+\infty) = 1

sowie der folgenden Eigenschaft: Es gibt eine Folge -\infty < \ldots < x_{-1} < x_0 < x_1 < \ldots < +\infty von Punkten, so dass

\varrho \big|_(x_j,x_{j+1}) = \operatorname{const}, \quad j = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots

richtig ist. Dann gilt für das Stieltjes-Integral von f \in C^0_0(\mathbb{R})

\int\limits^{+\infty}_{-\infty} f(x)\, d\varrho(x) := \sum^{+\infty}_{j=-\infty} f(x_j) \delta \varrho(x_j) = \sum^{+\infty}_{j=-\infty} f(x_j)(\varrho(x_j+) - \varrho(x_j-)).

Wegen

\int\limits^{+\infty}_{-\infty} d\varrho(x) = \sum^{+\infty}_{j=-\infty} (\varrho(x_j+) - \varrho(x_j-)) = \varrho(+\infty) - \varrho(-\infty) = \infty

liefert die Funktion \varrho eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Derartige Stieltjes-Integrale finden auch in der Physik Anwendung, z. B. bei der Betrachtung von Punktladungen. Falls \varrho nur bei x = 0 einen Sprung der Hö0he 1 hat, erhält man das sogenannte Dirac-Maß.

Seien X = R und M = M(X) := C^0_0(R). Weiter sei \varrho \in BV(R) gemäß Satz 2 zerlegt in

\varrho(x) = \varrho_1(x) - \varrho_2(x), \quad x \in R, \quad \varrho_j \text{ monoton nichtfallend}, \quad j = 1, 2.

Dann gilt für das Stieltjes-Integral

\int\limits^{+\infty}_{-\infty} f(x)\, d\varrho(x) = \int\limits^{+ \infty}_{- \infty} f(x)\, d\varrho_1(x) - \int\limits^{+\infty}_{-\infty} f(x)\, d\varrho_2(x) \quad \forall f \in M.

Betrachten wir nun mit \varrho: \mathbb{R} \to \mathbb{R} eine beliebige monoton nicht fallende, beschränkte Funktion, so erhalten wir ein Daniellsches Integral

I(f) := \int\limits^{+ \infty}_{- \infty} f(x)\, d\varrho(x), \quad f \in M.
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