Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Definitionsliste

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Definition:Verknüpfung

Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung



Definition:Monoid

Ein Monoid ist eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung

und einem ausgezeichneten Element derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

  1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt

    für alle .

  2. ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt

    für alle .



Definition:Gruppe

Ein Monoid heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem ein mit gibt.



Definition:Kommutative Gruppe

Eine Gruppe heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also für alle gilt.



Definition:Gruppenordnung

Zu einer endlichen Gruppe bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben



Definition:Ordnung eines Gruppenelementes

Es sei eine Gruppe und ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl mit die Ordnung von . Man schreibt hierfür . Wenn alle positiven Potenzen von vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man .



Definition:Untergruppe

Es sei eine Gruppe. Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.

  1. .
  2. Mit ist auch .
  3. Mit ist auch .


Definition:Erzeugte Untergruppe

Es sei eine Gruppe und eine Teilmenge. Dann nennt man

die von erzeugte Untergruppe.



Definition:Zyklische Gruppe

Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.



Definition:Ring

Ein Ring ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen und und mit zwei ausgezeichneten Elementen und derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

  1. ist eine abelsche Gruppe.
  2. ist ein Monoid.
  3. Es gelten die Distributivgesetze, also und für alle .


Definition:Kommutativer Ring

Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.



Definition:Binomialkoeffizient

Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man

den Binomialkoeffizienten über “.



Definition:Nichtnullteiler

Ein Element in einem kommutativen Ring heißt Nullteiler, wenn es ein von verschiedenes Element mit gibt. Andernfalls heißt es ein Nichtnullteiler.



Definition:Integritätsbereich

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.



Definition:Unterring

Eine Teilmenge eines Ringes nennt man einen Unterring, wenn sowohl eine Untergruppe von als auch ein Untermonoid von ist.



Definition:Einheit

Ein Element in einem Ring heißt Einheit, wenn es ein Element mit

gibt.



Definition:Einheitengruppe

Die Einheitengruppe in einem Ring ist die Teilmenge aller Einheiten in . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Körper

Ein kommutativer Ring heißt Körper, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.



Definition:Unterkörper

Es sei ein Körper. Ein Unterring , der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von .



Definition:Körpererweiterung

Es sei ein Körper und ein Unterkörper von . Dann heißt ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von und die Inklusion heißt eine Körpererweiterung.



Definition:Komplexe Zahlen

Die Menge mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch

definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit

bezeichnet.



Definition:Real- und Imaginärteil

Zu einer komplexen Zahl

heißt

der Realteil von und

heißt der Imaginärteil von .



Definition:Komplexe Konjugation

Die Abbildung

heißt komplexe Konjugation.



Definition:Betrag einer komplexen Zahl

Zu einer komplexen Zahl

ist der Betrag durch

definiert.



Definition:Polynomring

Der Polynomring über einem kommutativen Ring besteht aus allen Polynomen

mit ,

und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

definiert ist.



Definition:Grad eines Polynoms

Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

mit ist .



Definition:Polynomfunktion

Es sei ein Körper und seien . Eine Funktion

mit

heißt Polynomfunktion.



Definition:Teilen (kommutativer Ring)

Es sei ein kommutativer Ring, und Elemente in . Man sagt, dass das Element teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es ein derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .



Definition:Assoziiert

Zwei Elemente und eines kommutativen Ringes heißen assoziiert, wenn es eine Einheit derart gibt, dass ist.



Definition:Irreduzibles Element

Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.



Definition:Primelement

Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ein Produkt  mit , so teilt einen der Faktoren.



Definition:Ideal

Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. .
  2. Für alle ist auch .
  3. Für alle und ist auch .


Definition:Erzeugtes Ideal

Zu einer Familie von Elementen , , in einem kommutativen Ring bezeichnet das von den erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

wobei eine endliche Teilmenge und ist.



Definition:Hauptideal

Ein Ideal in einem kommutativen Ring der Form

heißt Hauptideal.



Definition:Einheitsideal

Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring ist der Ring selbst.



Definition:Summe von Idealen

Zu Idealen in einem kommutativen Ring nennt man das Ideal

die Summe der Ideale.



Definition:Idealprodukt

Zu zwei Idealen und in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch

mit , definiert. Das ist das Ideal, das von allen Produkten (mit , ) erzeugt wird.



Definition:Radikal

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn folgendes gilt: Falls ist für ein , so ist bereits .



Definition:Radikal zu einem Ideal

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Dann nennt man die Menge

das Radikal zu . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Primideal

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Primideal, wenn ist und wenn für mit folgt: oder .



Definition:Maximales Ideal

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt maximales Ideal, wenn ist und wenn es zwischen und keine weiteren Ideale gibt.



Definition:Hauptidealbereich

Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.



Definition:Euklidische Restfolge

Es seien Elemente (mit ) eines euklidischen Bereichs mit euklidischer Funktion gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen und und die mittels der Division mit Rest

rekursiv bestimmte Folge die Folge der euklidischen Reste.



Definition:Faktorieller Bereich

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.



Definition:Exponent

Es sei ein faktorieller Bereich und ein Primelement. Dann heißt zu jedem , , die natürliche Zahl mit aber , der Exponent (oder die Ordnung) von zu . Er wird mit bezeichnet.



Definition:Gruppenhomomorphismus

Seien und Gruppen. Eine Abbildung

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

für alle gilt.



Definition:Gruppenisomorphismus

Seien und Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie). Die beiden Gruppen heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.



Definition:Kern (Gruppenhomomorphismus)

Es seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von , geschrieben



Definition:Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe

Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Wir setzen (und sagen, dass und äquivalent sind) wenn .



Definition:Nebenklassen

Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem die Teilmenge

die Linksnebenklasse von in bezüglich . Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form

Rechtsnebenklasse (zu ).



Definition:Index (Untergruppe)

Zu einer Untergruppe heißt die Anzahl der (Links- oder Rechts-)Nebenklassen der Index von in , geschrieben



Definition:Normalteiler

Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Man nennt einen Normalteiler, wenn

für alle ist, wenn also die Linksnebenklasse zu mit der Rechtsnebenklasse zu übereinstimmt.



Definition:Restklassengruppe

Es sei eine Gruppe und ein Normalteiler. Die Quotientenmenge

mit der aufgrund von Satz 12.1 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von modulo . Die Elemente heißen Restklassen. Für eine Restklasse heißt jedes Element mit ein Repräsentant von .



Definition:Ringhomomorphismus

Es seien und Ringe. Eine Abbildung

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

  1. .
  2. .
  3. .


Definition:Charakteristik

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ist die kleinste positive natürliche Zahl mit der Eigenschaft . Die Charakteristik ist , falls keine solche Zahl existiert.



Definition:Nebenklasse (Ideal)

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Zu heißt die Teilmenge

die Nebenklasse von zum Ideal . Jede Teilmenge von dieser Form heißt Nebenklasse zu .



Definition:Restklassenring

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Dann ist der Restklassenring (sprich „R modulo I“) ein kommutativer Ring, der durch folgende Daten festgelegt ist.

  1. Als Menge ist die Menge der Nebenklassen zu .
  2. Durch

    wird eine Addition von Nebenklassen definiert.

  3. Durch

    wird eine Multiplikation von Nebenklassen definiert.

  4. definiert das neutrale Element für die Addition (die Nullklasse).
  5. definiert das neutrale Element für die Multiplikation (die Einsklasse).


Definition:Produktring

Es seien kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der , .



Definition:Idempotentes Element

Ein Element eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn gilt.



Definition:Eulersche -Funktion

Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von . Man nennt die Eulersche Funktion.



Definition:Quotientenkörper

Zu einem Integritätsbereich ist der Quotientenkörper als die Menge der formalen Brüche

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.



Definition:Endliche Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraum über ist.



Definition:Grad einer Körpererweiterung

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die - Vektorraumdimension von den Grad der Körpererweiterung.



Definition:Algebra

Seien und kommutative Ringe und sei ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man eine -Algebra.



Definition:Algebrahomomorphismus

Es seien und kommutative - Algebren über einem kommutativen Grundring . Dann nennt man einen Ringhomomorphismus

einen -Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen und verträglich ist.



Definition:Erzeugte Algebra

Es sei eine -Algebra und sei , , eine Familie von Elementen aus . Dann heißt die kleinste -Unteralgebra von , die alle enthält, die von diesen Elementen erzeugte -Algebra.[[Kategorie:erzeugte -Algebra (MSW)|~]] Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Algebraisches Element

Es sei ein Körper und eine kommutative - Algebra. Es sei ein Element. Dann heißt algebraisch über , wenn es ein von verschiedenes Polynom mit gibt.



Definition:Minimalpolynom

Es sei ein Körper und eine - Algebra. Es sei ein über algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom mit , welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von .



Definition:Algebraischer Abschluss in Erweiterung

Es sei eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Menge

den algebraischen Abschluss von in .



Definition:Algebraische Zahlen

Eine komplexe Zahl heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen ist. Andernfalls heißt sie transzendent.



Definition:Quadratische Körpererweiterung

Eine endliche Körpererweiterung vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.



Definition:Zerfällungskörper

Es sei ein Körper, ein Polynom und eine Körpererweiterung, über der in Linearfaktoren zerfällt. Es seien die Nullstellen von . Dann nennt man

einen Zerfällungskörper von .



Definition:Elementar konstruierbare Geraden und Kreise

Es sei eine Teilmenge der Ebene . Eine Gerade heißt aus elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte , , derart gibt, dass die Verbindungsgerade von und gleich ist. Ein Kreis heißt aus elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte , , derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt und durch den Punkt gleich ist.



Definition:Konstruierbar in einem Schritt

Es sei eine Teilmenge der Ebene . Dann heißt ein Punkt aus in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.

  1. Es gibt zwei aus elementar konstruierbare Geraden und mit .
  2. Es gibt eine aus elementar konstruierbare Gerade und einen aus elementar konstruierbaren Kreis derart, dass ein Schnittpunkt von und ist.
  3. Es gibt zwei aus elementar konstruierbare Kreise und derart, dass ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.


Definition:Konstruierbare Punkte aus einer Startmenge

Es sei eine Teilmenge der Ebene . Dann heißt ein Punkt aus konstruierbar (oder mit Zirkel und Lineal konstruierbar), wenn es eine Folge von Punkten

gibt derart, dass jeweils aus in einem Schritt konstruierbar ist.



Definition:Konstruierbare Zahl

Eine Zahl heißt konstruierbar oder konstruierbare Zahl, wenn sie aus der Startmenge mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.



Definition:Konstruierbares regelmäßiges n-Eck

Es sei . Man sagt, dass das regelmäßige -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl

eine konstruierbare Zahl ist.



Definition:Fermatsche Primzahl

Eine Primzahl der Form , wobei eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.